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第2章 二元一次方程组 单元能力提升卷
一、单选题
1．若是方程的一个解，则的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．1
2．若（a﹣1）x|a|﹣1＋3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．2和﹣2
3．我国明代数学著作《算法统宗》记载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两”．若设共有名客人，两银子，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．如果 ，其中xyz≠0，那么x：y：z=（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．2：3：1 D．3：2：1
5．关于x、y的方程组 的解是 ，则|m﹣n|的值是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
6．某班级为了奖励在期中考试中取得好成绩的同学，花了900元钱购买甲、乙两种奖品共50件，其中甲种奖品每件15元，乙种奖品每件20元，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y元，则所列方程组正确是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列方程组的解为的是（ ）
A． B．
C． D．
8．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．44 C．96 D．140
10．某公司向银行申请了甲、乙两种贷款共计68万元，每年需付出8.42万元利息，已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为（ ）
A．26万元，42万元 B．40万元，28万元
C．28万元，40万元 D．42万元，26万元
二、填空题
11．如图，小方同学位于玉渊潭公园，小程同学在小方北侧1800米处的花园桥．两人同时出发相向而行，10分钟后相遇；两人同时向北而行， 小方90分钟后追上小程．设小方的平均速度为米/分钟，小程的平均速度为米/分钟，则根据题意可列方程组．
12．若方程 的解中，x、y互为相反数，则
13．由方程3x﹣2y﹣6=0可得到用x表示y的式子是 ．
14．二元一次方程x+2y=3的所有自然数解为 .
15．若是关于x，y的方程kx﹣y＝3的解，则k的值是 ．
16．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克粗粮，1千克粗粮，1千克粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克粗粮，2千克粗粮，2千克粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的，，三种粗粮的成本价之和．已知粗粮每千克成本价为元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 .（商品的利润率）
三、综合题
17．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18．
（1）原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示）
（2）根据题意，求原来的两位数．
18．列二元一次方程组解应用题：
快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元．求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元．
19．位于广元市朝天区的朝天古城有着悠久的历史，距今已有2000多年，因其独特的民俗文化，吸引了众多游客前来观光．为了抓住商机，某商店决定购进A，B两种纪念品，已知购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，共需要2000元；购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，共需要1050元．
（1）购进A，B两种纪念品每件各需要多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中每种纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
20．下面是王斌同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：，
由得，……第一步，
把代入，得，……第二步
整理得，……第三步
解得，即．……第四步
把代入，得，
则方程组的解为．……第五步
（1）任务一：填空：
以上求解过程中，王斌用了 消元法；（填“代入”或“加减”）
第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（2）任务二：直接写出该方程组求解后的正确结果．
21．某体育用品商店在“”期间进行优惠促销活动，促销规则是由顾客抽奖决定折扣．小明同学正该商店买了一个篮球，一个排球．请你根据小明和收银员的对话所提供的信息，求两种商品的原价分别为多少元？
22．一个被墨水污染的方程组如下： ，小刚回忆说：这个方程组的解是 ，而我求出的解是 ，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来．
23．按要求解下列二元一次方程组：
（1）（代入法）；
（2）（加减法）．
24． 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它， 从而使问题得到简化， 这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面的问题：
若关于 的方程组 的解是 求 关于 的方程 组 的解．
25．制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件.3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品
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第2章 二元一次方程组 单元能力提升卷
一、单选题
1．若是方程的一个解，则的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．1
【答案】A
2．若（a﹣1）x|a|﹣1＋3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．2和﹣2
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：|a|﹣1＝1，且a﹣1≠0，
解得：a＝±2.
故答案为：D.
【分析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，据此可得|a|-1＝1且a-1≠0，求解即可.
