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专题3.4&3.5 乘法公式和整式的化简九大题型（一课一讲）
（内容:平方差公式及其应用、完全平方公式及其应用）
【浙教版】
题型一：判断式子变形是否正确
【经典例题1】为了运用平方差公式计算，必须先对式子进行变形．下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】给出下列式子：
①；
②；
③；
④．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-2】下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-5】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：乘法公式计算题
【经典例题2】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【变式训练2-1】用乘法公式简便计算：
(1)；
(2)
【变式训练2-2】利用乘法公式计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【变式训练2-3】利用平方差公式计算：
(1)；
(2)；
【变式训练2-4】运用乘法公式计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【变式训练2-5】利用平方差公式计算．
(1)． (2)．
(3)．
题型三：利用乘法公式比较大小
【经典例题3】设，则M与N的关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】若，则a，b，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式训练3-3】当时，比较两个代数式的大小关系： （ ）
A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定
【变式训练3-4】设，，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
题型四：利用乘法公式求参数的值
【经典例题4】若，则n等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式训练4-1】若，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【变式训练4-2】若，则m等于（ ）
A． B． C．6 D．8
【变式训练4-3】若，则m的值是 ．
【变式训练4-4】若，则m，n的值分别为 ．
【变式训练4-5】若是一个关于的完全平方式，则 ．
【变式训练4-6】若，则的值是 ．
题型五：利用乘法公式求代数式的值
【经典例题5】已知，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式训练5-1】两个不相等的实数满足，．
（1）的值为 ；
（2）的值为 ．
【变式训练5-2】若，则 ．
【变式训练5-3】已知，且，则 ．
【变式训练5-4】已知x满足，则的值是 ．
【变式训练5-5】已知，，则的值为 ．
【变式训练5-6】若，则 ．
题型六：利用完全平方公式求最值
【经典例题6】若，则的最小值是（ ）
A．2014 B．2016 C．2018 D．2020
【变式训练6-1】已知实数m，n满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．4
【变式训练6-2】当x是多少时，多项式的最小值是（ ）
A．，4 B．， 5 C．0， 5 D．0， 4
【变式训练6-3】已知实数满足，则的最大值为 ．
【变式训练6-4】请同学们运用公式解决问题：已知满足，则的最小值为 ．
题型七：平方差与完全平方的实际应用
【经典例题7】3月26日，南召县召开2024年“三城联创”工作大会．会议要求，争取“一年打基础、三年出形象、五年功能完善”，进入全市第一方阵．如下图，某公园有一块长米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形空地，规划部门计划在中间正方形空白处修建一座雕像，将阴影部分进行绿化，求绿化部分的面积．
【变式训练7-1】如图所示的是一块“L”形菜地，要把这块菜地分成面积相等的两个梯形，种植两种不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是，下底都是，高都是．用含x，y的代数式表示菜地的面积．当时，菜地的面积是多少平方米？
【变式训练7-2】霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔn mǎo）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为，宽为的长方形，中间凿掉一个边长为的正方形，且该零件的高为．求这个零部件体积．
【变式训练7-3】综合与实践
某校为落实新课标劳动教育的理念，开垦了如图所示的两块边长分别为，的正方形劳动实践基地，它们的边长和为．现计划将边长为的正方形劳动实践基地用来种植土豆，将边长为的正方形劳动实践基地划分为4块，其中长为，宽为的长方形基地用来种植向日葵且种植的面积为，另外3块边长为的小正方形基地用来种植3种不同的蔬菜．
(1)求该校劳动实践基地的总面积．
(2)某劳动实践小组的同学准备为种植3种蔬菜的小正方形基地四周都加上铁网，防止小动物啃咬，求铁网的长．
【变式训练7-4】如图，学校有一块边长为的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为、宽为的长方形鱼池供观赏．
(1)绿化的面积是多少平方米？
(2)若，求绿化面积．
【变式训练7-5】小红家有一块L形菜地，要把L形菜地按如图所示分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜．已知这两个梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是米．
(1)请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？
(2)当时，面积是多少平方米？
题型八：乘法公式中定义新运算
【经典例题8】设，是有理数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①② C．③④ D．①②④
【变式训练8-1】定义一种新运算．例如．按照这种运算规定，得．求x的值．
【变式训练8-2】对于任意有理数，我们规定．例如：．当时，求的值．
【变式训练8-3】在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”．
(1)判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）；
(2)已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【变式训练8-4】小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为；当，即或时，的值均为．
于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于______对称；若关于的多项式关于对称，则______；
(2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为，求时，多项式的值．
【变式训练8-5】阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为识，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部．b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：
(1)填空：___________，___________；
(2)计算：① ②
(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x，y为实数），求x，y的值．
题型九：乘法公式与几何图形
【经典例题9】如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练9-1】在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【变式训练9-2】如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______．
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积.
