浙教版（2024）数学七年级下册 3.7 整式的除法 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024·成都一诊）下列计算正确的是（ ）
A．2a2﹣a＝2 B．a2 a3＝a6
C．6m2n2÷3m2n＝2n D．（m+4n）（m﹣4n）＝m2﹣4n2
2．若（ ） ·， 则括号内应填的单项式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·裕华模拟）长方形的面积是．若一边长是3a，则另一边长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·庄浪期末）下面是小林做的4道作业题：（1）；（2）；（3）；（4）．做对一题得2分，则他共得到（ ）
A．2分 B．4分 C．6分 D．8分
5．（2021八上·卧龙期末）一个长方形的面积为 ，长为 ，则这个长方形的宽为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七上·杨浦期末）计算： ．
7．（2024七下·杭州期中）一个多项式M与xy的积为﹣2x3y4z+xy，则M＝ ．
8．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
9．点点同学在复习《整式的除法》时发现自己的课堂笔记中有一部分被钢笔水弄污了．具体情况如下： ▲ +4，被除式的第二项被钢笔水弄污成，商的第一项也被钢笔水弄污成 ▲ ，请你求出这两处被弄污了的内容 ▲ .
二、能力提升
10．（2024七下·渠县月考）下列计算正确的是（ ）
A．x2 （﹣2x）3＝﹣6x5
B．a3b2÷4a2ba
C．（a﹣2b）2＝a2﹣2ab+4b2
D．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）＝4x2﹣9y2
11．计算 ， 结果是（ ）
A． B． C． D．
12．若面积为 的长方形一边长为 ， 则另一边长为（ ）
A． B． C． D．
13．（2015七下·成华期中）已知（a﹣4）（a﹣2）=3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为
14．（2022七下·嘉兴期末）如图，一个长、宽、高分别为a，b， 的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为 （结果保留 ，球体积公式 ）．
15．（2024八上·武威期末）先化简，再求值：，其中，．
16．（2024七下·五华期中）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为2b的小长方形铁片．
（1）计算剩余部分（即阴影部分）的面积．
（2）求出当，时的阴影面积．
三、拓展创新
17．（2020七下·汉中月考）观察下列各式：
；
；
；
；
.
（1）根据上面各式的规律填空：
① ；
② （ 为正整数）= ；
（2）利用（1）中①的结论求 的值；
（3）若 ，求 的值.
18．（2020七下·沙坪坝月考）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂接列，井把所块的项用零补齐；
②用除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图：
所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2﹣2x﹣1，余式为0.
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）的商是 ，余式是 ；
（2）x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】
A、a2 与a 不是同类项，不能合并，故A错误；
B、a2 a3＝a5，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故选C.
【分析】A、字母相同，相同字母的指数相同是同类项，不是同类项，不能合并
B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加
C、单项式除以单项式，系数除以系数，同底数幂除以同底数幂
D、
2．【答案】A
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】利用单项式除以单项式的法则解题即可.
3．【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵长方形的面积是，一边长是3a，
∴另一边长是（）÷3a=，
故答案为：B.
【分析】根据长方形的面积公式可得长方形的一条边长等于面积除以另一条边长，据此列出式子，再利用多项式除以单项式的计算方法求解即可.
4．【答案】C
【知识点】单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：（1），正确；
（2），正确；
（3），原计算错误；
（4），正确．
综上，3道正确，得到6分，
故选：C．
【分析】根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变，逐一判断即可．
5．【答案】A
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题可得： .
故答案为：A.
【分析】根据长方形的宽=长方形的面积÷长方形的长，先列式，再利用多项式除以单项式的法则进行计算.
6．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由，
故答案为：．
【分析】本题考查了多项式的除法运算法则， 把同底数的幂相除，底数不变，指数相减， 把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 ，据此解答，即可得到答案．
7．【答案】﹣2x2y3z+1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵多项式M与xy的积为，
∴
故答案为：.
【分析】根据多项式除以单项式的计算法则即可求解.
8．【答案】（1）解：
=
（2）解：
=
（3）解：
=
（4）解：
=
【知识点】单项式除以单项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据单项式除以单项式即可求出答案.
（2）根据单项式除以单项式即可求出答案.
（3）根据多项式除以单项式即可求出答案.
（4）根据单项式除以单项式即可求出答案.
9．【答案】解：解：+4，
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】利用多项式除以单项式的法则，多项式除以单项式的法则的逆用，直接得结果。
10．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：A：x2 （﹣2x）3＝x2 （﹣8x3）=-8x5，所以A不正确；
B：a3b2÷4a2b，所以B不正确；
C： （a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，所以C不正确；
D： （﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）＝4x2﹣9y2 ，所以D正确。
故答案为：D。
【分析】分别根据正式的有关运算法则，正确进行运算，即可得出答案。
11．【答案】C
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】按单项式除以单项式法则计算即可，即系数相除，相同字母的指数相减.
