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2.2二元一次方程组和它的解 巩固知识卷
一、选择题
1．下列方程组中不是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各组数是二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙两种商品原来每件的售价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的售价和比原来的售价和提高了20%．若设甲、乙两种商品原来每件的售价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．某校七(1)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款1 000元，捐款情况如下表．
表格中捐款20元和30元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款20元的有工名同学，捐款30元的有y名同学，根据题意，可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，将正方形 ABCD的一角折叠，折痕为 AE，∠BAD比∠BAE 大 48°.设∠BAD和∠BAE的度数分别为x°，y°，那么x，y所适合的一个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
6．二元一次方程组 的解是 （ ）
A． B． C． D．
7．一副三角尺按如图所示的方式摆放，且∠1 比∠2大50°，求∠1和∠2 的度数.设∠1=x，∠2=y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，直线a∥b，∠1的度数比∠2 的度数大 56°.若设∠1=x°，∠2=y°，则根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知二元一次方程组 的解是 ，则括号上的方程可能是（ ）
A．y﹣4x＝﹣5 B．2x﹣3y＝﹣13
C．y＝2x+5 D．x＝y﹣1
10．已知关于，的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则以上四种说法中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．若一个二元一次方程组的解是，请写出一个符合此要求的二元一次方程组 ．
12．已知的一组解为，则a、b分别为 .
13．以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的第 象限．
14．已知 的解是 ，求 的解为 .
15．已知关于x，y的方程组 与方程 的解相同，则k的值为 .
16．已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①当K=2时， 是方程组的解；②当k＝ 时，x，y的值互为相反数；③2x 8y＝2z，则z＝1；④若方程组的解也是方程x+y＝2﹣k的解，则k＝1.其中正确的是 （填写正确结论的序号）.
三、综合题
17．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足 ，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程 总有一个公共解，请直接写出这个公共解．
18．已知方程组 由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ，
（1）若按正确a，b计算
（2）请你求原方程组的解．
19．已知关于x、y的二元一次方程组 ．
（1）若x，y的值互为相反数，求a的值；
（2）若2x+y+35=0，解这个方程组．
20．已知x，y满足方程组 ，
（1）用x的代数式表示y；
（2）若不论x取何值，代数式（kx﹣y）（y+ x）的值都为常数，求此时k的值以及该代数式的值．
21．已知关于x、y的方程组 ．
（1）当a满足22a+3﹣22a+1=96时，求方程组的解；
（2）当程组的解满足x+y=16时，求a的值；
（3）试说明：不论a取什么实数，x的值始终为正数．
22．已知关于x、y的二元一次方程组
（1）求这个方程组的解；（用含有m的代数式表示）
（2）若这个方程组的解满足x﹣y=10，求m的值．
23．下列方程：①2x+5y=7；② ；③x2+y=1；④2（x+y）﹣（x﹣y）=8；⑤x2﹣x﹣1=0；⑥ ；
（1）请找出上面方程中，属于二元一次方程的是： （只需填写序号）；
（2）请选择一个二元一次方程，求出它的正整数解；
（3）任意选择两个二元一次方程组成二元一次方程组，并求出这个方程组的解．
24．已知关于的二元一次方程，其中为常数，且．
（1）若是该方程的一个解，求的值；
（2）当每取一个不为－1的值时，都可得到一个方程，且这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
（3）当时，；当时，．若，求整数．
25．已知二元一次方程 （ 、 均为常数，且 ）
（1）当 时，用x的代数式表示y；
（2）若 是该二元一次方程的一个解；
①探索 关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与 的取值无关，请求出这个解.
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2.2二元一次方程组和它的解 巩固知识卷
一、选择题
1．下列方程组中不是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】由二元一次方程组的定义可知，D选项不是二元一次方程组，
故答案为：D．
【分析】根据二元一次方程组的定义逐项判断即可。
2．下列各组数是二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： ，
①+②得： ，
解得： ，
将 代入①得： ，
则方程组的解为 ．
故答案为：A．
【分析】利用加减消云法求出二元一次方程组的解，再逐项判断即可。
3．甲、乙两种商品原来每件的售价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的售价和比原来的售价和提高了20%．若设甲、乙两种商品原来每件的售价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 设甲、乙两种商品原来每件的售价分别为x元、y元，依题意列方程组的：
.
