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专题3.6&3.7同底数幂的除法和整式除法大题型（一课一讲）
（内容:同底数幂的除法及逆运算、整数的混合运算）
【浙教版】
题型一：同底数幂的除法求值
【经典例题1】已知，则 ．
【答案】16
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：16．
【变式训练1-1】已知，则 ．
【答案】8
【详解】解：，
故答案为：8．
【变式训练1-2】若，则等于 ．
【答案】8
【详解】解：∵
∴，
故答案为：8
【变式训练1-3】若，，则 ．
【答案】1
【详解】，而，
，
，
又，根据同底数幂的除法法则为整数)，
，即，
．
故答案为：1．
【变式训练1-4】如果，那么的值为 ．
【答案】2
【详解】，
，
故答案为：2．
【变式训练1-5】已知，则＝ ．
【答案】
【详解】解：，
，，
，
，
，
故答案为：．
题型二：零指数幂和负指数幂比较大小
【经典例题2】若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解∶ ∵，，，，
∴．
故选B．
【变式训练2-1】已知，则a，b，c，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【变式训练2-2】若，那么a、b、c三数的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练2-3】如果，，，那么、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，，，
∴．
故选B．
【变式训练2-4】若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： ，
因为：，
所以,
故选：C．
【变式训练2-5】如果，，，那么，，三个数的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，，
∴，
故选：A．
题型三：用科学记数法表示小于1的数
【经典例题3】5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅，已知硅原子的半径约为0.000000000117米．将数据“0.000000000117”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：将数据“0.000000000117”用科学记数法表示为；
故选：C．
【变式训练3-1】细菌非常小，某种细菌的半径为，可以将数 用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：，
故选：A．
【变式训练3-2】彝族剪纸是一种艺术创作，主要用作服装、卧具、居室和特定用品的装饰，图案多以花鸟虫鱼、飞禽走兽等为表现对象．剪纸纸张的厚度通常可以达到甚至更细．将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
故选：B
【变式训练3-3】2020年，太原钢铁（集团）有限公司成功研发出厚0.015毫米、宽600毫米的“手撕钢”．2023年年底，鞍钢集团钒钛（钢铁）研究院钛钢联合实验室摸清了0.015毫米超薄高温合金钢的全部技术参数，具备了轧制该产品的能力．用科学记数法表示数据0.015为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：用科学记数法表示数据0.015为，
故选：B．
【变式训练3-4】华为系列搭载了麒麟芯片，这个被华为称之为全球首个5纳米工艺的芯片，拥有8个全球第一，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为 ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
【变式训练3-5】北斗卫星导航系统（）是我国自行研制的全球卫星导航系统．北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度，高可靠的定位、导航、授时服务，授时精度达到秒．将用科学记数法可表示为 ．
【答案】
【详解】解：，
故选：．
题型四：用科学记数法表示数的除法
【经典例题4】地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的 倍（结果保留整数）．
【答案】391
【详解】解：根据题意，，
故答案为： ．
【变式训练4-1】火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍．
【答案】8
【详解】解：．
故答案为：8．
【变式训练4-2】去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）．
1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克．
【答案】
【详解】一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克
故答案为．
【变式训练4-3】某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．
(1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？
(2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？
【答案】(1)厘米(2)天
【详解】（1）10亿，
∴10亿元的总张数为张，
（厘米）；
答：大约高厘米；
（2），
，
（天）．
答：点钞机大约要点25天
【变式训练4-4】细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍
【答案】后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍
【详解】解：次，
∴后，盘子里有细菌：（个）；
（次），
∴后，盘子里有个细菌；
，
答：后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍．
题型五：整式的除法
【经典例题5】已知，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：左边
，
，
，
，，
解得，，
∴．
故答案为：．
【变式训练5-1】湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ．
账号： 密码
【答案】2025
【详解】解：∵，，
∴密码为、、的指数，
∵，
∴密码是，
故答案为：．
【变式训练5-2】已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵
∴，
∴，，
解得：，，
∴
，
故答案为：．
【变式训练5-3】小明在计算时，由于粗心，误认为是乘，得到的结果是，则正确的结果是 ．
【答案】
【详解】解：根据题意可知：．
∴
故答案为：
【变式训练5-4】计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【详解】解：（1）原式，
故答案为：；
（2）原式．
故答案为：．
【变式训练5-5】阅读材料：多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式计算，如图：
所以除以，商式为，余式为0．
请根据阅读材料回答下列问题：
若能被整除，则 ．
【答案】2
【详解】设商式为，
则有,
,
,
, ,
．
故答案为：2.