方法①___________；方法②__________．
(3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______．
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值．
【变式训练9-3】如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形．
(1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示）
(2)在图2中，m与n的等量关系为______；
(3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式．
【变式训练9-4】如图，正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分的面积可以用正方形的面积与正方形的面积的差来计算；也可以用长方形的面积与长方形的面积的和来计算．
(1)根据图中阴影面积的不同计算方式，请直接写成，，之间的等量关系；
(2)根据（）中得到的等量关系，解决下面的问题：
①计算：；
②若，求的值．
【变式训练9-5】乘法公式的探究及应用
(1)如图1到图2的操作能验证的等式是____________．（请选择正确的一个）
A． B．
C． D．
(2)当，时，则____________；
(3)运用你所得到的公式，计算下列各题：
①；
②．中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.4&3.5 乘法公式和整式的化简九大题型（一课一讲）
（内容:平方差公式及其应用、完全平方公式及其应用）
【浙教版】
题型一：判断式子变形是否正确
【经典例题1】为了运用平方差公式计算，必须先对式子进行变形．下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：
，
故选：D．
【变式训练1-1】给出下列式子：
①；
②；
③；
④．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】①，此题计算错误，故不符合题意；
②此题计算错误，故不符合题意；
③，此题计算正确，故符合题意；
④此题计算正确，故符合题意；
只有正确，
故选：B．
【变式训练1-2】下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，故能够用平方差公式计算；
B、不符合平方差公式的结构，故不能够用平方差公式计算；
C、，故能够用平方差公式计算；
D、，故能够用平方差公式计算；
故选：B．
【变式训练1-3】为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：
，
故选：B．
【变式训练1-4】下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-5】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、，正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故选：A．
题型二：乘法公式计算题
【经典例题2】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：
．
【变式训练2-1】用乘法公式简便计算：
(1)；
(2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【变式训练2-2】利用乘法公式计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式训练2-3】利用平方差公式计算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)249996(2)
【详解】（1）
解：
；
（2）
解：
．
【变式训练2-4】运用乘法公式计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1) (2)
(3) (4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式训练2-5】利用平方差公式计算．
(1)． (2)．
(3)．
【答案】(1)(2)(3)1
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
题型三：利用乘法公式比较大小
【经典例题3】设，则M与N的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
，
，
故选：B．
【变式训练3-1】若，则a，b，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：B．
【变式训练3-2】若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】解：，
，
，
的大小关系为：．
故选：A．
【变式训练3-3】当时，比较两个代数式的大小关系： （ ）
A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定
【答案】A
【详解】解；
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练3-4】设，，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵
，
，
∴．
故选：B．
题型四：利用乘法公式求参数的值
【经典例题4】若，则n等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】解：，
则
故选：B．
【变式训练4-1】若，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【详解】解：等式左边
，
∴，
∴，
故选：B ．
【变式训练4-2】若，则m等于（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】B
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：．
【变式训练4-3】若，则m的值是 ．
【答案】2025
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2025．
【变式训练4-4】若，则m，n的值分别为 ．
【答案】0，
【详解】解：，
则，
故答案为：，．
【变式训练4-5】若是一个关于的完全平方式，则 ．
【答案】13或