【分析】根据 甲、乙两种商品原来每件的售价和为100元 和 甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的售价和比原来的售价和提高了20% 作为相等关系，分别列方程，组成方程组即可.
4．某校七(1)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款1 000元，捐款情况如下表．
表格中捐款20元和30元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款20元的有工名同学，捐款30元的有y名同学，根据题意，可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设捐款20元的有x名同学，捐款30元的有y名同学，根据题意，可得方程组得：
整理方程组，得：
故正确答案选：A.
【分析】根据已知捐款人数之和为40人，捐款总数为1000元作为相等关系，分别列出方程，组成方程组，整理方程组，即可.
5．如图，将正方形 ABCD的一角折叠，折痕为 AE，∠BAD比∠BAE 大 48°.设∠BAD和∠BAE的度数分别为x°，y°，那么x，y所适合的一个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设∠BAD的度数为x°，∠BAE的度数为y°，
由题意得，．
故答案为：D．
【分析】设∠BAD的度数为 x° ，∠BAE的度数为y ° ，根据等量关系：∠BAD比大∠BAE大48°，正方形的每个内角为90°及折叠的性质，据此列方程组即可解答．
6．二元一次方程组 的解是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：解方程组
，得
故答案为：D.
【分析】解出方程组的解即可作出判断。
7．一副三角尺按如图所示的方式摆放，且∠1 比∠2大50°，求∠1和∠2 的度数.设∠1=x，∠2=y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由平角定义和直角定义可得：x+y=90°，由题意“∠1 比∠2大50°”可得x=y+50°，
∴可列方程组为：.
故答案为：D.
【分析】根据题中的相等关系“∠1 +90°+∠2=180°、∠1 比∠2大50°”可列方程组求解.
8．如图，直线a∥b，∠1的度数比∠2 的度数大 56°.若设∠1=x°，∠2=y°，则根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设∠1=x°，∠2=y°， 根据题意，可列方程组 得：
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得：x+y=180，由∠1的度数比∠2的度数大56°可得：x=y+56，组成方程组即可.
9．已知二元一次方程组 的解是 ，则括号上的方程可能是（ ）
A．y﹣4x＝﹣5 B．2x﹣3y＝﹣13
C．y＝2x+5 D．x＝y﹣1
【答案】B
【解析】【解答】解：将解代入各个方程，
A、3﹣4×（﹣2）＝11≠﹣5，左边≠右边，所以=-2，y=3不是该方程的解，故此选项不符合题意；
B、2×（﹣2）﹣3×3＝﹣13，左边=右边，所以=-2，y=3是该方程的解，故此选项符合题意；
C、3≠2×（﹣2）+5，左边≠右边，所以=-2，y=3不是该方程的解，故此选项不符合题意；
D、﹣2≠3﹣1，左边≠右边，所以=-2，y=3不是该方程的解，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】所谓方程组的解，就是组成方程组的各个方程的公共解，从而将解代入各个方程，方程的左边=右边的方程就是该方程组中的方程.
10．已知关于，的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则以上四种说法中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：①当时，方程组的解为：，
也是方程的一个解，符合题意；
②关于，的方程组的解为：，
当时，，符合题意；
③不论取什么实数，的值始终不变，符合题意；
④当时，方程组的解为：，
则，符合题意．
所以以上四种说法中正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】 ①时，求方程组的解，然后验证是否为方程 的解；
②用含a的式子表示方程组的解，然后根据 解不等式可求出a的范围；
③结合②用含a的式子表示方程组的解后，计算 即可判断；
④ 当时求方程组的解，即可验证是否成立。
二、填空题
11．若一个二元一次方程组的解是，请写出一个符合此要求的二元一次方程组 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】方程组满足由至少两个二元一次方程构成，且满足即可解是即可。
【分析】根据二元一次方程组的定义写出即可。
12．已知的一组解为，则a、b分别为 .
【答案】4，2
【解析】【解答】解：将x=2、y=4代入方程组中可得
①×2+②可得10b=20，
解得b=2，
将b=2代入①中可得a=4.
故答案为：4、2.
【分析】将x=2、y=4代入方程组中可得，①×2+②可求出b的值，将b的值代入①中可得a的值.
13．以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的第 象限．
【答案】四
【解析】【解答】
由①+②的
4x=8，x=2
把x=2代入①得
y=—4
点（x，y）直角坐标系中的坐标是（2，－4）
根据各象限的取值，位于第四象限
答案：四
【分析】用加减消元法求出方程组的解，根据象限的性质得出象限.