题型六：整式的四则混合运算
【经典例题6】计算
(1)
(2)
【答案】(1) ；(2)．
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）原式，
．
【变式训练6-1】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
，
，
，
；
（2）解：，
，
．
【变式训练6-2】计算下列各题：
(1)．
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
(6)．
(7)．
(8)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
(6)(7)(8)
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
；
（3）解：原式，
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式；
（6）解：原式，
，
；
（7）解：原式，
，
，
；
（8）解：原式
．
【变式训练6-3】计算：
【答案】2
【详解】解：
．
【变式训练6-4】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
；
（3）解：原式，
．
【变式训练6-5】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型七：整式的化简求值
【经典例题7】先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：
，
当，时，原式．
【变式训练7-1】先化简，再求值：，其中，，．
【答案】，
【详解】解：
当，时，原式．
【变式训练7-2】先化简，再求值：，其中
【答案】，
【详解】解：
，
当时，
原式
．
【变式训练7-3】先化简再求值：，其中．
【答案】；
【详解】解：
，
∵，
∴，即，
∴，，解得，，
∴原式
．
【变式训练7-4】求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：原式
；
当，时，
原式
．
【变式训练7-5】先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：
，
当，时，
原式．
【变式训练7-6】已知，求的值．
【答案】，11
【详解】∵，
∴，，
解得，，
∵
，
∴当，时，
原式．
题型八：整式的混合运算应用题
【经典例题8】如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积 （用含有a，b的式子表示）．若，时，绿化的面积 ．
【答案】 /
【详解】解：阴影部分的面积为：
，
把，代入得：
．
故答案为：；32．
【变式训练8-1】一个底面是正方形的长方体，高为3cm，底面正方形的边长为2cm，若它的高不变，底面正方形边长增加了，则它的体积增加了 （用含a的代数式表示）．
【答案】
【详解】解：
，
∴它的体积增加了．
故答案为：．
【变式训练8-2】第十三届郑州国际少林武术节即将举行，来自国内外的上千名嘉宾、武术团体及运动员汇聚于此，共同欣赏和感受中国武术的深厚底蕴和文化魅力．如图，这是某武校为武术节筹备建造的一个武术表演台（阴影部分）．
(1)请用表示表演台的面积．（结果化为最简）
(2)若修建表演台的费用为元/平方米，且米，米，则修建表演台需要费用多少元？
【答案】(1)
(2)元
【详解】（1）解：
；
（2）解：当，时，
原式（平方米），
（元），
答：修建表演台需要费用元．
【变式训练8-3】某市有一块如图所示的梯形空地，梯形空地的上底长为米，下底长为米，高为米．
(1)求这块空地的面积；
(2)现计划对这块空地进行改造，修建一个长方形广场，若长方形广场的面积为平方米，它的宽为米，则长方形的长为多少米？
【答案】(1)这块空地的面积为平方米(2)长方形的长为米
【详解】（1）解：
．
答：这块空地的面积为平方米．
（2）
．
答：长方形的长为米．
【变式训练8-4】某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植株火龙果幼苗，种植了排，小长方形实验田每排种植株火龙果幼苗，种植了排，其中．
(1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？
(2)当，时，大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？
【答案】(1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植株火龙果幼苗；
(2)大长方形实验田比小长方形实验田多种植155株火龙果幼苗．
【详解】（1）解：由题意得，
，
即大长方形实验田比小长方形实验田多种植株火龙果幼苗；
（2）解：当，时，
，
即大长方形实验田比小长方形实验田多种植155株火龙果幼苗．
【变式训练8-5】某种植基地有一块长方形实验田和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中．
(1)长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？
(2)当，时，长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？
【答案】(1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株；
(2)长方形实验田比正方形实验田多种植62株豌豆幼苗．
【详解】（1）解：由题意得：
，
答：长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗株；
（2）解：当，时，
原式，
答：长方形实验田比正方形实验田多种植62株豌豆幼苗．中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.6&3.7同底数幂的除法和整式除法大题型（一课一讲）
（内容:同底数幂的除法及逆运算、整数的混合运算）
【浙教版】
题型一：同底数幂的除法求值
【经典例题1】已知，则 ．
【变式训练1-1】已知，则 ．
【变式训练1-2】若，则等于 ．
【变式训练1-3】若，，则 ．
【变式训练1-4】如果，那么的值为 ．
【变式训练1-5】已知，则＝ ．
题型二：零指数幂和负指数幂比较大小
【经典例题2】若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练2-1】已知，则a，b，c，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】若，那么a、b、c三数的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如果，，，那么、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】如果，，，那么，，三个数的大小为（ ）
