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专题3.2单项式的乘法七大题型（一课一讲）
（内容:单项式乘单项式、单项式乘多项式）
【浙教版】
题型一：计算单项式乘以单项式
【经典例题1】若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】下列关于单项式乘法的说法中，不正确的是（ ）
A．几个单项式的积仍是单项式
B．几个单项式相乘，有一个因式为0，积一定为0
C．几个符号相同的单项式相乘，积为正数
D．几个不为0的单项式的积的次数不可能比各个单项式的次数低
【变式训练1-2】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的乘积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-5】在下列各式中，应填入“”的是（ ）
A．______ B．______
C．______ D．______
题型二：计算单项式乘以多项式
【经典例题2】下列说法正确的是（ ）
A．单项式乘多项式的积可能是一个多项式，也可能是单项式
B．单项式乘多项式的积仍是一个单项式
C．单项式乘多项式的结果的项数与原多项式的项数相同
D．单项式乘多项式的结果的项数与原多项式的项数不同
【变式训练2-1】下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】下列各题计算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-4】若，则代数式的值为 ．
【变式训练2-5】已知，，，且的值与无关，则 ．
题型三：单项式乘法中求参数的值
【经典例题3】若单项式和的积为，则的值为（ ）
A．2 B．30 C． D．15
【变式训练3-1】已知单项式与的积与是同类项，则 ， ．
【变式训练3-2】若，则的值为 ．
【变式训练3-3】已知有理数满足，则 ．
【变式训练3-4】要使的展开式中不含项，则 ．
【变式训练3-5】如果单项式与的差是一个单项式，则这两个单项式的积是 ．
题型四：单项式乘法的计算题
【经典例题4】计算：
(1)；
(2)（把作为整体看作一个因式的底数）；
(3)．
【变式训练4-1】计算：
（1）；
（2）．
【变式训练4-2】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
(5)．
【变式训练4-3】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【变式训练4-4】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【变式训练4-5】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
题型五：单项式乘法的实际应用
【经典例题5】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】图中阴影部分是一块绿地，根据图中所给的数据，则阴影部分的面积为（ ）（长度单位：m）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：）如图所示．
(1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S．
(2)若m，n满足，求该广场的面积S．
(3)在（2）的条件下，若一款地砖的价格为元/，铺设地砖的人工费为元/，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少钱？
【变式训练5-3】已知一个长方体包装箱的长为，宽为，高为．
(1)求这个长方体包装箱的体积；
(2)如果给这个长方体包装箱的外表面都喷上油漆，那么需喷油漆的面积为多少平方米？
【变式训练5-4】如图，一条水渠的横断面是梯形，其两底边的宽度分别为米和米，高为米．
(1)求水渠的横断面的面积；
(2)如果水渠长米，那么该水渠可以蓄水多少立方米？
【变式训练5-5】有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a．
(1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）．
②当时，求园子的面积．
(2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）．
题型六：单项式乘法中遮挡问题
【经典例题6】小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】某同学在计算乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】（23-24八年级上·河南新乡·期中）老师在黑板上书写了一个正确的算式，随后用手掌遮住了一个多项式，形式如下：，则 处应为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-3】课后小明拿出数学笔记本复习，发现一道题被墨水污染了：，则“”处应填写的式子是( )
A． B． C． D．
【变式训练6-4】小明发现一道题：． 的地方被墨水污染了， 处应填写 ．
【变式训练6-5】某同学在计算乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是 ．
题型七：单项式乘法中定义新运算
【经典例题7】定义：表示，表示，则的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-1】定义一种新运算：，则 ．
【变式训练7-2】定义运算，比如，，那么关于“*”运算，以下等式成立的是 ．
①； ②； ③
【变式训练7-3】定义一种新运算“”，满足，如：．
(1)计算： ；
(2)求的值；
(3)等式“”是否成立？请说明理由．
【变式训练7-4】观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”．
(1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由；
(2)若是“同心有理数对”，
