浙教版（2024）数学七年级下册 3.5 整式的化简 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024·黑龙江）下列计算正确的是（ ）
A．a3 a2＝a6 B．（a2）5＝a7
C．（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2
2．（2024七下·慈溪期中）下列整式的运算可以运用平方差公式计算的有（ ）
①；②；③； ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024八下·湖北月考）当，时，代数式的值是( )
A． B． C． D．
4．下列选项中关于 “代数式 的值”的说法正确的是（ ）
A．与 的取值均有关 B．只与 的取值有关
C．只与 的取值有关 D．与 的取值均无关
5．（2022七下·长兴期中）设(a+3b)2=(a-3b)2+A，则A=（ ）
A．6ab B．12ab C．-12ab D．24ab
6．一辆汽车的速度为 千米/时， 这辆汽车行驶 小时的路程为 千米．
7．（2024七下·天元期中） 若分解因式：，则的值为 ．
8．（2024七下·温州期中）已知，则的值为 .
9．（广西壮族自治区桂林市灌阳县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）计算：
（1）；
（2）最简方法计算：．
10．（2024八上·浙江期末）先化简，再求值：，其中．
二、能力提升
11．计算 的结果为 ， 则 “ ”中的数为( )
A．-2 B．2 C．-4 D．4
12．（2024八下·江门期末）已知，下列结论正确的是
A．x是负数 B．x与互为倒数
C．是有理数 D．是8的立方根
13．（2024七上·苍南期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b规定a☆b=ab2+a.如：1☆3=1×32+1=10．则3☆(-2)的值为 ．
14．（2024七下·浦江期末）如图，在边长为的大正方形中剪掉边长为的小正方形，剩余部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，则 .
15．（2024七上·杨浦期末）计算：
16．（2024七上·新绛期末）天逸公园的某段路面如图所示，这段路面是由若干个图组成，图是由四个完全相同的白色长方形和中间一块黑色的正方形组成的大正方形图案，
已知图中白色长方形的长为，宽为．
（1）图中黑色的正方形边长等于________；
（2）请用两种不同的方法列代数式，表示图的大正方形面积．
方法一：________________________；方法二：________________________；
（3）观察图，请写出，，这三个代数式之间的等量关系；
（4）根据（）题中的等量关系，解决问题：已知：，，求的值．
三、拓展创新
17． 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差， 那么称这个自然数为 “智慧数”．例： 就是一个 “智慧数”．
小明和小王对自然数中的“智慧数”进行了如下探索：
小明的方法是一个一个找出来：
小王认为小明的方法太麻烦， 他想到 ： 设 是自然数， 由于 ． 所以， 自然数中所有奇数都是 “智慧数”．
问题：
（1）根据上述小明的方法， 自然数中第 10 个 “智慧数”是
（2）他们发现除奇数外， 还有 也是 “智慧数”， 由此猜测 （ 为正整数）都是 “智慧数”． 请你参考小王的办法证明 （ 为正整数）都是“智慧数”．
18．（2024七下·祁阳期中） 乘法公式给出了与的数量关系，灵活的应用这个关系，可以解决一些数学问题．
（1）若，求的值；
（2）若满足，求的值；
（3）如图，点分别在正方形的边上，且，以为一边作正方形，以的长为边长过点作正方形，若长方形的面积是，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3 a2＝a5，故A错误，不符合题意；
B、 （a2）5＝a10 ，故B错误，不符合题意；
C、 （﹣2a3b）3＝﹣8a9b3 ，故C正确，符合题意；
D、 （﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2 ，故D错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由同底数乘法运算法则判断A，由幂的乘方运算法则判断B，由积的乘方运算法则可判断C，由平方差公式判断D.
2．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ① n与n相同，2m与-2m互为相反数，能用平方差公式；
② -4b与4b，a2与-a2都互为相反数，不能用平方差公式；
③ x与-x，y与-y都互为相反数，不能用平方差公式；
④ 3a与-3a互为相反数，b与b相同，能用平方差公式.
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2可知整式的运算可以运用平方差公式计算的特点是： 两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方，最后逐项分析即可.
3．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：A.