A． B． C． D．
题型三：用科学记数法表示小于1的数
【经典例题3】5G基站的建立是深蓝网络空间领域数字基础的有力支撑，而5G基站服务器芯片的制造需要用到高纯度硅，已知硅原子的半径约为0.000000000117米．将数据“0.000000000117”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】细菌非常小，某种细菌的半径为，可以将数 用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】彝族剪纸是一种艺术创作，主要用作服装、卧具、居室和特定用品的装饰，图案多以花鸟虫鱼、飞禽走兽等为表现对象．剪纸纸张的厚度通常可以达到甚至更细．将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】2020年，太原钢铁（集团）有限公司成功研发出厚0.015毫米、宽600毫米的“手撕钢”．2023年年底，鞍钢集团钒钛（钢铁）研究院钛钢联合实验室摸清了0.015毫米超薄高温合金钢的全部技术参数，具备了轧制该产品的能力．用科学记数法表示数据0.015为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】华为系列搭载了麒麟芯片，这个被华为称之为全球首个5纳米工艺的芯片，拥有8个全球第一，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为 ．
【变式训练3-5】北斗卫星导航系统（）是我国自行研制的全球卫星导航系统．北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度，高可靠的定位、导航、授时服务，授时精度达到秒．将用科学记数法可表示为 ．
题型四：用科学记数法表示数的除法
【经典例题4】地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的 倍（结果保留整数）．
【变式训练4-1】火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍．
【变式训练4-2】去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）．
1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克．
【变式训练4-3】某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．
(1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？
(2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？
【变式训练4-4】细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍
题型五：整式的除法
【经典例题5】已知，则的值为 ．
【变式训练5-1】湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ．
账号： 密码
【变式训练5-2】已知 ，则 的值为 ．
【变式训练5-3】小明在计算时，由于粗心，误认为是乘，得到的结果是，则正确的结果是 ．
【变式训练5-4】计算：
（1） ；
（2） ．
【变式训练5-5】阅读材料：多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式计算，如图：
所以除以，商式为，余式为0．
请根据阅读材料回答下列问题：
若能被整除，则 ．
题型六：整式的四则混合运算
【经典例题6】计算
(1)
(2)
【变式训练6-1】计算：
(1)；
(2)．
【变式训练6-2】计算下列各题：
(1)．
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
(6)．
(7)．
(8)．
【变式训练6-3】计算：
【变式训练6-4】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式训练6-5】计算：
(1)；
(2)．
题型七：整式的化简求值
【经典例题7】先化简，再求值：，其中，．
【变式训练7-1】先化简，再求值：，其中，，．
【变式训练7-2】先化简，再求值：，其中
【变式训练7-3】先化简再求值：，其中．
【变式训练7-4】求值：，其中，．
【变式训练7-5】先化简，再求值：，其中，．
【变式训练7-6】已知，求的值．
题型八：整式的混合运算应用题
【经典例题8】如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积 （用含有a，b的式子表示）．若，时，绿化的面积 ．
【变式训练8-1】一个底面是正方形的长方体，高为3cm，底面正方形的边长为2cm，若它的高不变，底面正方形边长增加了，则它的体积增加了 （用含a的代数式表示）．
【变式训练8-2】第十三届郑州国际少林武术节即将举行，来自国内外的上千名嘉宾、武术团体及运动员汇聚于此，共同欣赏和感受中国武术的深厚底蕴和文化魅力．如图，这是某武校为武术节筹备建造的一个武术表演台（阴影部分）．
(1)请用表示表演台的面积．（结果化为最简）
(2)若修建表演台的费用为元/平方米，且米，米，则修建表演台需要费用多少元？
【变式训练8-3】某市有一块如图所示的梯形空地，梯形空地的上底长为米，下底长为米，高为米．
(1)求这块空地的面积；
(2)现计划对这块空地进行改造，修建一个长方形广场，若长方形广场的面积为平方米，它的宽为米，则长方形的长为多少米？
【变式训练8-4】某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植株火龙果幼苗，种植了排，小长方形实验田每排种植株火龙果幼苗，种植了排，其中．
(1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？
(2)当，时，大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？
【变式训练8-5】某种植基地有一块长方形实验田和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中．
(1)长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？
(2)当，时，长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？
