浙教版（2024）数学七年级下册 3.4 乘法公式 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024·贵州模拟）若，那么k的值是（ ）
A．5 B． C．10 D．
2．（2024七下·肇源期中）下列可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·昆明开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·昆明开学考）如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·顺德期末）若，则( )
A． B． C． D．
6．（2024七下·南明月考）如果关于 的二次三项式 是—个完全平方式，那么 的值是（ ）
A．8 或 -8 B．8 C．-8 D．无法确定
7．（2024七下·甘孜期末）化简 ．
8．（2024七下·萍乡期末）若，，则 .
9．（2024·惠州模拟）已知，则 ．
10．（2024·湖南模拟）如图所示，C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为 ．
11．（2024八上·武威期末）已知，求的值．
12．（2024九下·白云模拟）已知
（1）化简T；
（2）若a满足，求T的值．
二、能力提升
13．（2024八上·武威期末）阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
14．（2024七下·鄞州期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
15．（2024七下·浦北期中）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
16．（2024八上·南山开学考）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
17．（2025八上·红花岗期末）如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题：
（1）用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢：
（2）根据上述结论，初步解决问题：已知求的值；
（3）解决问题：如图2，C是线段上一点，以为边向两边作等腰直角三角形，记若求图中阴影部分的面积．
三、拓展创新
18．（2024八下·宁波竞赛）已知．
（1）求abc的值；
（2）的值．
19．（2024八下·六盘水期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．
（1）【知识生成】
观察图，用两种不同的方法表示阴影部分的面积可得到一个等式： ；若，，则 ；
（2）【灵活运用】
已知，求的值；
（3）【拓展迁移】
如图，某校园艺社团在靠墙的空地上，用长米的篱笆，再借助墙围成一个长方形花圃，面积为平方米，其中墙足够长随着学校社团成员的增加，学校在花圃旁分别以为边长向外扩建四个正方形花圃，以为边长向外扩建一个正方形花圃扩建部分为如图所示的虚线区域，求花圃扩建后增加的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，且，
∴k=-10．
故答案为：D
【分析】利用完全平方公式解答即可．
2．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、∵=-（a-b）（a-b）=-(a-b)2，符合完全平方公式特点，∴不能运用平方差公式，不符合题意；
B、∵=（-3a-4b）(-3a+4b），符号平方差公式的特点，∴能用平方差公式，符合题意；
C、∵=-（5a-3b）（5a-3b）=-(5a-3b)2，符合完全平方公式特点，∴不能运用平方差公式，不符合题意；
D、∵=-（2a-3b）（2a-3b）=-(2a-3b)2，符合完全平方公式特点，∴不能运用平方差公式，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】平方差公式的式子的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方.
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D.，故此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平方差公式、完全平方公式逐项计算即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图①中阴影面积为，
图②中阴影面积为，
根据根据两部分阴影面积相等可以得到．
故答案为：B
【分析】分别表示出图①和图②中阴影面积，即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式结合题意得到，进而即可求解。
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2﹣mx+16是一个完全平方式，
∴﹣mx=±2·x·4
∴m=±8．
故答案为：A．
【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可.
7．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：x2-y2.
故答案为：x2-y2.
【分析】利用平方差公式直接计算即可.
8．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
解：∵
∴
∵
∴m+n=2
故答案为2.
【分析】
先根据平方差公式：，把左边进行因式分解即可.
9．【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：
当时，原式=3×0.3+0.1=1
故答案为：1
【分析】根据完全平方公式化简分子，约分化简，再代入a，b值，即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：AC=a，BC=CF=b，
则a+b=8，a2+b2=34，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab，
即34=64-2ab，
∴ab=15，
∴S阴影=ab=，
故答案为：．
【分析】设AC=a，BC=b，即可得到a+b=8，a2+b2=34，根据完全平方公式的变形求出ab即可解题．
11．【答案】解：
．
因为，
所以原式．
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】根据题意，利用平方差公式化简，然后整体代入求值计算即可．
12．【答案】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴当时，．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则，进行计算，再合并同类项即可；
（2）根据，求出的值，代入（1）中的结果，进行计算即可．
13．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式得到，即，则，进而即可求解。
14．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形B的边长为a，其中，
∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1，
∴阴影部分为正方形，且边长为1，
∴图①中大正方形的边长为，
即正方形A的边长为，
又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：
∴图②中大正方形的边长为：，
∵图②中阴影部分的面积为7，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴图②中大正方形的边长为：
∴图②中大正方形的面积为15．
故答案为：B．
【分析】设正方形B的边长为a，其中a>0，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为a+1，依题意得图②中大正方形的边长为2a+1，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可．
15．【答案】
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
，且更靠近，
∴，
∴，
即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】比较的大小即可求解．
16．【答案】14
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x=2是ax+b=3的解
∴2a+b=3
又∵=
故答案为：14.