14．已知 的解是 ，求 的解为 .
【答案】
【解析】【解答】解：把
代入方程组得：
，
方程同时×5，
得：
，
∴方程组
的解为
.
故答案为：
.
【分析】把
代入方程组得出
，然后分别将方程两边同时乘以5，使右式跟原方程的右式相等，则可得出这两个方程同解，即可解答.
15．已知关于x，y的方程组 与方程 的解相同，则k的值为 .
【答案】11
【解析】【解答】解： ，
，得 ，把 代入①，
得 ，解得 ，
代入 ，得 ，去分母，
得 ，
解得 .
故答案为11.
【分析】首先解方程组，利用k表示出x、y的值，然后代入 ，即可得到一个关于k的方程，求得k的值．
16．已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①当K=2时， 是方程组的解；②当k＝ 时，x，y的值互为相反数；③2x 8y＝2z，则z＝1；④若方程组的解也是方程x+y＝2﹣k的解，则k＝1.其中正确的是 （填写正确结论的序号）.
【答案】①②③④
【解析】【解答】解：①把K=2代入，解得，故①正确；
②把代入，解得，
∴x，y的值互为相反数，故②正确；
③2x 8y＝2z，
∴x+3y=z，
即z=3k-2+3（-k+1），
解得z=1，故③正确；
④若方程组的解也是方程x+y＝2﹣k的解，
由得，
∴3k-2-k+1=2-k，
解得k=1，故④正确；
故答案为：①②③④.
【分析】 运用二元一次方程组的解法即可求解.
三、综合题
17．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足 ，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程 总有一个公共解，请直接写出这个公共解．
【答案】（1）
（2）解: 联立得： ，
解得： ，
代入得： ，
解得： ；
（3）
【解析】【解答】解：（1）方程 ，
解得： ，
当 时， ； ， ；
∴方程组的正整数解为：
（3）由题意得，方程组的解和m无关，所以m的系数为0，即 ，
代入方程得： ，即 ，
∴其公共解为 ．
【分析】（1）把y看作已知数表示出x，进而确定出方程的正整数解即可；
（2）将x+y=0与x+2y=5联立方程组，求出x、y的值，然后将其代入x-2y+mx+9=0中，即可求出m的值；
（3）将方程变形为（m+1）x-2y+9=0，由题意可得x=0，将x代入方程求出y值即可.
18．已知方程组 由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ，
（1）若按正确a，b计算
（2）请你求原方程组的解．
【答案】（1）解：依题意把 代入②，把 代入①，
得
解得
（2）解：故原方程为 ，解得
【解析】【分析】依题意把 代入②，把 代入①，组成二元一次方程组即可求出a,b，再求出原方程的解即可.
19．已知关于x、y的二元一次方程组 ．
（1）若x，y的值互为相反数，求a的值；
（2）若2x+y+35=0，解这个方程组．
【答案】（1）解：
①﹣②×2得：﹣x﹣19y=36，
即x+19y=﹣36，
当x=﹣y时，﹣y+19y=36，
解得：y=﹣2，
∴x=2，
代入①得：a=8
（2）解：由（1）知：
解得：
【解析】【分析】（1）用加减消元法消去原方程组中a得到关于x、y的方程x+19y=﹣36，根据x+y=0可求得x、y的值，代回原方程组可得a；（2）由（1）中x+19y=﹣36结合（2）的方程成立方程组，求解可得．
20．已知x，y满足方程组 ，
（1）用x的代数式表示y；
（2）若不论x取何值，代数式（kx﹣y）（y+ x）的值都为常数，求此时k的值以及该代数式的值．
【答案】（1）解： ，
将①式左右两边都乘3得，3x+9y=12﹣3a③，
②+③，得4x+8y=12，即y=﹣ x+
（2）解：（kx﹣y）（y+ x）=（kx+ x﹣ ）（﹣ x+ + x）= [（k+ ）x﹣ ]，
当k=﹣ 时，无论x取何值，代数式（kx﹣y）（y+ x）的值都为常数﹣
【解析】【分析】（1）方程组两方程变形后，得到一个二元一次方程，用x表示出y即可；（2）把表示出的y代入原式，利用多项式乘以多项式法则化简，根据代数式值为常数确定出k的值，以及此时代数式的值即可．
21．已知关于x、y的方程组 ．
