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专题3.3多项式的乘法六大题型（一课一讲）
（内容:多项式乘多项式及其应用）
【浙教版】
题型一：计算多项式乘以多项式
【经典例题1】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练1-1】计算：．
【答案】
【详解】解：原式
．
【变式训练1-2】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式训练1-3】计算：
(1)； (2)；
(3)．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
【变式训练1-4】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：原式
．
【变式训练1-5】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
题型二：（x+p）(x+q)型多项式的乘法
【经典例题2】如果，则的值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【详解】∵，
∴．
故选D．
【变式训练2-1】观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得是（ ）
A． B．3 C． D．10
【答案】C
【详解】解：由图1中的运算规律得：，
故选：C．
【变式训练2-2】若，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．M与N的大小由x的取值而定
【答案】C
【详解】解：
，
∴，
故选：C．
【变式训练2-3】已知，则的值是 ．
【答案】16
【详解】解：，
，
，
，
，，，
，，
，
故答案为：16．
【变式训练2-4】若对任意x恒成立，其中均为整数，则m的值为 ．
【答案】/或/或
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵a、b为整数，
∴或或或，
∴，
∴的值为，
故答案为：．
【变式训练2-5】若，则的值为 ．
【答案】8
【详解】解：原式
，
，
原式，
故答案为：8．
题型三：多项式乘多项式化简求值
【经典例题3】若，，则的值是 ．
【答案】//
【分析】解：
∵，，
∴原式
故答案为：．
【变式训练3-1】若，，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，即：，
∴，
则
，
故答案为：．
【变式训练3-2】已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
；
∴的值为．
（2）解：
．
【变式训练3-3】先化简，再求值：，其中、．
【答案】；
【详解】解：
；
当、时，原式
．
【变式训练3-4】先化简，再求值：
(1)已知，求的值；
(2)，其中．
【答案】(1)，5 (2)，
【详解】（1）解：
．
当时，原式．
（2）解：
．
当时，原式．
【变式训练3-5】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【答案】(1)， (2)，
【详解】（1）解：
，
当时，原式；
（2）解：
，
当，时，原式．
【变式训练3-6】先化简，再求值：，且单项式与是同类项．
【答案】，
【详解】解：
；
∵与是同类项，
∴，
即，
∴．
题型四：多项式乘多项式与图形面积
【经典例题4】如图，有一个长为、宽为的长方形，它的周长为14，面积为12，则的值为（ ）
A．19 B．20 C．26 D．27
【答案】B
【详解】解：由题意知，．
∴．
∴．
故选：B．
【变式训练4-1】公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，则这个花坛扩展后的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意得：改变后花坛的长为，宽为，
则这个花坛扩展后的面积为，
故选：D．
【变式训练4-2】如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题：
(1)绿化的面积是多少？
(2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值．
【答案】(1)（平方米） (2)
【详解】（1）解：
（平方米）；
（2）解：原式
，
代数式的值与的取值无关，
，，
，
（平方米），
绿化面积的值为．
【变式训练4-3】如图1，小明用一个长为、宽为的长方形纸板，做一个有底无盖的盒子．他的方法是，把这个长方形的四个角各截掉一个边长为的小正方形，如图2，然后沿虚线折起来，便成为一个无盖的纸盒．
(1)若将盒子的外表面贴上彩纸，用代数式表示小明至少需要准备多大面积的彩纸；
(2)当时，求所需彩纸的面积．
【答案】(1)(2)所需彩纸的面积为
【详解】（1）解：根据题意得：
；
（2）解：当时，
所以，所需彩纸的面积为．
【变式训练4-4】今年以来，开封市高质量推进城区绿化“九大专项行动”，让城市幸福底色更加厚实，让群众尽享“绿色福利”．如图，该市有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长m米，宽米的长方形绿地，剩余四周全部修建成器材场地．
(1)求长方形绿地的面积：（去括号化简）
(2)器材场地比绿地的面积大多少平方米？
【答案】(1)平方米
(2)平方米
【详解】（1）解：平方米，
答：长方形绿地的面积为平方米；
（2）器材场地的面积为：米2，
平方米．
答：器材场地比绿地的面积大平方米．
【变式训练4-5】如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米．
(1)请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积；
(2)若，，求该长方形商业街区的总面积．
【答案】(1)
(2)1500平方米
【详解】（1）长方形区域的长为（米），
宽为（米），
该长方形商业街区的长为（米），
宽为（米），
该长方形商业街区的总面积为：
．
（2）当，时，
（平方米）．
当，时，该长方形商业街区的总面积为1500平方米．
题型五：整式乘法的混合运算
【经典例题5】发现：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数．验证：
(1)的结果是8的______倍；
(2)设三个连续的奇数中间的一个为（为整数），计算最大奇数与最小奇数的平方差，并说明它是8的倍数．
【答案】(1)7 (2)见解析
【详解】（1）解：，
，
故答案为：7．
（2）解：由题意得，最大奇数为，最小奇数为，则：
，
为整数，
为整数，
任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数．