【分析】由x=2是ax+b=3的解可得2a+b=3，根据完全平方式和整体代换代入即可得结果.
17．【答案】（1）；；
（2）解：∵由（1）得：，
（3）解：设
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：方法1：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和，
；
方法2：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积，
．
两种方式表示的面积是相等可知：．
故答案为：；；．
【分析】
（1）利用两种方式表示阴影面积得到公式即可；
（2）利用完全平方公式变形得到 ，整体代入求解即可解；
（3）设，，可得， 然后根据完全平方公式的变形求出xy的值解题即可．
（1）解：方法1：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和，
；
方法2：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积，
．
两种方式表示的面积是相等可知：．
故答案为：；；．
（2）解：∵
由（1）得：，
（3）设
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
18．【答案】（1）解：
又
即
（2）解：，
即
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】本题考查完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题关键。（1）由a+b+c=6得，展开后，代入得；根据及可得；（2）由，得；由得.
19．【答案】（1）；100
（2）解：设 ， 则 ，
n
（3）解：设 米，则 米，由于长方形 的面积为 18 平方米，
所以 ，
解得 ，
即 米， 米，
所以花圃扩建后增加的面积为 (平方米).
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1） 阴影部分的面积=两个正方形的面积和=大正方形面积-两个空白长方形的面积，
∴；
∵，，
∴=142-2×48=100；
故答案为：，100.
【分析】（1）阴影部分的面积=两个正方形的面积和=大正方形面积-两个空白长方形的面积，据此解答即可；
（2），可得mn=-2024，m+n=1，利用即可求解；
（3）设 米，则 米，可得长方形 的面积为，求出AD，CD的长，再计算4个边长为3米的正方形与边长为6的大正方形的面积和即可.
1 / 1浙教版（2024）数学七年级下册 3.4 乘法公式 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024·贵州模拟）若，那么k的值是（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，且，
∴k=-10．
故答案为：D
【分析】利用完全平方公式解答即可．
2．（2024七下·肇源期中）下列可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、∵=-（a-b）（a-b）=-(a-b)2，符合完全平方公式特点，∴不能运用平方差公式，不符合题意；
B、∵=（-3a-4b）(-3a+4b），符号平方差公式的特点，∴能用平方差公式，符合题意；
C、∵=-（5a-3b）（5a-3b）=-(5a-3b)2，符合完全平方公式特点，∴不能运用平方差公式，不符合题意；
D、∵=-（2a-3b）（2a-3b）=-(2a-3b)2，符合完全平方公式特点，∴不能运用平方差公式，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】平方差公式的式子的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方.
3．（2024八上·昆明开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D.，故此选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平方差公式、完全平方公式逐项计算即可求出答案.
4．（2024八上·昆明开学考）如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图①中阴影面积为，
图②中阴影面积为，
根据根据两部分阴影面积相等可以得到．
故答案为：B
【分析】分别表示出图①和图②中阴影面积，即可求出答案.
5．（2024八下·顺德期末）若，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式结合题意得到，进而即可求解。
6．（2024七下·南明月考）如果关于 的二次三项式 是—个完全平方式，那么 的值是（ ）
A．8 或 -8 B．8 C．-8 D．无法确定
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2﹣mx+16是一个完全平方式，
∴﹣mx=±2·x·4
∴m=±8．
故答案为：A．
【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可.
7．（2024七下·甘孜期末）化简 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：x2-y2.
故答案为：x2-y2.
【分析】利用平方差公式直接计算即可.
8．（2024七下·萍乡期末）若，，则 .
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
解：∵
∴
∵
∴m+n=2
故答案为2.
【分析】
先根据平方差公式：，把左边进行因式分解即可.
9．（2024·惠州模拟）已知，则 ．
【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：
当时，原式=3×0.3+0.1=1
故答案为：1
【分析】根据完全平方公式化简分子，约分化简，再代入a，b值，即可求出答案.