12．【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：另一边长.
故答案为：C.
【分析】长方形面积=长x宽，实际上考察的仍然是多项式除以单项式.
13．【答案】10
【知识点】代数式求值；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵（a﹣4）（a﹣2）=3，
∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2
=（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2
=（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3
∵ [（a﹣4）﹣（a﹣2）]2 =[a-4-a+2]2=22=4
∴（a﹣4）2+（a﹣2）2=10．
故答案为：10．
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而求出答案．
14．【答案】
【知识点】列式表示数量关系；单项式乘多项式；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵小球的半径为r，
∴一个小球的体积=，沿长方体长摆放小球个数=个，沿长方体宽摆放小球个数=个，
∴摆放小球的总数=·=，
∴摆放小球的总体积=·=，
∵长方体体积=2abr，
∴纸盒的空间利用率==.
故答案为：.
【分析】根据球体体积公式求出一个小球的体积，再表示出沿长方体长摆放小球个数=个，沿长方体宽摆放小球个数=个，即得摆放小球的总数，从而得摆放小球的总体积，再求出长方体体积，最后根据纸盒的空间利用率=小球的总体积÷纸箱的容积，代入数据化简求值即可.
15．【答案】解：
，
当，时，
原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先把中括号里化简，再根据多项式除以单项式的法则计算，然后把，代入计算即可.
16．【答案】（1）解：由题意，得
；
（2）解：当，时，
．
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据 阴影部分图形，结合大长方形的面积减去小长方形的面积，列出代数式，化简计算，即可求解；（2）将，代入（1）中的代数式，进行运算，即可得到答案.
17．【答案】（1）①；②
（2）∵ ，
∴
；
（3）∵ =0，
∴ ，
∴ .
【知识点】整式的除法
【解析】【解答】（1）①根据上面各式的规律，可得：
；
②根据上面各式的规律，可得：
；
【分析】（1）①根据上面各式的规律，可直接得到答案；②根据上面各式的规律，可直接得到答案；（2）根据（1）总结出的规律，可得： ，据此即可求出算式的值；（3）根据（1）总结出的规律，可得： =0，即可求解.
18．【答案】（1）x2﹣2x+3；1
（2）解：由题意得：
∵x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，
∴a﹣2＝﹣6，b＝﹣6，
即：a＝﹣4，b＝﹣6.
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）＝x2﹣2x+3……1
故答案为：x2﹣2x+3，1.
【分析】（1）根据整式除法的竖式计算方法，进行计算即可；（2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b的值.
1 / 1浙教版（2024）数学七年级下册 3.7 整式的除法 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024·成都一诊）下列计算正确的是（ ）
A．2a2﹣a＝2 B．a2 a3＝a6
C．6m2n2÷3m2n＝2n D．（m+4n）（m﹣4n）＝m2﹣4n2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】
A、a2 与a 不是同类项，不能合并，故A错误；
B、a2 a3＝a5，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故选C.
【分析】A、字母相同，相同字母的指数相同是同类项，不是同类项，不能合并
B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加
C、单项式除以单项式，系数除以系数，同底数幂除以同底数幂
D、
2．若（ ） ·， 则括号内应填的单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】利用单项式除以单项式的法则解题即可.
3．（2024·裕华模拟）长方形的面积是．若一边长是3a，则另一边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵长方形的面积是，一边长是3a，
∴另一边长是（）÷3a=，
故答案为：B.
【分析】根据长方形的面积公式可得长方形的一条边长等于面积除以另一条边长，据此列出式子，再利用多项式除以单项式的计算方法求解即可.
4．（2024八上·庄浪期末）下面是小林做的4道作业题：（1）；（2）；（3）；（4）．做对一题得2分，则他共得到（ ）
A．2分 B．4分 C．6分 D．8分
【答案】C
【知识点】单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：（1），正确；
（2），正确；
（3），原计算错误；
（4），正确．
综上，3道正确，得到6分，
故选：C．
【分析】根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变，逐一判断即可．
5．（2021八上·卧龙期末）一个长方形的面积为 ，长为 ，则这个长方形的宽为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题可得： .
故答案为：A.
【分析】根据长方形的宽=长方形的面积÷长方形的长，先列式，再利用多项式除以单项式的法则进行计算.
6．（2024七上·杨浦期末）计算： ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由，
故答案为：．
【分析】本题考查了多项式的除法运算法则， 把同底数的幂相除，底数不变，指数相减， 把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 ，据此解答，即可得到答案．
7．（2024七下·杭州期中）一个多项式M与xy的积为﹣2x3y4z+xy，则M＝ ．
【答案】﹣2x2y3z+1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵多项式M与xy的积为，
∴
故答案为：.
【分析】根据多项式除以单项式的计算法则即可求解.