3．我国明代数学著作《算法统宗》记载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两”．若设共有名客人，两银子，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意，
∵若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两”．若设共有名客人，两银子，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两，构建方程组即可．
4．如果 ，其中xyz≠0，那么x：y：z=（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．2：3：1 D．3：2：1
【答案】C
【解析】【解答】已知 ，
①×2﹣②得，7y﹣21z=0，
∴y=3z，
代入①得，x=8z﹣6z=2z，
∴x：y：z=2z：3z：z=2：3：1．
故答案为：C．
【分析】根据方程组的特点，利用加减消元法，消去x，得出用含z的代数式表示y的等式，再消去y，得出用含z的代数式表示x，即可求得x：y：z的比值。
5．关于x、y的方程组 的解是 ，则|m﹣n|的值是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵方程组的解是，
∴，
解得 ，
所以，|m﹣n|=|2﹣3|=1．
故选D．
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
6．某班级为了奖励在期中考试中取得好成绩的同学，花了900元钱购买甲、乙两种奖品共50件，其中甲种奖品每件15元，乙种奖品每件20元，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y元，则所列方程组正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，由题意得
．
故答案为：A．
【分析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据等量关系：①甲、乙两种奖品共50件；②甲、乙两种奖品花了900元钱，列方程组即可求解．
7．下列方程组的解为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵不是2x+y=-2的解，
∴不是的解，A不符合题意；
B、∵不是x+y=-1的解，
∴不是的解，B不符合题意；
C、∵既是x-y=1的解，也是2x+y=2的解，
∴是的解，C符合题意；
D、∵既不是x-y=-1的解，也不是2x+y=-2的解，
∴不是的解，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】（1）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解；
（2）将题目中方程组的解代入选项每一个方程组进行排除，选出正确的方程组.
8．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设每个长方形的长为xmm，宽为 ymm，由题意，
得 ，
解得： ，
9×15=135（mm2）.
故答案为：A.
【分析】设每个长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图1可得3x=5y，根据图2可得2y-x=3，联立求出x、y，接下来根据矩形的面积公式进行计算.
9．如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．44 C．96 D．140
【答案】B
【解析】【解答】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得：
解得： ．
故小长方形的长为8cm，宽为2cm，∴S阴影部分=S四边形ABCD﹣6×S小长方形=14×10﹣6×2×8=44（cm2）．
故答案为：B．
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
10．某公司向银行申请了甲、乙两种贷款共计68万元，每年需付出8.42万元利息，已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为（ ）
A．26万元，42万元 B．40万元，28万元
C．28万元，40万元 D．42万元，26万元
【答案】D
【解析】【解答】解：设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元与y万元，则有 ，解这个二元一次方程组得 ，所以该公司甲、乙两种贷款的数额分别为42万元与26万元．故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元与y万元，根据甲、乙两种贷款共计68万元和每年需付出8.42万元利息来列方程组，求出解可得答案.
二、填空题
11．如图，小方同学位于玉渊潭公园，小程同学在小方北侧1800米处的花园桥．两人同时出发相向而行，10分钟后相遇；两人同时向北而行， 小方90分钟后追上小程．设小方的平均速度为米/分钟，小程的平均速度为米/分钟，则根据题意可列方程组．
【答案】
12．若方程 的解中，x、y互为相反数，则
【答案】；-
【解析】【解答】因为x，y互为相反数，所以x+y=0，
则，
将y=-x，代入2x-y=得2x+x=，解得x=，
则y=.
故答案为；.
【分析】根据解二元一次方程组的方法，可知构造二元一次方程组得，然后再根据二元一次方程组的解法解出x，y的值.
13．由方程3x﹣2y﹣6=0可得到用x表示y的式子是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：移项，得3x﹣2y=6，
移项，得﹣2y=6﹣3x，
化系数为1，得y= ，
故答案为：y= ．
【分析】考查解方程的基本技能，等式的变形
14．二元一次方程x+2y=3的所有自然数解为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
当时，
当时，
当时，x不为自然数，
∴原方程的自然数解为：，
故答案为：.
【分析】由原方程得到：再根据自然数的定义：从0开始的每一个整数则为自然数，选择合适的y值，代入计算即可.
15．若是关于x，y的方程kx﹣y＝3的解，则k的值是 ．
【答案】2
16．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克粗粮，1千克粗粮，1千克粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克粗粮，2千克粗粮，2千克粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的，，三种粗粮的成本价之和．已知粗粮每千克成本价为元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 .（商品的利润率）
【答案】
【解析】【解答】解：甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮，
而A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，
∴1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价元，
乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮，
乙种粗粮每袋售价为元．
甲种粗粮每袋成本价为元，乙种粗粮每袋成本价为元．
设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，
由题意，得，
，
．
故答案为：.
【分析】由题意可得1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价=27元，乙种粗粮每袋售价为72元，然后求出甲种、乙种粗粮每袋成本价，设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋，根据这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%可得关于x、y的方程，化简即可.
