4.3 用乘法公式分解因式培优练习（含答案）

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4.3用乘法公式分解因式培优练习浙教版2024—2025学年七年级下册
一、选择题
1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．y2﹣49x2 B．
C． D．﹣m4+n2
2．若x2+2（a+4）x+25是完全平方式，则a的值（　　）
A．1 B．﹣9 C．1或﹣9 D．5
3．下列各式能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．x2+2xy﹣y2 B．x2﹣xy+4y2
C．x2﹣xy D．x2﹣5xy+10y2
4．对于任何整数a（a≠0），多项式（3a+5）2﹣4都能（　　）
A．被9整除 B．被a整除 C．被a+1整除 D．被a﹣1整除
5．已知（m+2n）2+2m+4n+1＝0，则（m+2n）2024的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
二、填空题
6．若4x2+（n﹣3）xy+9y2是一个关于x，y完全平方式，则n的值是　 　．
7．因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2＝ 　 　．
8．若将（2x）n﹣625分解成（4x2+25）（2x+5）（2x﹣5），则n的值是 　 　．
9．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 　 　．
10．若x+y＝2，则代数式x2﹣y2+4y的值等于　 　．
三、解答题
11．因式分解：
（1）（a2+1）2﹣4a2；
（2）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1．
12．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b） （c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2） （3，4）＝12+42﹣2×3＝11．
（1）若（2x，kx） （y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值：
（2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝104，求xy的值：
（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积．
13．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为（a+2b）（3a+b）的长方形，则需要A号卡片 　 　张，B号卡片 　 　张，C号卡片 　 　张．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 　 　．
（3）根据得出的等量关系，解决如下问题：已知（2024﹣x）2+（x﹣2023）2＝3．求（2024﹣x）（x﹣2023）的值．
14．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）
材料2：分解因式（a+b）2+2（a+b）+1．
解：设a+b＝x，则原式＝x2+2x+1＝（x+1）2＝（a+b+1）2．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）根据材料1将x2+4x+3因式分解；
（2）根据材料2将（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+25因式分解；
（3）结合材料1和材料2，将（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4因式分解．
15．如图①，沿长方形中的虚线将这个长方形平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）观察图②，补充完整（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系式：（a+b）2＝　 　；
（2）根据（1）中得到的关系式，填空：若x+y＝8，xy＝﹣9，则x﹣y＝　 　；
（3）实际上，有许多代数恒等式都可以用图形的面积来表示．如图③，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．它的面积表示了以下恒等关系：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
请利用上述等式解答下列问题：
①若实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝36，求a2+b2+c2的值；
②若实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝8，x2+4y2+9z2＝51，求2xy﹣3xz﹣6yz的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 B C C C C
二、填空题
6．【解答】解：∵4x2+（n﹣3）xy+9y2是一个关于x，y完全平方式，
∴n﹣3＝±12，
则n＝15或n＝﹣9．
故答案为：15或﹣9．
7．【解答】解：（x2+y2）2﹣4x2y2
＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）2，
故答案为：（x+y）2（x﹣y）2．
8．【解答】解：（4x2+25）（2x+5）（2x﹣5）
＝（4x2+25）（4x2﹣25）
＝16x4﹣625
＝（2x）4﹣625，
所以n＝4，
故答案为：4．
9．【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝1
∴（a+2）2﹣（b﹣2）2＝[（a+2）+（b﹣2）][（a+2）﹣（b﹣2）]＝（a+b）（a﹣b+4）＝4×（1+4）＝20
故答案为：20
10．【解答】解：∵x+y＝2，
∴x2﹣y2+4y＝（x+y）（x﹣y）+4y
＝2（x﹣y）+4y
＝2x﹣2y+4y
＝2x+2y
＝2（x+y）
＝2×2
＝4，
故答案为：4．
三、解答题
11．【解答】解：（1）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2；
（2）原式＝[3（2x﹣1）﹣1]2
＝（6x﹣4）2
＝4（3x﹣2）2．
12．【解答】解：（1）（2x）2+y2﹣kx y
＝4x2﹣kxy+y2，
∵4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，
∴k＝±4；
（2）（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2），
＝9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2
＝4x2+y2
＝（2x+y）2﹣4xy
＝104，
∵2x+y＝12，
∴122﹣4xy＝104
∴xy＝10；
（3）S△BDC 2x 8x＝8x2，
S△BGF（8x﹣4y） y
＝4x﹣2y2，
S△DEF 4y （2x﹣y）
＝4xy﹣2y2，
S△GEC 4y y＝2y2，
∴S阴＝8x2﹣（4xy﹣2y2）﹣（4xy﹣2y2）﹣2y2
＝2（4x2﹣4xy+y2）
＝2[（2x+y）2﹣8xy]
＝2（144﹣8×10）
＝128．
13．【解答】解：（1）∵（a+2b）（3a+b）＝3a2+ab+6ab+2b2＝3a2+7ab+2b2，
∴要拼出一个面积为（a+2b）（3a+b）的长方形，则需要A号卡片3张，B号卡片2张，C号卡片7张；
故答案为：3，2，7；
（2）由图可知：大正方形的面积等于两个长方形的面积加上两个正方形的面积，即：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（3）∵（2024﹣x）2+（x﹣2023）2＝3，2024﹣x+x﹣2023＝1，
∴[（2024﹣x）+（x﹣2023）]2＝1，
∵[（2024﹣x）+（x﹣2023）]2
＝（2024﹣x）2+（x﹣2023）2+2（2024﹣x）（x﹣2023）
＝3+2（2024﹣x）（x﹣2023）；
∴（2024﹣x）（x﹣2023）1．
14．【解答】解：（1）x2+4x+3
＝x2+4x+4﹣1
＝（x+2）2﹣1
＝（x+2+1）（x+2﹣1）
＝（x+3）（x+1）．
（2）设x+y＝a，
则原式＝a2﹣10a+25
＝（a﹣5）2
＝（x+y﹣5）2．
（3）m2﹣2m＝a，
则（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4
＝a（a﹣3）﹣4
＝a2﹣3a﹣4
＝（a+1）（a﹣4）
＝（m2﹣2m+1）（m2﹣2m﹣4）
＝（m﹣1）2（m2﹣2m﹣4）．
15．【解答】解：（1）由图②可知：（a+b）2表示大正方形的面积，ab表示每个小长方形的面积，（a﹣b）2表示小正方形的面积．
∴（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2．
故答案为：（a﹣b）2+4ab；
（2）∵（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2，xy＝﹣9，x+y＝8，
∴82﹣4×（﹣9）＝（x﹣y）2，
∴x﹣y＝±10，
故答案为：±10；
（3）①∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc且ab+bc+ac＝36，a+b+c＝11，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc），
＝112﹣2×36
＝49；
②∵2x×4y÷8z＝8，
∴2x×22y÷23z＝23，
∴x+2y﹣3z＝3，
∵（x+2y﹣3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy﹣3xz﹣6yz），
∴32＝51﹣2（2xy﹣3xz﹣6yz），
∴2xy﹣3xz﹣6yz＝21．
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