8．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）解：
=
（2）解：
=
（3）解：
=
（4）解：
=
【知识点】单项式除以单项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据单项式除以单项式即可求出答案.
（2）根据单项式除以单项式即可求出答案.
（3）根据多项式除以单项式即可求出答案.
（4）根据单项式除以单项式即可求出答案.
9．点点同学在复习《整式的除法》时发现自己的课堂笔记中有一部分被钢笔水弄污了．具体情况如下： ▲ +4，被除式的第二项被钢笔水弄污成，商的第一项也被钢笔水弄污成 ▲ ，请你求出这两处被弄污了的内容 ▲ .
【答案】解：解：+4，
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】利用多项式除以单项式的法则，多项式除以单项式的法则的逆用，直接得结果。
二、能力提升
10．（2024七下·渠县月考）下列计算正确的是（ ）
A．x2 （﹣2x）3＝﹣6x5
B．a3b2÷4a2ba
C．（a﹣2b）2＝a2﹣2ab+4b2
D．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）＝4x2﹣9y2
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：A：x2 （﹣2x）3＝x2 （﹣8x3）=-8x5，所以A不正确；
B：a3b2÷4a2b，所以B不正确；
C： （a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，所以C不正确；
D： （﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）＝4x2﹣9y2 ，所以D正确。
故答案为：D。
【分析】分别根据正式的有关运算法则，正确进行运算，即可得出答案。
11．计算 ， 结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】按单项式除以单项式法则计算即可，即系数相除，相同字母的指数相减.
12．若面积为 的长方形一边长为 ， 则另一边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：另一边长.
故答案为：C.
【分析】长方形面积=长x宽，实际上考察的仍然是多项式除以单项式.
13．（2015七下·成华期中）已知（a﹣4）（a﹣2）=3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为
【答案】10
【知识点】代数式求值；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵（a﹣4）（a﹣2）=3，
∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2
=（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2
=（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3
∵ [（a﹣4）﹣（a﹣2）]2 =[a-4-a+2]2=22=4
∴（a﹣4）2+（a﹣2）2=10．
故答案为：10．
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而求出答案．
14．（2022七下·嘉兴期末）如图，一个长、宽、高分别为a，b， 的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为 （结果保留 ，球体积公式 ）．
【答案】
【知识点】列式表示数量关系；单项式乘多项式；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵小球的半径为r，
∴一个小球的体积=，沿长方体长摆放小球个数=个，沿长方体宽摆放小球个数=个，
∴摆放小球的总数=·=，
∴摆放小球的总体积=·=，
∵长方体体积=2abr，
∴纸盒的空间利用率==.
故答案为：.
【分析】根据球体体积公式求出一个小球的体积，再表示出沿长方体长摆放小球个数=个，沿长方体宽摆放小球个数=个，即得摆放小球的总数，从而得摆放小球的总体积，再求出长方体体积，最后根据纸盒的空间利用率=小球的总体积÷纸箱的容积，代入数据化简求值即可.
15．（2024八上·武威期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，
原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先把中括号里化简，再根据多项式除以单项式的法则计算，然后把，代入计算即可.
16．（2024七下·五华期中）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为2b的小长方形铁片．
（1）计算剩余部分（即阴影部分）的面积．
（2）求出当，时的阴影面积．
【答案】（1）解：由题意，得
；
（2）解：当，时，
．
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据 阴影部分图形，结合大长方形的面积减去小长方形的面积，列出代数式，化简计算，即可求解；（2）将，代入（1）中的代数式，进行运算，即可得到答案.
三、拓展创新
17．（2020七下·汉中月考）观察下列各式：
；
；
；
；
.
（1）根据上面各式的规律填空：
① ；
② （ 为正整数）= ；
（2）利用（1）中①的结论求 的值；
（3）若 ，求 的值.
【答案】（1）①；②
（2）∵ ，
∴
；
（3）∵ =0，
∴ ，
∴ .
【知识点】整式的除法
【解析】【解答】（1）①根据上面各式的规律，可得：
；
②根据上面各式的规律，可得：
；
【分析】（1）①根据上面各式的规律，可直接得到答案；②根据上面各式的规律，可直接得到答案；（2）根据（1）总结出的规律，可得： ，据此即可求出算式的值；（3）根据（1）总结出的规律，可得： =0，即可求解.
18．（2020七下·沙坪坝月考）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂接列，井把所块的项用零补齐；
②用除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图：
所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2﹣2x﹣1，余式为0.
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）的商是 ，余式是 ；
（2）x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值.
【答案】（1）x2﹣2x+3；1
（2）解：由题意得：
∵x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，
∴a﹣2＝﹣6，b＝﹣6，
即：a＝﹣4，b＝﹣6.
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）＝x2﹣2x+3……1
故答案为：x2﹣2x+3，1.
【分析】（1）根据整式除法的竖式计算方法，进行计算即可；（2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b的值.
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