浙教版（2024）数学七年级下册 3.3 多项式的乘法 同步分层练习
一、夯实基础
1．计算 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】按多项式乘以多项式法则计算“多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”，进行计算即可.
2．（2024七下·平南期中）若，则m的值为（ ）
A． B．6 C．2 D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得，
∵
∴m=2.
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则将计算出来，然后根据，即可求出m的值.
3．（2022七下·法库期末）若x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．﹣5 B．0 C．1 D．5
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（x+m）（x﹣5）=x2+（m﹣5）x﹣5m，
∵x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，
∴m﹣5=0，
解得：m=5，
故答案为：D．
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法可得（x+m）（x﹣5）=x2+（m﹣5）x﹣5m，再根据“乘积中不含x的一次项”可得m﹣5=0，再求出m的值即可。
4．如果(x+m)(x-5)=x2-3x+k，那么k，m的值分别是( ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：因为（x+m)(x-5)=x2+(m-5)x+(-5)m， (x+m)(x-5)=x2-3x+k
所以x2+(m-5)x+(-5)m=x2-3x+k
所以m-5=-3，m=2
所以k=(-5)m=-52=-10
故答案为：C.
【分析】利用多项式乘以多项式、求待定系数法，可得m=2、k=10.
5．（2024七下·潍城期中）小亮在做“化简，并求时的值”一题时，错将看成了，但结果却和正确答案一样．由此可知k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：由
，
代入或时，结果是一样的，
，
解得：．
故选：B．
【分析】本题考查了整式的运算和求值，以及一元一次方程求解，根据题意，先算乘法，再合并同类项，化简得到，把或，代入得到，求得k的值，即可得到答案.
6．（2023七下·温县期末）通过计算比较图中图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：图1中的阴影部分的面积为，
图2中的阴影部分的面积为，
∴．
故答案为：D
【分析】根据图1和图2，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可求出答案.
7．（2024七下·鄞州期中）若a+b=1，ab=﹣3，则（a+1）（b+1）的值为 .
【答案】-1
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故答案为：．
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则展开，然后整体代入计算即可．
8．（2023八上·阳泉月考）将个数，，，排成行，列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式若，则 ．
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得，
整理得，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】根据定义的运算法则建立方程求解。需要用多项式乘多项式的法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn。
9．计算：
（1）(x-6)(x-3).
（2）
（3）(2x+1)(x-3).
（4）
【答案】（1）解：原式=x2-3x-6x+18=x2-9x+18；
（2）解：原式=；
（3）解：原式=2x2-6x+x-3=2x2-5x-3；
（4）解：原式=8x3+12x2y+18xy2-12x2y-18xy2-27y3=8x3-27y3.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则：多形式乘以多项式，用一个多形式的每一项去乘以另一个多形式的每一项，再把所得的积相加，进行计算即可得出答案.
10．把下图左框里的整式分别乘 ， 将所得的积写在右框相应的位置上．
【答案】解：；
；
；
.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据多项式乘多项式的法则，把左边的每个式子与相乘，即可得到答案.
二、能力提升
11．（2025八上·射洪期末）若，则实数a、b的符号为（ ）
A．a、b同为正 B．a、b同为负
C．a、b异号且绝对值大的为正 D．a、b异号且绝对值大的为负
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；有理数的乘法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：将左边式子展开可得，，
∴，，
∴a、b异号且绝对值大的为负，
故答案为：D．
【分析】把等号左边展开合并，然后根据对应系数相等得到，，然后判断符号解题即可．
12．（2024八上·红花岗期末）如图，四边形和四边形均为正方形，连接，延长分别交于点I，J，延长交于点若已知的面积，则一定能求出（ ）
A．长方形和长方形的面积之差
B．长方形和长方形的面积之差
C．正方形和正方形的面积之差
D．长方形和长方形的面积之差
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
阴影三角形是等腰直角三角形，
阴影部分的面积等于正方形的一半，
设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则正方形的面积为，
长方形的长为a，宽为b，因此面积为，
长方形的长为，宽为b，因此面积为，
，
故答案为：B.