①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）；
②求的值．
【变式训练7-5】对于有理数定义新运算：．
(1)计算的值；
(2)这种新运算符合乘法分配律吗？若符合请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.2单项式的乘法七大题型（一课一讲）
（内容:单项式乘单项式、单项式乘多项式）
【浙教版】
题型一：计算单项式乘以单项式
【经典例题1】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
则，
∴，，
解得，
故选：C
【变式训练1-1】下列关于单项式乘法的说法中，不正确的是（ ）
A．几个单项式的积仍是单项式
B．几个单项式相乘，有一个因式为0，积一定为0
C．几个符号相同的单项式相乘，积为正数
D．几个不为0的单项式的积的次数不可能比各个单项式的次数低
【答案】C
【详解】解：A、几个单项式的积仍是单项式，不可能是多项式，说法正确，本选项不符合题意；
B、几个单项式相乘，有一个因式为0，积一定为0，说法正确，本选项不符合题意；
C、几个符号相同的单项式相乘，积可能为正数，也可能为负数，原说法错误，本选项符合题意；
D、几个不为0的单项式的积的次数不可能比各个单项式的次数低，说法正确，本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-2】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算正确，符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-3】如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的乘积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴
∴
∴两个单项式为与，乘积为：，
故选：C．
【变式训练1-4】下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-5】在下列各式中，应填入“”的是（ ）
A．______ B．______
C．______ D．______
【答案】B
【详解】解：A．，故选项不符合题意；
B．，故选项符合题意；
C．，故选项不符合题意；
D．，故选项不符合题意．
故选：B．
题型二：计算单项式乘以多项式
【经典例题2】下列说法正确的是（ ）
A．单项式乘多项式的积可能是一个多项式，也可能是单项式
B．单项式乘多项式的积仍是一个单项式
C．单项式乘多项式的结果的项数与原多项式的项数相同
D．单项式乘多项式的结果的项数与原多项式的项数不同
【答案】A
【详解】解：A、单项式乘多项式的积可能是一个多项式，也可能是单项式，故本选项符合题意；
B、单项式乘多项式的积仍是一个多项式，故本选项不符合题意；
C、只有一个非零单项式乘以多项式的结果的项数与原多项式的项数相同，故本选项不符合题意；
D、单项式乘以多项式的结果的项数与原多项式的项数相同，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式训练2-1】下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D正确．
故选：D．
【变式训练2-2】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练2-3】下列各题计算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练2-4】若，则代数式的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
【变式训练2-5】已知，，，且的值与无关，则 ．
【答案】
【详解】解：
；
∵的值与无关，
∴，
∴；
故答案为：．
题型三：单项式乘法中求参数的值
【经典例题3】若单项式和的积为，则的值为（ ）
A．2 B．30 C． D．15
【答案】D
【详解】单项式和的积为，
，
，
，
．
故选择：D．
【变式训练3-1】已知单项式与的积与是同类项，则 ， ．
【答案】 1 2
【详解】解：根据题意得，．
因为与是同类项，
所以，，解得，
故答案为：1，2．
【变式训练3-2】若，则的值为 ．
【答案】
【详解】因为，
所以，，解得，
代入，则．
所以．
故答案为：．
【变式训练3-3】已知有理数满足，则 ．
【答案】
【详解】解：，
则，
，
．
【变式训练3-4】要使的展开式中不含项，则 ．
【答案】0
【详解】解：
，
∵展开式中不含项，
∴，
故答案为：0．
【变式训练3-5】如果单项式与的差是一个单项式，则这两个单项式的积是 ．
【答案】/
【详解】解：∵单项式与的差是一个单项式，
∴与是同类项，
∴两个单项式分别为，，
∴这两个单项式的积是，
故答案为：．
题型四：单项式乘法的计算题
【经典例题4】计算：
(1)；
(2)（把作为整体看作一个因式的底数）；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式训练4-1】计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
．
【变式训练4-2】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
(5)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
（5）解：
．
【变式训练4-3】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式，
，
；
（3）解：原式，
；
（4）解：原式，
，
，
．
【变式训练4-4】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式
．
【变式训练4-5】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：，
，
，
；
（4）解：，
，
．
题型五：单项式乘法的实际应用