【变式训练5-1】知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式 的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则．
理解应用：
(1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值；
(2)已知，，且的值与的取值无关，求的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
，
其值与的取值无关，
，
解得：，
即：当时，多项式的值与的取值无关；
（2）解：，，
；
的值与无关，
，即．
【变式训练5-2】如图1，是2022年2月份的日历，选择其中所示的方框部分，将这四个数字按照：“右上角数字×左下角数字﹣左上角数字×右下角数字”进行计算．
(1)计算： ； ；
(2)请猜想方框里的四个数字计算结果的规律，若左上角数字为m，请用整式运算对猜想的规律加以证明；
(3)如图2，选择任意的九个数字方框，将四个角上的数字，仍按照题中的运算方法计算，（2）中的规律还成立吗？直接写出是否成立．
【答案】(1)7，7 (2)7，证明见解析 (3)（2）中的规律不成立，理由见解析
【详解】（1），
故答案为：7，7；
（2）结果等于7，
证明：设左上角数字为m，则右上角数字为，左下角数字为，右下角数字为，
∴
＝7；
（3），
所以（2）中的规律不成立．
【变式训练5-3】学习多项式时，同学们研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
(1)已知多项式，则此多项式的零点为 ；
(2)已知多项式有一个零点为3，求多项式B的另一个零点．
【答案】(1)或 (2)
【详解】（1）解：当时，
当时，，
∴多项式的零点为或，
故答案为：或．
（2）解：∵多项式有一个零点为3，
∴当时，，
代入得，
解得，
即
，
即，
，
当时，
∴多项式B的另一个零点为．
【变式训练5-4】一个长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米（x，y为正整数），如果将长方形的长和宽各增加5厘米得到新的长方形，面积记为，将原长方形的长和宽各减少2厘米得到新的长方形，面积记为，
(1)如果比大196平方厘米，求原长方形的周长．
(2)请说明：的差一定是7的倍数．
(3)如果一个面积为的长方形和原来长方形能够没有缝隙没有重叠的拼成一个新的长方形，请直接写出x与y的关系．
【答案】(1) (2)见解析 (3)
【详解】（1）解：
，
由题意得：，
∴，
∴原长方形的周长为；
（2）解：由（1）知：，
∵，为正整数，
∴的差一定是7的倍数；
（3）解：新长方形的宽等于原长方形的长，即．
题型六：多项式乘法中规律问题
【经典例题6】在古代，数学主要服务于天文、历法、农业等领域，不同文明对数学的研究都取得了卓越的成就．古代的埃及人、巴比伦人、印度人和中国人都在数学上有着独特的贡献．而在这些文明中，中国数学的发展尤为丰富和深入，“杨辉三角”正是其中一颗璀璨的明珠．杨辉是我国南宋时期的数学家，他在所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下面所示的三角形数表解释二项和的乘方规律：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……… ………
杨辉三角给出了（，2，3，4）展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．依据上述规律，展开式中含项的系数是（ ）
A．5 B．6 C．9 D．10
【答案】A
【详解】解：由题意知，杨辉三角第6行数字从左到右依次为：1，5，10，10，5，1，
∴，
∴，
∴展开式中含项的系数是5，
故选：A．
【变式训练6-1】观察下列两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（ ）
A． B． C． D．3，4
【答案】A
【详解】解：根据题意：，，
，，
，或，，
a，b的值可能分别是，．
故选：A．
【变式训练6-2】观察下列等式：，，，，利用你发现的规律回答：若，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
，
，
，
∴，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
【变式训练6-3】试观察下列各式的规律，然后填空：
，
，
…
则 ．
【答案】/
【详解】解：根据题意可得，．
故答案为：
【变式训练6-4】你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以从简单的情形入手．
；
；
；
…
(1)由此我们可以得到__________；
(2)请你利用上面的结论计算；
(3)请你求出的值．
【答案】(1)； (2)； (3)．
【详解】（1）解：由此我们可以得到：；．
（2）解：
；
（3）解：
；
【变式训练6-5】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，
(1)根据图中规律，写出的展开式；
(2)根据图中规律，多项式的展开式第三项的系数是1，第三项的系数；
(3)认真观察规律，猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）；
(4)若的展开式第三项的系数是210，求你n的值
【答案】(1)(2)15(3)(4)
【详解】（1）解：由图可得，
；
（2）解：由图可知，
多项式的展开式是一个n次项式，
∵的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
∴的第三项系数为；
（3）解：∵的展开式的各项系数之和，
的展开式的各项系数之和，
的展开式的各项系数之和，
的展开式的各项系数之和，
…，
∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和是；
（4）解：的第三项系数为
，
解得（负值已舍）．中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.3多项式的乘法六大题型（一课一讲）
（内容:多项式乘多项式及其应用）
【浙教版】
题型一：计算多项式乘以多项式
【经典例题1】计算：
(1)；
(2)．
【变式训练1-1】计算：．
【变式训练1-2】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【变式训练1-3】计算：
(1)； (2)；
(3)．
【变式训练1-4】计算：
(1)；
(2)．
【变式训练1-5】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
题型二：（x+p）(x+q)型多项式的乘法