【详解】解：∵是一个关于的完全平方式，
∴，
解得：或，
故答案为：13或．
【变式训练4-6】若，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
题型五：利用乘法公式求代数式的值
【经典例题5】已知，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练5-1】两个不相等的实数满足，．
（1）的值为 ；
（2）的值为 ．
【答案】 8或
【详解】解：（1），
，
，
，
；
故答案为：；
（2）由（1）知，
，
，
8或．
故答案为：8或．
【变式训练5-2】若，则 ．
【答案】48
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：48．
【变式训练5-3】已知，且，则 ．
【答案】64
【详解】解：∵，，
∴
∴，
故答案为：64．
【变式训练5-4】已知x满足，则的值是 ．
【答案】4
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【变式训练5-5】已知，，则的值为 ．
【答案】19
【详解】解：已知，，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【变式训练5-6】若，则 ．
【答案】9
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
故答案为：9．
题型六：利用完全平方公式求最值
【经典例题6】若，则的最小值是（ ）
A．2014 B．2016 C．2018 D．2020
【答案】A
【详解】解：
，
∵，
∴M的最小值是2014．
故选：A．
【变式训练6-1】已知实数m，n满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．4
【答案】A
【详解】∵，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：A．
【变式训练6-2】当x是多少时，多项式的最小值是（ ）
A．，4 B．， 5 C．0， 5 D．0， 4
【答案】A
【详解】解：，
∵，
∴，即，
且当，即时，，
∴当x是时，多项式的最小值是4，
故选：A．
【变式训练6-3】已知实数满足，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
．
∵
∴．
可得，
∴的最大值为．
故答案为：．
【变式训练6-4】请同学们运用公式解决问题：已知满足，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：
，
∴当 时， 的最小值为，
故答案为:．
题型七：平方差与完全平方的实际应用
【经典例题7】3月26日，南召县召开2024年“三城联创”工作大会．会议要求，争取“一年打基础、三年出形象、五年功能完善”，进入全市第一方阵．如下图，某公园有一块长米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形空地，规划部门计划在中间正方形空白处修建一座雕像，将阴影部分进行绿化，求绿化部分的面积．
【答案】绿化的面积是平方米．
【详解】解：
平方米
即绿化的面积是平方米．
【变式训练7-1】如图所示的是一块“L”形菜地，要把这块菜地分成面积相等的两个梯形，种植两种不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是，下底都是，高都是．用含x，y的代数式表示菜地的面积．当时，菜地的面积是多少平方米？
【答案】；
【详解】解：菜地的面积是．
当时，菜地的面积是．
【变式训练7-2】霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔn mǎo）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为，宽为的长方形，中间凿掉一个边长为的正方形，且该零件的高为．求这个零部件体积．
【答案】这个零件体积为
【详解】由题意得，这个零部件的平面图体积是
．
答：这个零件体积为．
【变式训练7-3】综合与实践
某校为落实新课标劳动教育的理念，开垦了如图所示的两块边长分别为，的正方形劳动实践基地，它们的边长和为．现计划将边长为的正方形劳动实践基地用来种植土豆，将边长为的正方形劳动实践基地划分为4块，其中长为，宽为的长方形基地用来种植向日葵且种植的面积为，另外3块边长为的小正方形基地用来种植3种不同的蔬菜．
(1)求该校劳动实践基地的总面积．
(2)某劳动实践小组的同学准备为种植3种蔬菜的小正方形基地四周都加上铁网，防止小动物啃咬，求铁网的长．
【答案】(1)该校劳动实践基地的总面积为(2)铁网的长为
【详解】（1）解：根据题意，得，．
劳动实践基地是两块边长分别为，的正方形，
劳动实践基地的总面积为．
．
答：该校劳动实践基地的总面积为．
（2）解：根据题意，得3块小正方形基地的边长，
块小正方形基地的面积为，
，
为正整数，
．
根据题意，得3块小正方形基地四周都加铁网的长为．
答：铁网的长为．
【变式训练7-4】如图，学校有一块边长为的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为、宽为的长方形鱼池供观赏．
(1)绿化的面积是多少平方米？
(2)若，求绿化面积．
【答案】(1)平方米(2)92平方米
【详解】（1）解：由题意得：绿化的面积等于正方形的面积减去长方形的面积，
则绿化的面积为
，
答：绿化的面积是平方米．
（2）解：∵，
∴绿化的面积为
（平方米），
答：绿化面积为92平方米．
【变式训练7-5】小红家有一块L形菜地，要把L形菜地按如图所示分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜．已知这两个梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是米．
(1)请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？
(2)当时，面积是多少平方米？
【答案】(1) 平方米(2)平方米
【详解】（1）菜地面积共有： 平方米
（2）当时，
（平方米）
题型八：乘法公式中定义新运算
【经典例题8】设，是有理数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①② C．③④ D．①②④
【答案】A
【详解】解：①，，故①符合题意；
②，，故②不符合题意；
③，，故③符合题意；
④；，故④不符合题意；
故选：A．
【变式训练8-1】定义一种新运算．例如．按照这种运算规定，得．求x的值．
【答案】
【详解】解：根据题意得，