【经典例题5】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由图可知：拼成的长方形的面积是；
故选D．
【变式训练5-1】图中阴影部分是一块绿地，根据图中所给的数据，则阴影部分的面积为（ ）（长度单位：m）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：阴影部分的面积
，
故选：C．
【变式训练5-2】为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：）如图所示．
(1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S．
(2)若m，n满足，求该广场的面积S．
(3)在（2）的条件下，若一款地砖的价格为元/，铺设地砖的人工费为元/，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少钱？
【答案】(1)(2)(3)元
【详解】（1）解：根据题意得：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
即该花坛的面积为．
（3）解：（元）
答：为该广场铺满这款地砖一共要花费元．
【变式训练5-3】已知一个长方体包装箱的长为，宽为，高为．
(1)求这个长方体包装箱的体积；
(2)如果给这个长方体包装箱的外表面都喷上油漆，那么需喷油漆的面积为多少平方米？
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：因为，
所以这个长方体包装箱的体积为；
（2）解：因为包装箱的表面积为，
所以需喷的油漆．
【变式训练5-4】如图，一条水渠的横断面是梯形，其两底边的宽度分别为米和米，高为米．
(1)求水渠的横断面的面积；
(2)如果水渠长米，那么该水渠可以蓄水多少立方米？
【答案】(1)水渠的横断面积为平方米．
(2)水渠可以蓄水立方米．
【详解】（1）解：平方米，
∴水渠的横断面的面积为平方米；
（2）解：立方米，
∴水渠可以蓄水立方米．
【变式训练5-5】有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a．
(1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）．
②当时，求园子的面积．
(2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）．
【答案】(1)①；②1200(2)增大；
【详解】（1）解：①总长为，宽为，
园子的长为：，
园子的面积为：；
故答案为：；
②当，时，
；
（2）解：园子的宽不变，长增加了，
园子的面积增大了，
在园子的长边上开了1的门，
园子的长为：，
园子的面积为：，
园子增加的面积为：，
答：园子的面积增加了，此时园子的面积．
故答案为：增大．
题型六：单项式乘法中遮挡问题
【经典例题6】小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：
，
故被墨水污染了的应是，
故选：D．
【变式训练6-1】某同学在计算乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
，
．
故选：C．
【变式训练6-2】（23-24八年级上·河南新乡·期中）老师在黑板上书写了一个正确的算式，随后用手掌遮住了一个多项式，形式如下：，则 处应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得：．
故选：C．
【变式训练6-3】课后小明拿出数学笔记本复习，发现一道题被墨水污染了：，则“”处应填写的式子是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴
故选：C．
【变式训练6-4】小明发现一道题：． 的地方被墨水污染了， 处应填写 ．
【答案】
【详解】解：依题意，，
∴ 处应填写，
故答案为：．
【变式训练6-5】某同学在计算乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是 ．
【答案】
【详解】
解：，
，
故答案为：．
题型七：单项式乘法中定义新运算
【经典例题7】定义：表示，表示，则的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：依题意，表示，表示，
则，
故选：B ．
【变式训练7-1】定义一种新运算：，则 ．
【答案】/
【详解】解：∵，
∴
，
，
故答案为：．
【变式训练7-2】定义运算，比如，，那么关于“*”运算，以下等式成立的是 ．
①； ②； ③
【答案】①③/③①
【详解】解：，，则等式①成立；
，
，则等式②不成立；
，
，则等式③成立；
综上，等式成立的是①③，
故答案为：①③．
【变式训练7-3】定义一种新运算“”，满足，如：．
(1)计算： ；
(2)求的值；
(3)等式“”是否成立？请说明理由．
【答案】(1)5(2)(3)成立，理由见解析
【详解】（1）解：；
故答案为：5．
（2）解：
；
（3）解：成立；理由如下：
左边
，
右边
所以左边右边，所以原等式成立．
【变式训练7-4】观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”．
(1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由；
(2)若是“同心有理数对”，
①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）；
②求的值．
【答案】(1)不是“同心有理数对” ，是“同心有理数对”，理由见详解(2)①是②
【详解】（1）解：，，
故不是“同心有理数对” ．
，，
，
故是“同心有理数对”；
（2）解：①是“同心有理数对”，
．
，
故是“同心有理数对”，
故答案为：是；
②由得：，
，
当时，
原式
【变式训练7-5】对于有理数定义新运算：．
(1)计算的值；
(2)这种新运算符合乘法分配律吗？若符合请说明理由．
【答案】(1)(2)这种新运算不符合乘法分配律，理由见解析
【详解】（1）解：
；
（2）解：这种新运算不符合乘法分配律，理由如下：
，
，
∴，
即这种新运算不符合乘法分配律．