（1）当a满足22a+3﹣22a+1=96时，求方程组的解；
（2）当程组的解满足x+y=16时，求a的值；
（3）试说明：不论a取什么实数，x的值始终为正数．
【答案】（1）解：由22a+3﹣22a+1=96得
22a+1（4﹣1）=96，
∴22a+1=32，
∴a=2，
当a=2时，方程组为 ，
解得
（2）解：由题可得方程组 ，
解得 ，
把 代入2x﹣4y=﹣a2+6a+6，可得
2（a+9）﹣4（﹣a+7）=﹣a2+6a+6，
解得a=±4
（3）解：把 消去y，可得
x= a2+a+1，
由配方得x= （a+1）2+ ，
∵不论a取什么实数， （a+1）2都为非负数，
∴不论a取什么实数， （a+1）2+ 都为正数
【解析】【分析】（1）先由22a+3﹣22a+1=96得a=2，再解方程组 ，即可得出方程组的解；（2）先根据方程组 ，解得 ，再代入2x﹣4y=﹣a2+6a+6，可得2（a+9）﹣4（﹣a+7）=﹣a2+6a+6，进而得出a的值；（3）先把 消去y，可得x= a2+a+1，再进行配方，即可得出不论a取什么实数，x的值始终为正数．
22．已知关于x、y的二元一次方程组
（1）求这个方程组的解；（用含有m的代数式表示）
（2）若这个方程组的解满足x﹣y=10，求m的值．
【答案】（1）解：解方程组： ，
②﹣①，得：x=6m+1，
将x=6m+1代入①，得：6m+1+y=﹣4m，
解得：y=﹣10m﹣1，
故方程组的解为： ；
（2）解：∵这个方程组的解满足x﹣y=10，
∴6m+1+10m+1=10，
解得： ．
【解析】【分析】（1）将m看做常数运用加减消元法可解得；（2）将（1）中x、y代入x﹣y=10可得关于m的方程，解方程可得m的值．
23．下列方程：①2x+5y=7；② ；③x2+y=1；④2（x+y）﹣（x﹣y）=8；⑤x2﹣x﹣1=0；⑥ ；
（1）请找出上面方程中，属于二元一次方程的是： （只需填写序号）；
（2）请选择一个二元一次方程，求出它的正整数解；
（3）任意选择两个二元一次方程组成二元一次方程组，并求出这个方程组的解．
【答案】（1）①④⑥
（2）解：2x+5y=7的整数解为：
（3）解：选①④组成方程组得：
解得：
【解析】【解答】解：（1）方程中，属于二元一次方程的是①④⑥．
故答案为：①④⑥；
【分析】（1）根据二元一次方程的定义，即可解答；（2）根据方程求出整数解，即可解答；（3）根据二元一次方程组的解法，即可解答．
24．已知关于的二元一次方程，其中为常数，且．
（1）若是该方程的一个解，求的值；
（2）当每取一个不为－1的值时，都可得到一个方程，且这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
（3）当时，；当时，．若，求整数．
【答案】（1）解：依题意，得，解得
（2）解：依题意，不妨取的两个不同数值，如，，
则有
解得
故这个公共解是
（3）解：根据题意，得，解得
∵，∴，解得
又是整数，∴．
【解析】【分析】（1）将x，y的值代入即可得到一个关于k的方程，解出方程即得到k值；
（2）首先先随便取两个不为-1的值，代入方程中，联立方程组，解方程组即可得到这两个方差的公共解；
（3）将题目所给的两组x，y的值代入方程，得到关于a，b，k的方程组，解出k，又因为 k满足，将解出的k代入即可得到一组关于b的一元一次不等式方程组，解出解集，又b是整数，所以b=7.
25．已知二元一次方程 （ 、 均为常数，且 ）
（1）当 时，用x的代数式表示y；
（2）若 是该二元一次方程的一个解；
①探索 关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与 的取值无关，请求出这个解.
【答案】（1）解：当 时，原方程为： ，
；
（2）解：① 关系是a+b=0，理由：
把 代入二元一次方程 得
，
，
,
；
②由①知道 ,
,
∴原方程可化为： ，
∴
∵该方程组的解与 与 的取值无关，.
∴ .
【解析】【分析】（1）直接将 代入二元一次方程中解关于y的方程即可；（2）①将方程的解x，y代入原方程中整理可得 ；②把b=-a代入，由取值无关可得a的系数为0，由此即可解题.
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