【分析】设正方形和的边长为a和b，表示图形中各个部分的面积，然后逐项判断即可解题．
13．（广西壮族自治区桂林市灌阳县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）文敏同学在学习中发现下列各式存在一定的规律：
（1）；
（2）；
（3）；
请你通过观察、猜想，计算判断以下结论：
①；
②（其中n为正整数，且）；
③；
④；
其中正确的有 （填序号）
【答案】①②
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；故①正确；
……
第n式子为，故②正确；
，故③错误；
，故④错误；
故答案为：①②
【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，以及探索算式的运算规律，根据题设中算式的运算，得到运算的规律：第n式子为，据此规律，逐个运算求解，即可得到答案.
14．（2024八上·松原期末）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道．
（1）用含a、b的式子表示剩余草坪的面积；
（2）若，，求剩余草坪的面积．
【答案】（1）解：由题意得剩余草坪的面积为
答：剩余草坪的面积为平方米．
（2）解：当，时，原式，
∴剩余草坪的面积是260平方米．
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据题意用代数式表示剩余草坪的面积，进而即可求解；
（2）将a和b的值代入代数式，进而即可求解。
（1）解：依题意，剩余草坪的面积为
答：剩余草坪的面积为平方米．
（2）当，时，原式，
∴剩余草坪的面积是260平方米．
15．甲、乙两人共同计算一道整式乘法： ．甲把第一个多项式中 的符号抄错成“一”，得到的结果为 ；乙漏抄了第二个多项式中 的系数， 得到的结果为 ．
（1） 你能求出 的值吗？
（2） 请你计算出这道整式乘法的正确结果．
【答案】（1）解：由题意，得
10
（2）解：
【知识点】多项式乘多项式；多项式相等
【解析】【分析】（1）先按甲、乙各自错误的做法计算一遍，得出关于a、b的二元一次方程组并求解出a、b值即可；
（2）把a、b值代入原式按多项式乘多项式法则计算出正确结果.
三、拓展创新
16．（2024七下·保定期中）已知，，…，均为正数，且满足，，则，之间的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；有理数的大小比较-其他方法
【解析】【解答】解：设，即：，
则有：，
因为，均为正数，
所以，
所以E故选：A.
【分析】设，即可得出，，计算出，即可得出答案.
17．（2024七下·新晃期中） 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题，甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为．请求出正确的，的值．
【答案】解：∵甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为
∴，
∴，
∴，
∴，
∵乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组
【解析】【分析】把第一个多项式中的“+a”换成“-a”，根据多项式乘多项式的法则展开，比较系数可得2b-3a=11，把第二个多项式中x的系数换成1，根据多项式乘多项式的法则展开，比较系数可得a+2b=-9，据此得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案．
18．（2022七下·柯桥期中）
（1）通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为的正方形，
请用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积（，为常数）
①因式的积的形式： ；
②关于的二次多项式的形式： ；由①与②，可以得到一个等式： .
（2）由（1）的结果进行应用：若对的任何值都成立，求，的值
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据乙图中图形的变化关系，利用整式乘法写出一个代数恒等式.
【答案】（1）（x-a）（x-b）；x2-（a+b）x+ab；（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab
（2）解：由（1）可知：（a-m）（a-2）=a2-（m+2）a+2m，
又∵（a-m）（a-2）=a2+na+6，
∴2m=6，n=-（m+2）.
解得：m=3，n=-5；
（3）解：∵原几何体的体积=x3-1×1 x=x3-x，
新几何体的体积=（x+1）（x-1）x，
∴x3-x=（x+1）（x-1）x.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）①阴影部分的面积=（x-a）（x-b），
②阴影部分的面积=x2-ax-bx+ab=x2-（a+b）x+ab，
∵阴影部分的面积不变，
∴（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab.
故答案为：①（x-a）（x-b）；②x2-（a+b）x+ab；（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab；
【分析】（1）①，阴影部分矩形的长与宽分别表示为x-a与x-b，进而根据矩形的面积等于长×宽即可得出答案；②利用割补法，阴影部分的面积=长为x的正方形的面积-长为a宽为b的矩形的面积-长为x宽为b的矩形的面积-长为x宽为a的矩形的面积，即可得出答案，进而根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等即可得到等式；
（2）将所给等式的左边利用（1）的结论变形，通过观察即可得出关于m、n的方程组，求解即可得出m、n的值；
（3）用棱长为x的正方体的体积减去长为x宽为1高1的体积表示出左图的体积，根据长方体体积计算公式算出长宽高分别为（x+1）、x、（x-1）的体积，由两个体积相等建立等式.
