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【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版 能力提升
专题突破七：整式的乘除综合之探索规律问题
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【详解】解：由题意可得，，
当时，，
，
，，，，，
尾数是4个一循环，
，
尾数为：，
故选：C．
【题组训练2】观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【详解】解：根据规律得，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【题组训练3】观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵；
；
…
∴，
∴
，
∵
∴，
∴原式．
故选：D．
【题组训练4】观察下列各个式子的规律：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式： ；
……
第202个等式： ．
【答案】
【详解】解：根据题中规律可得，
进而得出第n个等式：，
∴，
故答案为：；．
【题组训练5】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，
利用上述规律计算： ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴
∴，
故答案为：．
【题组训练6】“杨辉三角”是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数，杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两数之和．观察下列各式及其展开式：
根据规律，的展开式中含项的系数为 ．
【答案】
【详解】解：由杨辉三角形可得，
，
即的展开式中含项的系数为，
故答案为：．
【题组训练7】观察下列等式：；；；；
根据上述规律，计算 ．
【答案】
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【题组训练8】如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为 ．
【答案】
【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为（个）；
第二个图案需要的个数为（个）；
第三个图案需要的个数为（个）；
第四个图案需要的个数为（个）；
…
第n个图案需要的个数为：
（个），
当时，，
故答案为：．
【题组训练9】【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律：
方框一：．
方框二：．
【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式：
【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律．
【答案】[验证] ；[探究] ．
【详解】解：[验证]根据题意，；
[探究]设被框住的四个数中最小的数为n，则其余三个数分别为，，，
规律为：．
依题意，．
【题组训练10】（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ；
（2）为了求的值，
可令①，
则②，
由②式﹣①式，得，
，即．
仿照以上推理，计算．
【答案】（1）2，，；（2）
【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2；
∵，
∴类推得到：，
∴，
故答案为：2，，；
（2）解：为了求的值，可令①，
则②，
由②式﹣①式，得，
，
即．
【题组训练11】计算下列各式，然后回答问题．
； ；
； ．
（1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果．
．
（2）运用上述结果，写出下列各题结果．
① ；
② ．
【答案】；；；；
（1）；
（2）①；②
【详解】解：；
；
；
．
（1）．
（2）①；
②．
【题组训练12】【发现问题】
，
，
……
小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律．
【提出问题】
上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？
如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？
【分析问题】
请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空：
（1）①_____；
②_______________；
（2）____________________；
……
【解决问题】
（3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明．
【答案】①；②，，；（2），，，；（3），见解析
【详解】解：（1）①，
故答案为：；
②，
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），
证明如下：
左边，
右边，
左边右边，
.
【题组训练13】观察以下等式：
第1个：
第2个：
第3个：
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【详解】（1）解：第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式为：，
证明：左边，
右边，
左边右边，
等式成立．
【题组训练14】观察下列关于正整数的等式：
；①
；②
；③
……
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第个等式：____________．
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．
【答案】(1)；
(2)猜想，证明见解析
【详解】（1）解：由题意得：第五个等式为，
故答案为：5，21；
（2）解：猜想：第个等式为，
证明：等式左边：．
∴等式左右两边相等，
∴第个等式为．
【题组训练15】(1)计算并观察下列各式：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
(2)猜想：
若n为大于1的正整数，则 ；
(3)利用(2)的猜想计算： ．
(4)拓广与应用： ．
【答案】(1) 、、；(2) ；(3)；(4)
【详解】解：（1）第1个：；
第2个：；
第3个：；
故答案为：；；；
（2）若n为大于1的正整数，则,
故答案：为；
（3）
，
故答案为：．
（4）
=
=
=，
故答案为： ．
【题组训练16】（1）请计算下列各式的值，你发现结果有什么规律？
，，，…
（2）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明；
（3）利用你发现的规律计算：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1
【详解】解：（1）∵，，，…
∴；
（2）；
（3）由（2）知．
【题组训练17】【知识探索】观察以下等式：
…
按以上等式的规律，发现：．
（1）利用多项式乘以多项式的法则，证明成立；
【知识运用】
（2）已知，，求的值；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）的值为
【详解】解：（1）∵
，
∴．
（2）∵，．
∴，
∴．
（3）由，得，
设，，
则，
∴，
，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴的值为．
【题组训练18】探究活动：
(1)探究规律：，
，
，
______；…
(2)猜想规律：______（表示十位上数字是a，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）．
(3)请证明上述猜想．
(4)知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，会不会也有类似规律？请探索找出规律并证明；
【答案】(1)；