【分析】直接代入，然后利用平方差公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴代数值的值只与x的值有关
故答案为：B
【分析】根据平方差公式将括号展开，再合并同类项即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a+3b）2=（a-3b）2+A，
∴a2+6ab+9b2=a2-6ab+9b2+A，
∴A=12ab，
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式进行化简，得出a2+6ab+9b2=a2-6ab+9b2+A，即可得出A=12ab.
6．【答案】(a2-b2)
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得行驶的路程为：（a+b）（a-b）=(a2-b2)千米.
故答案为：(a2-b2).
【分析】路程=速度×时间，然后运用平方差公式计算出结果.
7．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴，
故答案为：
【分析】根据平方差公式结合题意计算，进而对比原式即可得到a的值。
8．【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ∵，
∴xy=axy，
∴a=1.
故答案为：1.
【分析】利用完全平方公式将等式左边展开，利用等式对应项系数相等即可求解.
9．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
，
．
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【分析】（）根据题意，利用积的乘方运算法则，以及单项式乘以单项式的运算法则，进行计算，即可得到答案；
（）根据题意，化简得到，结合根据平方差公式，进行计算求值，即可得到答案.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
，
．
10．【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将式子进行化简，再将代入求值即可．
11．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：， “ ”对应的数应为4.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式展开后对比即可.
12．【答案】B
【知识点】有理数的倒数；完全平方公式及运用；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、的平方是5，2的平方是4，4比5小，因此，为正数，A不符合题意；
B、，
，
，故与互为倒数，B符合题意；
C、将平方得是无理数，C不符合题意；
D.8的立方根是2，题中，不是8的立方根，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据负数的定义结合题意估算无理数的大小即可判断A，根据题意有理数结合倒数的定义即可判断B，根据有理数的定义结合完全平方公式即可判断C，根据立方根结合题意即可判断D.
13．【答案】15
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】3☆(-2）=3×（-2）+3=12+3=15
故答案为：15
【分析】根据定义新运算进行计算。
14．【答案】200
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴．
故答案为：.
【分析】利用图形面积可得a+b=20，a-b=10，再利用平方差公式计算即可；
15．【答案】解：
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据平方差公式，以及多项式乘以多项式的计算法则，去括号，然后合并同类项，即可得到答案．
16．【答案】（1）；
（2），；
（3）解：由（）得，；
（4）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：由图可得，黑色的正方形边长等于，
故答案为：；
（2）解：由图可得，图大正方形面积可表示为：
方法一：；
方法二：；
故答案为：，.
【分析】（1）结合图形并利用线段的和差求出黑色正方形的边长即可；
（2）利用不同的表达式表示出大正方形的面积即可；
（3）利用不同的表达式表示出大正方形的面积即可；
（4）利用完全平方公式的变式将数据代入计算即可.
（1）解：由图可得，黑色的正方形边长等于，
故答案为：；
（2）解：由图可得，图大正方形面积可表示为：
方法一：；
方法二：；
故答案为：，；
（3）解：由（）得，；
（4）解：
．
17．【答案】（1）12
（2）解：设k是自然数， 由于 ．
因为k是自然数， 所以k+1是正整数，
∴4a(a为正整数) 都是“智慧数”．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）根据小明的方法，自然数中第10个“智慧数”是：.
故答案为：12；
【分析】（1） 仿照小明的办法，继续下去，即可得出结；
（2）模仿小王的做法，将（k+2）2-k2用平方差公式展开即可得出结论.
18．【答案】（1）解：∵
∴，
∴ab=3.
（2）解：由(7-m)+(m+3)=10，
由(1)同理可知，.
即.
（3）解：四边形和为正方形
，
，
，
，
又
，
又，
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的关系可避开解a，b，快速进行整体关系的转换求值；
（2）将式子结构变得复杂，但从整体上看，方法同(1)，隐藏了两数和为定值，同样可利用完全平方公式一步转换得出结果；
（3）首先先将问题阴影面积转换成两规则正方形面积差，即利用平方差公式转换为正方形边长的和与差的乘积，其次根据条件等量代换推出其为前者所述正方形边长之差，最后根据长方形AEFG面积得出为正方形边长之积，从而将问题转化为同(1)(2)，即利用整体转换即可.
