中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.1同底数幂的乘法七大题型（一课一讲）
（内容:同底数幂的乘除、积的乘方、幂的乘方）
【浙教版】
题型一：利用幂的运算进行判断式子是否正确
【经典例题1】（七年级下·河南周口·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】下列变形不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】（七年级下·河南南阳·期中）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】（七年级下·广西南宁·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-5】（七年级下·湖北十堰·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：幂的运算
【经典例题2】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【变式训练2-1】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【变式训练2-2】计算：
(1)； (2)； (3)．
【变式训练2-3】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)．
【变式训练2-4】计算：
(1)； (2)．
【变式训练2-5】计算：．
题型三：用科学记数法表示数的乘法
【经典例题3】（2023·河北石家庄·模拟预测）神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】（2023·河南南阳·一模）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（七年级下·山西大同·期末）月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
【变式训练3-3】（2022·湖北随州·中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中罗斯248星离太阳系的距离约光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，表示光在一年中所通过的距离，已知1光年约为千米，则罗斯248星距离太阳系约为（ ）千米．
A． B． C． D．
【变式训练3-5】（七年级下·山东青岛·期中）光在真空中的速度为km/s，太阳光照射到地球上大约需要s，则地球与太阳之间的距离用科学记数法表示为 km．
【变式训练3-6】（七年级下·江苏泰州·月考）数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是 立方千米．
题型四：利用幂的运算中逆运算进行求解
【经典例题4】（1）已知，求的值；
（2）若，求的值．
【变式训练4-1】（七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算的结果为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式训练4-2】已知，求的值．
【变式训练4-3】已知，当时，求m的值．
【变式训练4-4】（七年级下·江苏泰州·期末）（1）已知：，，计算的值．
（2）已知：，求的值．
【变式训练4-5】（2024七年级下·浙江·期中）（1）已知，求的值；；
（2）已知，，求的值．
题型五：利用幂的运算比较大小
【经典例题5】（七年级下·河南新乡·期中）已知，则a，b，c的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】（七年级下·北京朝阳·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
【变式训练5-2】已知，，，试比较a，b，c的大小．
【变式训练5-3】（七年级下·内蒙古赤峰·期中）阅读探究题：
比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，．
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，
解：，∵，∴
(1)，求x的值
(2)[类比解答]比较，的大小．
(3)[拓展拔高]比较，，的大小．
【变式训练5-4】（七年级下·江苏盐城·期末）阅读下面的材料：
材料一：比较和的大小
解：因为，且，所以，即，
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，
材料二：比较和的大小．
解：因为，且，所以，即，
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
解决下列问题：
(1)比较、、的大小：
(2)比较、、的大小：
(3)比较与的大小．
题型六：利用幂的运算表示字母之间的关系
【经典例题6】若，则 （填“”“”或“”）．
【变式训练6-1】若，则满足的关系式是 ．
【变式训练6-2】若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ．
【变式训练6-3】（七年级下·湖北恩施·期末）已知，，试用含，的式子表示： ．
【变式训练6-4】（七年级下·江苏苏州·期末）若，，，则用a，b的代数式表示c为
【变式训练6-5】按一定规律排列的一组数：，…．若表示这组数中连续的三个数，猜想满足的关系式是 ．
题型七：幂的运算中定义新运算
【经典例题7】同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ．
【变式训练7-1】（七年级下·北京朝阳·期中）定义一种新运算，若，则，例，．若，求x的值．
【变式训练7-2】（七年级下·江苏镇江·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，则，即．
(1)根据上述规定，填空：＝__________；（_________，16）＝4；
(2)计算＝_________，并说明理由；
(3)利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立．
【变式训练7-3】对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，．
(1)解方程：．
(2) ___________．
(3)计算：．
【变式训练7-4】（七年级下·江苏盐城·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
(1)求的值；
(2)若，，，求的值；
(3)若运算的结果为810，则t的值是多少？
【变式训练7-5】（七年级下·上海浦东新·期中）如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，；
(1)请根据上述定义，填空：
______；______；______；
(2)已知，，，且，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.1同底数幂的乘法七大题型（一课一讲）
（内容:同底数幂的乘除、积的乘方、幂的乘方）
【浙教版】
题型一：利用幂的运算进行判断式子是否正确
【经典例题1】（七年级下·河南周口·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：．与不是同类项不能合并，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-1】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-2】下列变形不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，该选项正确，不符合题意，
B、，该选项正确，不符合题意，
C、，该选项不正确，符合题意，
D、，该选项正确，不符合题意，
故选：C ．
【变式训练1-3】（七年级下·河南南阳·期中）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-4】（七年级下·广西南宁·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意；
B、，原运算错误，不符合题意；
C、，原运算错误，不符合题意；
D、，原运算正确，符合题意；
故选D．
【变式训练1-5】（七年级下·湖北十堰·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是正确的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是错误的；
故选：B．
题型二：幂的运算
【经典例题2】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）．
【变式训练2-1】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式训练2-2】计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
．
【变式训练2-3】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)．
【答案】(1) (2) (3) (4) (5)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式；