(2)
(3)见解析；
(4)也有类似规律，理由见解析．
【详解】（1）解：∵，
，
，
∴
故答案为：；
（2）由（1）总结规律可得：
故答案为：
（3）证明：等式的左边
等式的右边
左边右边，
∴成立．
（4）解：当时，也有类似规律，即，理由如下：
左边，
右边，
∴左边右边，
∴当时，也有类似规律，即．
【题组训练19】日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2014年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”，我们惊喜的发现这好像是日历中普遍存在的一个规律．
(1)请同学们在2014年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律
(2)请同学们利用你学过的数学知识来解释这一规律．
【答案】(1)图见解析，见解析，(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示
∵，
∴上述规律正确．
（2）解：设方格圈上的四个数分别为，，，
【题组训练20】为探究“十位上的数和为10，个位上的数相同”的两个数乘积的规律，现得到如下等式：
，
，
，
，
，
(1)结果的后两位为 ；
(2)设其中一个数的十位上的数为a，个位上的数为b（a，b均为小于10的正整数），请用含a，b的代数式分别表示上述两个数，并说明两个数乘积的后两位等于；
(3)若两个数的十位上的数相同，个位上的数和为10，设其中一个数的个位上的数为c（c为小于10的正整数），则这两个数乘积的后两位等于 （用含c的代数式表示）．
【答案】(1)25
(2)，，说明见解析
(3)
【详解】（1）解：观察题干中的等式可知：个位数字乘个位数字的乘积直接作为积的后两位，
∵，
∴结果的后两位为；
故答案为：25．
（2）解：由题意，两个两位数分别表示为：，，
∴
；
∴两个数乘积的后两位等于；
（3）设十位上的数字为，则两个两位数分别表示为：，，
∴两个数的乘积为：
，
∴这两个数乘积的后两位等于；
故答案为：．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版 能力提升
专题突破七：整式的乘除综合之探索规律问题
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】观察下列算式：①；②；③寻找规律，并判断的值的末位数字为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【题组训练2】观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（ ）
A． B． C． D．0
【题组训练3】观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练4】观察下列各个式子的规律：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式： ；
……
第202个等式： ．
【题组训练5】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，
利用上述规律计算： ．
【题组训练6】“杨辉三角”是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数，杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两数之和．观察下列各式及其展开式：
根据规律，的展开式中含项的系数为 ．
【题组训练7】观察下列等式：；；；；
根据上述规律，计算 ．
【题组训练8】如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为 ．
【题组训练9】【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律：
方框一：．
方框二：．
【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式：
【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律．
【题组训练10】（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ；
（2）为了求的值，
可令①，
则②，
由②式﹣①式，得，
，即．
仿照以上推理，计算．
【题组训练11】计算下列各式，然后回答问题．
； ；
； ．
（1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果．
．
（2）运用上述结果，写出下列各题结果．
① ；
② ．
【题组训练12】【发现问题】
，
，
……
小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律．
【提出问题】
上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？
如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？
【分析问题】
请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空：
（1）①_____；
②_______________；
（2）____________________；
……
【解决问题】
（3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明．
【题组训练13】观察以下等式：
第1个：
第2个：
第3个：
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【题组训练14】观察下列关于正整数的等式：
；①
；②
；③
……
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第个等式：____________．
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．
【题组训练15】(1)计算并观察下列各式：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
(2)猜想：
若n为大于1的正整数，则 ；
(3)利用(2)的猜想计算： ．
(4)拓广与应用： ．
【题组训练16】（1）请计算下列各式的值，你发现结果有什么规律？
，，，…
（2）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明；
（3）利用你发现的规律计算：．
【题组训练17】【知识探索】观察以下等式：
…
按以上等式的规律，发现：．
（1）利用多项式乘以多项式的法则，证明成立；
【知识运用】
（2）已知，，求的值；
（3）已知，求的值．
【题组训练18】探究活动：
(1)探究规律：，
，
，
______；…
(2)猜想规律：______（表示十位上数字是a，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）．
(3)请证明上述猜想．
(4)知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，会不会也有类似规律？请探索找出规律并证明；
【题组训练19】日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2014年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”，我们惊喜的发现这好像是日历中普遍存在的一个规律．
(1)请同学们在2014年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律
(2)请同学们利用你学过的数学知识来解释这一规律．
【题组训练20】为探究“十位上的数和为10，个位上的数相同”的两个数乘积的规律，现得到如下等式：
，
，
，
，
，
(1)结果的后两位为 ；
(2)设其中一个数的十位上的数为a，个位上的数为b（a，b均为小于10的正整数），请用含a，b的代数式分别表示上述两个数，并说明两个数乘积的后两位等于；
(3)若两个数的十位上的数相同，个位上的数和为10，设其中一个数的个位上的数为c（c为小于10的正整数），则这两个数乘积的后两位等于 （用含c的代数式表示）．