三、综合题
17．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18．
（1）原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示）
（2）根据题意，求原来的两位数．
【答案】（1）；
（2）35
18．列二元一次方程组解应用题：
快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元．求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元．
【答案】快递员小李平均每送一件的提成是1.5元，平均每揽一件的提成是2元
19．位于广元市朝天区的朝天古城有着悠久的历史，距今已有2000多年，因其独特的民俗文化，吸引了众多游客前来观光．为了抓住商机，某商店决定购进A，B两种纪念品，已知购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，共需要2000元；购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，共需要1050元．
（1）购进A，B两种纪念品每件各需要多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中每种纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
【答案】（1）解：设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元．
根据题意，得解得
答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元．
（2）解：设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，正好用完4000元．
根据题意，得，化简，得，即．
∵a，b均为不小于12的整数，
∴①当时，；
②当时，；
③当时，；
④当时，．
答：该商店共有4种进货方案．
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用题。（1）根据两种购买方式，购买总数和购买费用，列出方程组求解；（2）根据购买费用的限制和数量的要求，列出方程，得出数量的范围，依次列出进货方案即可。
20．下面是王斌同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：，
由得，……第一步，
把代入，得，……第二步
整理得，……第三步
解得，即．……第四步
把代入，得，
则方程组的解为．……第五步
（1）任务一：填空：
以上求解过程中，王斌用了 消元法；（填“代入”或“加减”）
第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（2）任务二：直接写出该方程组求解后的正确结果．
【答案】解：任务一：方程组用代入消元法解方程组，故答案为：代入；第三步出现错误，去括号时没有变号，故答案为：三，去括号错误；任务二： ，由得 ，把代入，得，整理得，解得，即，把代入，得，则方程组的解为．
（1）代入；三；去括号错误
（2）
，
由得 ，
把代入，得，
整理得，
解得，即，
把代入，得，
则方程组的解为．
【解析】【分析】（1）①根据题目中二元一次方程组的解法进行解答；
②对每一步进行分析，进而可得错误的地方；
（2）由第一个方程可得y=10-x，代入第二个方程中求出x的值，将x的值代入y=10-x中求出y的值，据此可得方程组的解.
21．某体育用品商店在“”期间进行优惠促销活动，促销规则是由顾客抽奖决定折扣．小明同学正该商店买了一个篮球，一个排球．请你根据小明和收银员的对话所提供的信息，求两种商品的原价分别为多少元？
【答案】解：设一个篮球的原价是元，一个排球的原价是元，
根据题意，得，解得．
答：一个篮球原价270元，一个排球原价150元．
【解析】【分析】设一个篮球的原价为x元，一个排球的原价为y元，根据图中的对话信息“按一个篮球九折和一个排球八折共付款363元，一个篮球和一个排球原销售价之和为420元”列方程组，解方程组即可得答案.
22．一个被墨水污染的方程组如下： ，小刚回忆说：这个方程组的解是 ，而我求出的解是 ，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来．
【答案】解：设被滴上墨水的方程组为 ，
由小刚所说，知 和 都是原方程组中第一个方程ax+by=2的解，
则有 ，
解之，得 ．
又因方程组的解是 ，
所以3m+14=8，
m=﹣2．
故所求方程组为
【解析】【分析】设方程组为 ，而两个解都是第一个方程的解，将两个解代入到第一个方程中得到关于a、b的一元一次方程组求出a和b，再将 代入第二方程得到m的值，即可得出答案．
23．按要求解下列二元一次方程组：
（1）（代入法）；
（2）（加减法）．
【答案】（1）
（2）
24． 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它， 从而使问题得到简化， 这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面的问题：
若关于 的方程组 的解是 求 关于 的方程 组 的解．
【答案】解：，
由题意知
解得
原方程组的解为
【解析】【分析】对原方程组进行变形可得根据关于 的方程组 的解是 可得 进而解得方程组的解为
25．制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件.3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品
【答案】解：设机器每天可制造x件产品，手工每天可制造y件产品，依题可得：
，
（1）×2-（2）得：
4y=40，
∴y=10，
将y=10代入（1）得：
x=30，
∴原方程组的解为：，
∴3x+y=3×30+10=100.
答：每天可制造100件产品.
【解析】【分析】设机器每天可制造x件产品，手工每天可制造y件产品，根据题意列出二元一次方程组，解之，代入即可得出答案.
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