1 / 1浙教版（2024）数学七年级下册 3.3 多项式的乘法 同步分层练习
一、夯实基础
1．计算 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·平南期中）若，则m的值为（ ）
A． B．6 C．2 D．
3．（2022七下·法库期末）若x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．﹣5 B．0 C．1 D．5
4．如果(x+m)(x-5)=x2-3x+k，那么k，m的值分别是( ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·潍城期中）小亮在做“化简，并求时的值”一题时，错将看成了，但结果却和正确答案一样．由此可知k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023七下·温县期末）通过计算比较图中图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·鄞州期中）若a+b=1，ab=﹣3，则（a+1）（b+1）的值为 .
8．（2023八上·阳泉月考）将个数，，，排成行，列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式若，则 ．
9．计算：
（1）(x-6)(x-3).
（2）
（3）(2x+1)(x-3).
（4）
10．把下图左框里的整式分别乘 ， 将所得的积写在右框相应的位置上．
二、能力提升
11．（2025八上·射洪期末）若，则实数a、b的符号为（ ）
A．a、b同为正 B．a、b同为负
C．a、b异号且绝对值大的为正 D．a、b异号且绝对值大的为负
12．（2024八上·红花岗期末）如图，四边形和四边形均为正方形，连接，延长分别交于点I，J，延长交于点若已知的面积，则一定能求出（ ）
A．长方形和长方形的面积之差
B．长方形和长方形的面积之差
C．正方形和正方形的面积之差
D．长方形和长方形的面积之差
13．（广西壮族自治区桂林市灌阳县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）文敏同学在学习中发现下列各式存在一定的规律：
（1）；
（2）；
（3）；
请你通过观察、猜想，计算判断以下结论：
①；
②（其中n为正整数，且）；
③；
④；
其中正确的有 （填序号）
14．（2024八上·松原期末）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道．
（1）用含a、b的式子表示剩余草坪的面积；
（2）若，，求剩余草坪的面积．
15．甲、乙两人共同计算一道整式乘法： ．甲把第一个多项式中 的符号抄错成“一”，得到的结果为 ；乙漏抄了第二个多项式中 的系数， 得到的结果为 ．
（1） 你能求出 的值吗？
（2） 请你计算出这道整式乘法的正确结果．
三、拓展创新
16．（2024七下·保定期中）已知，，…，均为正数，且满足，，则，之间的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
17．（2024七下·新晃期中） 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题，甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为．请求出正确的，的值．
18．（2022七下·柯桥期中）
（1）通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为的正方形，
请用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积（，为常数）
①因式的积的形式： ；
②关于的二次多项式的形式： ；由①与②，可以得到一个等式： .
（2）由（1）的结果进行应用：若对的任何值都成立，求，的值
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据乙图中图形的变化关系，利用整式乘法写出一个代数恒等式.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】按多项式乘以多项式法则计算“多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”，进行计算即可.
2．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得，
∵
∴m=2.
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则将计算出来，然后根据，即可求出m的值.
3．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（x+m）（x﹣5）=x2+（m﹣5）x﹣5m，
∵x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，
∴m﹣5=0，
解得：m=5，
故答案为：D．
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法可得（x+m）（x﹣5）=x2+（m﹣5）x﹣5m，再根据“乘积中不含x的一次项”可得m﹣5=0，再求出m的值即可。
4．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：因为（x+m)(x-5)=x2+(m-5)x+(-5)m， (x+m)(x-5)=x2-3x+k
所以x2+(m-5)x+(-5)m=x2-3x+k
所以m-5=-3，m=2
所以k=(-5)m=-52=-10
故答案为：C.
【分析】利用多项式乘以多项式、求待定系数法，可得m=2、k=10.
5．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：由
，
代入或时，结果是一样的，
，
解得：．
故选：B．
【分析】本题考查了整式的运算和求值，以及一元一次方程求解，根据题意，先算乘法，再合并同类项，化简得到，把或，代入得到，求得k的值，即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：图1中的阴影部分的面积为，
图2中的阴影部分的面积为，
∴．
故答案为：D
【分析】根据图1和图2，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可求出答案.