10．（2024·湖南模拟）如图所示，C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：AC=a，BC=CF=b，
则a+b=8，a2+b2=34，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab，
即34=64-2ab，
∴ab=15，
∴S阴影=ab=，
故答案为：．
【分析】设AC=a，BC=b，即可得到a+b=8，a2+b2=34，根据完全平方公式的变形求出ab即可解题．
11．（2024八上·武威期末）已知，求的值．
【答案】解：
．
因为，
所以原式．
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】根据题意，利用平方差公式化简，然后整体代入求值计算即可．
12．（2024九下·白云模拟）已知
（1）化简T；
（2）若a满足，求T的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴当时，．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则，进行计算，再合并同类项即可；
（2）根据，求出的值，代入（1）中的结果，进行计算即可．
二、能力提升
13．（2024八上·武威期末）阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式得到，即，则，进而即可求解。
14．（2024七下·鄞州期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形B的边长为a，其中，
∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1，
∴阴影部分为正方形，且边长为1，
∴图①中大正方形的边长为，
即正方形A的边长为，
又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：
∴图②中大正方形的边长为：，
∵图②中阴影部分的面积为7，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴图②中大正方形的边长为：
∴图②中大正方形的面积为15．
故答案为：B．
【分析】设正方形B的边长为a，其中a>0，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为a+1，依题意得图②中大正方形的边长为2a+1，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可．
15．（2024七下·浦北期中）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
，且更靠近，
∴，
∴，
即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】比较的大小即可求解．
16．（2024八上·南山开学考）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
【答案】14
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x=2是ax+b=3的解
∴2a+b=3
又∵=
故答案为：14.
【分析】由x=2是ax+b=3的解可得2a+b=3，根据完全平方式和整体代换代入即可得结果.
17．（2025八上·红花岗期末）如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题：
（1）用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢：
（2）根据上述结论，初步解决问题：已知求的值；
（3）解决问题：如图2，C是线段上一点，以为边向两边作等腰直角三角形，记若求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）；；
（2）解：∵由（1）得：，
（3）解：设
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：方法1：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和，
；
方法2：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积，
．
两种方式表示的面积是相等可知：．
故答案为：；；．
【分析】
（1）利用两种方式表示阴影面积得到公式即可；
（2）利用完全平方公式变形得到 ，整体代入求解即可解；
（3）设，，可得， 然后根据完全平方公式的变形求出xy的值解题即可．
（1）解：方法1：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和，
；
方法2：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积，
．
两种方式表示的面积是相等可知：．
故答案为：；；．
（2）解：∵
由（1）得：，
（3）设
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
三、拓展创新
18．（2024八下·宁波竞赛）已知．
（1）求abc的值；
（2）的值．
【答案】（1）解：
又
即
（2）解：，
即
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】本题考查完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题关键。（1）由a+b+c=6得，展开后，代入得；根据及可得；（2）由，得；由得.
19．（2024八下·六盘水期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．
（1）【知识生成】
观察图，用两种不同的方法表示阴影部分的面积可得到一个等式： ；若，，则 ；
（2）【灵活运用】
已知，求的值；
（3）【拓展迁移】
如图，某校园艺社团在靠墙的空地上，用长米的篱笆，再借助墙围成一个长方形花圃，面积为平方米，其中墙足够长随着学校社团成员的增加，学校在花圃旁分别以为边长向外扩建四个正方形花圃，以为边长向外扩建一个正方形花圃扩建部分为如图所示的虚线区域，求花圃扩建后增加的面积．
【答案】（1）；100
（2）解：设 ， 则 ，
n
（3）解：设 米，则 米，由于长方形 的面积为 18 平方米，
所以 ，
解得 ，
即 米， 米，
所以花圃扩建后增加的面积为 (平方米).
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1） 阴影部分的面积=两个正方形的面积和=大正方形面积-两个空白长方形的面积，
∴；
∵，，
∴=142-2×48=100；
故答案为：，100.
【分析】（1）阴影部分的面积=两个正方形的面积和=大正方形面积-两个空白长方形的面积，据此解答即可；
（2），可得mn=-2024，m+n=1，利用即可求解；
（3）设 米，则 米，可得长方形 的面积为，求出AD，CD的长，再计算4个边长为3米的正方形与边长为6的大正方形的面积和即可.
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