1 / 1浙教版（2024）数学七年级下册 3.5 整式的化简 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024·黑龙江）下列计算正确的是（ ）
A．a3 a2＝a6 B．（a2）5＝a7
C．（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3 a2＝a5，故A错误，不符合题意；
B、 （a2）5＝a10 ，故B错误，不符合题意；
C、 （﹣2a3b）3＝﹣8a9b3 ，故C正确，符合题意；
D、 （﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2 ，故D错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由同底数乘法运算法则判断A，由幂的乘方运算法则判断B，由积的乘方运算法则可判断C，由平方差公式判断D.
2．（2024七下·慈溪期中）下列整式的运算可以运用平方差公式计算的有（ ）
①；②；③； ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ① n与n相同，2m与-2m互为相反数，能用平方差公式；
② -4b与4b，a2与-a2都互为相反数，不能用平方差公式；
③ x与-x，y与-y都互为相反数，不能用平方差公式；
④ 3a与-3a互为相反数，b与b相同，能用平方差公式.
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2可知整式的运算可以运用平方差公式计算的特点是： 两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方，最后逐项分析即可.
3．（2024八下·湖北月考）当，时，代数式的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：A.
【分析】直接代入，然后利用平方差公式计算即可.
4．下列选项中关于 “代数式 的值”的说法正确的是（ ）
A．与 的取值均有关 B．只与 的取值有关
C．只与 的取值有关 D．与 的取值均无关
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴代数值的值只与x的值有关
故答案为：B
【分析】根据平方差公式将括号展开，再合并同类项即可求出答案.
5．（2022七下·长兴期中）设(a+3b)2=(a-3b)2+A，则A=（ ）
A．6ab B．12ab C．-12ab D．24ab
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a+3b）2=（a-3b）2+A，
∴a2+6ab+9b2=a2-6ab+9b2+A，
∴A=12ab，
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式进行化简，得出a2+6ab+9b2=a2-6ab+9b2+A，即可得出A=12ab.
6．一辆汽车的速度为 千米/时， 这辆汽车行驶 小时的路程为 千米．
【答案】(a2-b2)
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得行驶的路程为：（a+b）（a-b）=(a2-b2)千米.
故答案为：(a2-b2).
【分析】路程=速度×时间，然后运用平方差公式计算出结果.
7．（2024七下·天元期中） 若分解因式：，则的值为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴，
故答案为：
【分析】根据平方差公式结合题意计算，进而对比原式即可得到a的值。
8．（2024七下·温州期中）已知，则的值为 .
【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ∵，
∴xy=axy，
∴a=1.
故答案为：1.
【分析】利用完全平方公式将等式左边展开，利用等式对应项系数相等即可求解.
9．（广西壮族自治区桂林市灌阳县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）计算：
（1）；
（2）最简方法计算：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
，
．
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【分析】（）根据题意，利用积的乘方运算法则，以及单项式乘以单项式的运算法则，进行计算，即可得到答案；
（）根据题意，化简得到，结合根据平方差公式，进行计算求值，即可得到答案.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
，
．
10．（2024八上·浙江期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将式子进行化简，再将代入求值即可．
二、能力提升
11．计算 的结果为 ， 则 “ ”中的数为( )
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：， “ ”对应的数应为4.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式展开后对比即可.
12．（2024八下·江门期末）已知，下列结论正确的是
A．x是负数 B．x与互为倒数
C．是有理数 D．是8的立方根
【答案】B
【知识点】有理数的倒数；完全平方公式及运用；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、的平方是5，2的平方是4，4比5小，因此，为正数，A不符合题意；
B、，
，
，故与互为倒数，B符合题意；
C、将平方得是无理数，C不符合题意；
D.8的立方根是2，题中，不是8的立方根，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据负数的定义结合题意估算无理数的大小即可判断A，根据题意有理数结合倒数的定义即可判断B，根据有理数的定义结合完全平方公式即可判断C，根据立方根结合题意即可判断D.