【经典例题2】如果，则的值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【变式训练2-1】观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得是（ ）
A． B．3 C． D．10
【变式训练2-2】若，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．M与N的大小由x的取值而定
【变式训练2-3】已知，则的值是 ．
【变式训练2-4】若对任意x恒成立，其中均为整数，则m的值为 ．
【变式训练2-5】若，则的值为 ．
题型三：多项式乘多项式化简求值
【经典例题3】若，，则的值是 ．
【变式训练3-1】若，，则的值为 ．
【变式训练3-2】已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式训练3-3】先化简，再求值：，其中、．
【变式训练3-4】先化简，再求值：
(1)已知，求的值；
(2)，其中．
【变式训练3-5】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中，．
【变式训练3-6】先化简，再求值：，且单项式与是同类项．
题型四：多项式乘多项式与图形面积
【经典例题4】如图，有一个长为、宽为的长方形，它的周长为14，面积为12，则的值为（ ）
A．19 B．20 C．26 D．27
【变式训练4-1】公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，则这个花坛扩展后的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题：
(1)绿化的面积是多少？
(2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值．
【变式训练4-3】如图1，小明用一个长为、宽为的长方形纸板，做一个有底无盖的盒子．他的方法是，把这个长方形的四个角各截掉一个边长为的小正方形，如图2，然后沿虚线折起来，便成为一个无盖的纸盒．
(1)若将盒子的外表面贴上彩纸，用代数式表示小明至少需要准备多大面积的彩纸；
(2)当时，求所需彩纸的面积．
【变式训练4-4】今年以来，开封市高质量推进城区绿化“九大专项行动”，让城市幸福底色更加厚实，让群众尽享“绿色福利”．如图，该市有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长m米，宽米的长方形绿地，剩余四周全部修建成器材场地．
(1)求长方形绿地的面积：（去括号化简）
(2)器材场地比绿地的面积大多少平方米？
【变式训练4-5】如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米．
(1)请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积；
(2)若，，求该长方形商业街区的总面积．
题型五：整式乘法的混合运算
【经典例题5】发现：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数．验证：
(1)的结果是8的______倍；
(2)设三个连续的奇数中间的一个为（为整数），计算最大奇数与最小奇数的平方差，并说明它是8的倍数．
【变式训练5-1】知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式 的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则．
理解应用：
(1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值；
(2)已知，，且的值与的取值无关，求的值．
【变式训练5-2】如图1，是2022年2月份的日历，选择其中所示的方框部分，将这四个数字按照：“右上角数字×左下角数字﹣左上角数字×右下角数字”进行计算．
(1)计算： ； ；
(2)请猜想方框里的四个数字计算结果的规律，若左上角数字为m，请用整式运算对猜想的规律加以证明；
(3)如图2，选择任意的九个数字方框，将四个角上的数字，仍按照题中的运算方法计算，（2）中的规律还成立吗？直接写出是否成立．
【变式训练5-3】学习多项式时，同学们研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
(1)已知多项式，则此多项式的零点为 ；
(2)已知多项式有一个零点为3，求多项式B的另一个零点．
【变式训练5-4】一个长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米（x，y为正整数），如果将长方形的长和宽各增加5厘米得到新的长方形，面积记为，将原长方形的长和宽各减少2厘米得到新的长方形，面积记为，
(1)如果比大196平方厘米，求原长方形的周长．
(2)请说明：的差一定是7的倍数．
(3)如果一个面积为的长方形和原来长方形能够没有缝隙没有重叠的拼成一个新的长方形，请直接写出x与y的关系．
题型六：多项式乘法中规律问题
【经典例题6】在古代，数学主要服务于天文、历法、农业等领域，不同文明对数学的研究都取得了卓越的成就．古代的埃及人、巴比伦人、印度人和中国人都在数学上有着独特的贡献．而在这些文明中，中国数学的发展尤为丰富和深入，“杨辉三角”正是其中一颗璀璨的明珠．杨辉是我国南宋时期的数学家，他在所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下面所示的三角形数表解释二项和的乘方规律：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……… ………
杨辉三角给出了（，2，3，4）展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．依据上述规律，展开式中含项的系数是（ ）
A．5 B．6 C．9 D．10
【变式训练6-1】观察下列两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（ ）
A． B． C． D．3，4
【变式训练6-2】观察下列等式：，，，，利用你发现的规律回答：若，则的值是 ．
【变式训练6-3】试观察下列各式的规律，然后填空：
，
，
…
则 ．
【变式训练6-4】你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以从简单的情形入手．
；
；
；
…
(1)由此我们可以得到__________；
(2)请你利用上面的结论计算；
(3)请你求出的值．
【变式训练6-5】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，
(1)根据图中规律，写出的展开式；
(2)根据图中规律，多项式的展开式第三项的系数是1，第三项的系数；
(3)认真观察规律，猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）；
(4)若的展开式第三项的系数是210，求你n的值