7．【答案】-1
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故答案为：．
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则展开，然后整体代入计算即可．
8．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意得，
整理得，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】根据定义的运算法则建立方程求解。需要用多项式乘多项式的法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn。
9．【答案】（1）解：原式=x2-3x-6x+18=x2-9x+18；
（2）解：原式=；
（3）解：原式=2x2-6x+x-3=2x2-5x-3；
（4）解：原式=8x3+12x2y+18xy2-12x2y-18xy2-27y3=8x3-27y3.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则：多形式乘以多项式，用一个多形式的每一项去乘以另一个多形式的每一项，再把所得的积相加，进行计算即可得出答案.
10．【答案】解：；
；
；
.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】根据多项式乘多项式的法则，把左边的每个式子与相乘，即可得到答案.
11．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；有理数的乘法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：将左边式子展开可得，，
∴，，
∴a、b异号且绝对值大的为负，
故答案为：D．
【分析】把等号左边展开合并，然后根据对应系数相等得到，，然后判断符号解题即可．
12．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
阴影三角形是等腰直角三角形，
阴影部分的面积等于正方形的一半，
设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则正方形的面积为，
长方形的长为a，宽为b，因此面积为，
长方形的长为，宽为b，因此面积为，
，
故答案为：B.
【分析】设正方形和的边长为a和b，表示图形中各个部分的面积，然后逐项判断即可解题．
13．【答案】①②
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；故①正确；
……
第n式子为，故②正确；
，故③错误；
，故④错误；
故答案为：①②
【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，以及探索算式的运算规律，根据题设中算式的运算，得到运算的规律：第n式子为，据此规律，逐个运算求解，即可得到答案.
14．【答案】（1）解：由题意得剩余草坪的面积为
答：剩余草坪的面积为平方米．
（2）解：当，时，原式，
∴剩余草坪的面积是260平方米．
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据题意用代数式表示剩余草坪的面积，进而即可求解；
（2）将a和b的值代入代数式，进而即可求解。
（1）解：依题意，剩余草坪的面积为
答：剩余草坪的面积为平方米．
（2）当，时，原式，
∴剩余草坪的面积是260平方米．
15．【答案】（1）解：由题意，得
10
（2）解：
【知识点】多项式乘多项式；多项式相等
【解析】【分析】（1）先按甲、乙各自错误的做法计算一遍，得出关于a、b的二元一次方程组并求解出a、b值即可；
（2）把a、b值代入原式按多项式乘多项式法则计算出正确结果.
16．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；有理数的大小比较-其他方法
【解析】【解答】解：设，即：，
则有：，
因为，均为正数，
所以，
所以E故选：A.
【分析】设，即可得出，，计算出，即可得出答案.
17．【答案】解：∵甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为
∴，
∴，
∴，
∴，
∵乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组
【解析】【分析】把第一个多项式中的“+a”换成“-a”，根据多项式乘多项式的法则展开，比较系数可得2b-3a=11，把第二个多项式中x的系数换成1，根据多项式乘多项式的法则展开，比较系数可得a+2b=-9，据此得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案．
18．【答案】（1）（x-a）（x-b）；x2-（a+b）x+ab；（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab
（2）解：由（1）可知：（a-m）（a-2）=a2-（m+2）a+2m，
又∵（a-m）（a-2）=a2+na+6，
∴2m=6，n=-（m+2）.
解得：m=3，n=-5；
（3）解：∵原几何体的体积=x3-1×1 x=x3-x，
新几何体的体积=（x+1）（x-1）x，
∴x3-x=（x+1）（x-1）x.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）①阴影部分的面积=（x-a）（x-b），
②阴影部分的面积=x2-ax-bx+ab=x2-（a+b）x+ab，
∵阴影部分的面积不变，
∴（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab.
故答案为：①（x-a）（x-b）；②x2-（a+b）x+ab；（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab；
【分析】（1）①，阴影部分矩形的长与宽分别表示为x-a与x-b，进而根据矩形的面积等于长×宽即可得出答案；②利用割补法，阴影部分的面积=长为x的正方形的面积-长为a宽为b的矩形的面积-长为x宽为b的矩形的面积-长为x宽为a的矩形的面积，即可得出答案，进而根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等即可得到等式；
（2）将所给等式的左边利用（1）的结论变形，通过观察即可得出关于m、n的方程组，求解即可得出m、n的值；
（3）用棱长为x的正方体的体积减去长为x宽为1高1的体积表示出左图的体积，根据长方体体积计算公式算出长宽高分别为（x+1）、x、（x-1）的体积，由两个体积相等建立等式.
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