13．（2024七上·苍南期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b规定a☆b=ab2+a.如：1☆3=1×32+1=10．则3☆(-2)的值为 ．
【答案】15
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】3☆(-2）=3×（-2）+3=12+3=15
故答案为：15
【分析】根据定义新运算进行计算。
14．（2024七下·浦江期末）如图，在边长为的大正方形中剪掉边长为的小正方形，剩余部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，则 .
【答案】200
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴．
故答案为：.
【分析】利用图形面积可得a+b=20，a-b=10，再利用平方差公式计算即可；
15．（2024七上·杨浦期末）计算：
【答案】解：
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据平方差公式，以及多项式乘以多项式的计算法则，去括号，然后合并同类项，即可得到答案．
16．（2024七上·新绛期末）天逸公园的某段路面如图所示，这段路面是由若干个图组成，图是由四个完全相同的白色长方形和中间一块黑色的正方形组成的大正方形图案，
已知图中白色长方形的长为，宽为．
（1）图中黑色的正方形边长等于________；
（2）请用两种不同的方法列代数式，表示图的大正方形面积．
方法一：________________________；方法二：________________________；
（3）观察图，请写出，，这三个代数式之间的等量关系；
（4）根据（）题中的等量关系，解决问题：已知：，，求的值．
【答案】（1）；
（2），；
（3）解：由（）得，；
（4）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：由图可得，黑色的正方形边长等于，
故答案为：；
（2）解：由图可得，图大正方形面积可表示为：
方法一：；
方法二：；
故答案为：，.
【分析】（1）结合图形并利用线段的和差求出黑色正方形的边长即可；
（2）利用不同的表达式表示出大正方形的面积即可；
（3）利用不同的表达式表示出大正方形的面积即可；
（4）利用完全平方公式的变式将数据代入计算即可.
（1）解：由图可得，黑色的正方形边长等于，
故答案为：；
（2）解：由图可得，图大正方形面积可表示为：
方法一：；
方法二：；
故答案为：，；
（3）解：由（）得，；
（4）解：
．
三、拓展创新
17． 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差， 那么称这个自然数为 “智慧数”．例： 就是一个 “智慧数”．
小明和小王对自然数中的“智慧数”进行了如下探索：
小明的方法是一个一个找出来：
小王认为小明的方法太麻烦， 他想到 ： 设 是自然数， 由于 ． 所以， 自然数中所有奇数都是 “智慧数”．
问题：
（1）根据上述小明的方法， 自然数中第 10 个 “智慧数”是
（2）他们发现除奇数外， 还有 也是 “智慧数”， 由此猜测 （ 为正整数）都是 “智慧数”． 请你参考小王的办法证明 （ 为正整数）都是“智慧数”．
【答案】（1）12
（2）解：设k是自然数， 由于 ．
因为k是自然数， 所以k+1是正整数，
∴4a(a为正整数) 都是“智慧数”．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）根据小明的方法，自然数中第10个“智慧数”是：.
故答案为：12；
【分析】（1） 仿照小明的办法，继续下去，即可得出结；
（2）模仿小王的做法，将（k+2）2-k2用平方差公式展开即可得出结论.
18．（2024七下·祁阳期中） 乘法公式给出了与的数量关系，灵活的应用这个关系，可以解决一些数学问题．
（1）若，求的值；
（2）若满足，求的值；
（3）如图，点分别在正方形的边上，且，以为一边作正方形，以的长为边长过点作正方形，若长方形的面积是，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵
∴，
∴ab=3.
（2）解：由(7-m)+(m+3)=10，
由(1)同理可知，.
即.
（3）解：四边形和为正方形
，
，
，
，
又
，
又，
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的关系可避开解a，b，快速进行整体关系的转换求值；
（2）将式子结构变得复杂，但从整体上看，方法同(1)，隐藏了两数和为定值，同样可利用完全平方公式一步转换得出结果；
（3）首先先将问题阴影面积转换成两规则正方形面积差，即利用平方差公式转换为正方形边长的和与差的乘积，其次根据条件等量代换推出其为前者所述正方形边长之差，最后根据长方形AEFG面积得出为正方形边长之积，从而将问题转化为同(1)(2)，即利用整体转换即可.
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