（5）解：原式．
【变式训练2-4】计算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式训练2-5】计算：．
【答案】0
【详解】解：
．
题型三：用科学记数法表示数的乘法
【经典例题3】（2023·河北石家庄·模拟预测）神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵飞行速度约为每秒，
∴飞行1分钟的路程约为：，
故选：A．
【变式训练3-1】（2023·河南南阳·一模）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：万．
故选：A．
【变式训练3-2】（七年级下·山西大同·期末）月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
【答案】C
【详解】解：，
地球到太阳的平均距离约为千米．
故选：C．
【变式训练3-3】（2022·湖北随州·中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：路程=．
故选：B．
【变式训练3-4】广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中罗斯248星离太阳系的距离约光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，表示光在一年中所通过的距离，已知1光年约为千米，则罗斯248星距离太阳系约为（ ）千米．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
故选：A．
【变式训练3-5】（七年级下·山东青岛·期中）光在真空中的速度为km/s，太阳光照射到地球上大约需要s，则地球与太阳之间的距离用科学记数法表示为 km．
【答案】
【详解】解：．
故答案为：．
【变式训练3-6】（七年级下·江苏泰州·月考）数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是 立方千米．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
题型四：利用幂的运算中逆运算进行求解
【经典例题4】（1）已知，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1） （2）
【详解】解：（1）因为，
所以，
解得；
（2）因为，
所以，
由，得，
所以，
所以，
所以．
【变式训练4-1】（七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算的结果为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【详解】解：
．
故选：D．
【变式训练4-2】已知，求的值．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
【变式训练4-3】已知，当时，求m的值．
【答案】
【详解】解：因为，
所以，，
所以，
当时，，
解得：．
【变式训练4-4】（七年级下·江苏泰州·期末）（1）已知：，，计算的值．
（2）已知：，求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：，，
故．
（2）解：，
∵，
∴．
【变式训练4-5】（2024七年级下·浙江·期中）（1）已知，求的值；；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1），
，
，
，
解得：；
（2）当，时，
．
题型五：利用幂的运算比较大小
【经典例题5】（七年级下·河南新乡·期中）已知，则a，b，c的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C
【变式训练5-1】（七年级下·北京朝阳·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【详解】解：，
，
，
，
故．
故答案为：．
【变式训练5-2】已知，，，试比较a，b，c的大小．
【答案】
【详解】解：，，，
∵,
∴，
即．
【变式训练5-3】（七年级下·内蒙古赤峰·期中）阅读探究题：
比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，．
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，
解：，∵，∴
(1)，求x的值
(2)[类比解答]比较，的大小．
(3)[拓展拔高]比较，，的大小．
【答案】(1)6(2)(3)
【详解】（1）解：，
即：，
∴，
∴；
（2），
∵，
∴，
即：；
（3），
∵，
∴；
∴．
【变式训练5-4】（七年级下·江苏盐城·期末）阅读下面的材料：
材料一：比较和的大小
解：因为，且，所以，即，
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，
材料二：比较和的大小．
解：因为，且，所以，即，
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
解决下列问题：
(1)比较、、的大小：
(2)比较、、的大小：
(3)比较与的大小．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，，，
，
，
；
（2），，，
，
，
；
（3），，
，
．
题型六：利用幂的运算表示字母之间的关系
【经典例题6】若，则 （填“”“”或“”）．
【答案】
【详解】解：∵，
①，
又，
②，
得到，，
即，
故．
故答案为：．
【变式训练6-1】若，则满足的关系式是 ．
【答案】
【详解】解：∵
∴，
∵，且，
∴，
故答案为：．
【变式训练6-2】若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式训练6-3】（七年级下·湖北恩施·期末）已知，，试用含，的式子表示： ．
【答案】/
【详解】解：，，
．
故答案为：．
【变式训练6-4】（七年级下·江苏苏州·期末）若，，，则用a，b的代数式表示c为
【答案】
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式训练6-5】按一定规律排列的一组数：，…．若表示这组数中连续的三个数，猜想满足的关系式是 ．
【答案】
【详解】解：观察数列可发现：，
∴前两个数的积等于第三个数，
∵x、y、z表示这列数中的连续三个数，
∴x、y、z满足的关系式是．
故答案为：．
题型七：幂的运算中定义新运算
【经典例题7】同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
；
故答案为：．
【变式训练7-1】（七年级下·北京朝阳·期中）定义一种新运算，若，则，例，．若，求x的值．
【答案】
【详解】解：设，，，
，，，
，
，
，
，
，
．
【变式训练7-2】（七年级下·江苏镇江·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，则，即．
(1)根据上述规定，填空：＝__________；（_________，16）＝4；
(2)计算＝_________，并说明理由；
(3)利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立．
【答案】(1)3，±2
(2)，理由见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：3，±2；
（2）；
理由如下：
设，，则，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
（3）设，，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
即，对于任意自然数n都成立．
【变式训练7-3】对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，．
(1)解方程：．
(2) ___________．
(3)计算：．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）解：；
∴，
∴或（负数舍去），
故；
（2）解：解法一：；
解法二：设，则，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：；
（3）解：．
【变式训练7-4】（七年级下·江苏盐城·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
(1)求的值；
(2)若，，，求的值；
(3)若运算的结果为810，则t的值是多少？
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：；
（2）解：当，，时，
；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：．
【变式训练7-5】（七年级下·上海浦东新·期中）如果，那么我们规定：，例如，因为，那么我们就说，；
(1)请根据上述定义，填空：
______；______；______；
(2)已知，，，且，求的值．
【答案】(1)2，6，4；(2)．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，， ，
故答案为：2，6，4；
（2）解：∵，，，
∴，，，
又∵，
∴，
∴．