，
，
解得：．
【变式训练8-2】对于任意有理数，我们规定．例如：．当时，求的值．
【答案】，1
【详解】解：原式
．
因为，所以，
所以原式．
【变式训练8-3】在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”．
(1)判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）；
(2)已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【答案】(1)是(2)，理由见解析
【详解】（1）解：，
∴20是“妙数”；
故答案为：是；
（2）解：，理由如下：
．
为“妙数”，
，
【变式训练8-4】小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为；当，即或时，的值均为．
于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于______对称；若关于的多项式关于对称，则______；
(2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为，求时，多项式的值．
【答案】(1)，(2)．
【详解】（1）解：由，
则是关于对称，
由，关于对称，
由题意得，
故答案为：，；
（2）由，
∵关于的多项式关于对称，
∴，解得，
∵当时，多项式的值为，
∴，解得，
∴关于的多项式为，
∴当时，．
【变式训练8-5】阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为识，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部．b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：
(1)填空：___________，___________；
(2)计算：① ②
(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x，y为实数），求x，y的值．
【答案】(1)(2)①10；②(3)
【详解】（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）①
；
②
；
（3）∵，
∴，
解得，
即．
题型九：乘法公式与几何图形
【经典例题9】如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：左图阴影部分面积可表示为，右图阴影部分面积可表示为，
两者面积相等，
，
即：它可以验证，
故选：．
【变式训练9-1】在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【详解】解：①左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意；
②左边阴影图形面积为，右边长方形的长为，宽为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意；
③左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意；
④左边阴影图形的面积为，右边长方形的面积为，不能够验证平方差公式，不符合题意；
∴能够验证平方差公式的有图①②③，
故选：C．
【变式训练9-2】如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______．
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积.
方法①___________；方法②__________．
(3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______．
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值．
【答案】(1)(2)，
(3)(4)16
【详解】（1）解：由拼图可知，阴影部分是边长为的正方形，
故答案为：；
（2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为；
方法二：从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即为阴影部分的面积，
即；
故答案为：，；
（3）由（2）的两种方法可得，；
故答案为：；
（4）．
，，
．
【变式训练9-3】如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形．
(1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示）
(2)在图2中，m与n的等量关系为______；
(3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式．
【答案】(1)(2)
(3)，
【详解】（1）解：由长方形的面积公式可得：.
故答案为：；
（2）由图可知：.
故答案为：；
（3）由图可知：大正方形的边长为，阴影小正方形的边长为，
又∵大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24
∴两个关于m，n的等式为：，．
【变式训练9-4】如图，正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分的面积可以用正方形的面积与正方形的面积的差来计算；也可以用长方形的面积与长方形的面积的和来计算．
(1)根据图中阴影面积的不同计算方式，请直接写成，，之间的等量关系；
(2)根据（）中得到的等量关系，解决下面的问题：
①计算：；
②若，求的值．
【答案】(1)(2)①；②
【详解】（1）解：图中阴影部分的面积看作用正方形的面积与正方形的面积的差，即；
图中阴影部分的面积也可以用长方形的面积与长方形的面积的和，即，
∴；
（2）解：①原式
；
②∵
，
∵，
，
解得．
【变式训练9-5】乘法公式的探究及应用
(1)如图1到图2的操作能验证的等式是____________．（请选择正确的一个）
A． B．
C． D．
(2)当，时，则____________；
(3)运用你所得到的公式，计算下列各题：
①；
②．
【答案】(1)D(2)2(3)①2；②
【详解】（1）解：图1中阴影面积为，
图2的阴影面积为，
∴图1到图2的操作能验证的等式是，
故选：D；
（2）解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
故答案为：2；
（3）解：①
；
②
.
