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2025浙教版七年级下数学第三章整式的乘除——乘法公式培优
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A C C C C C B C D A
题号 12
答案 B
一．选择题（共12小题）
1．（2021秋 温岭市期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】设BC＝a，CG＝b，建立关于a，b的关系，最后求面积．
【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．
∴a2+b2＝40．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴2ab＝64﹣40＝24，
∴ab＝12，
∴阴影部分的面积等于ab12＝6．
故选：A．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造使用完全平方公式的条件是求解本题的关键．
2．（2024春 鹿城区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【分析】利用正方形和长方形的性质，将ID与DJ的关系表示出来，再利用阴影部分面积和为60即可求出ID与DJ，从而得到长方形FJDI的长和宽，即可求解．
【解答】解：设ID＝y，DJ＝z，
∵两个阴影部分都是正方形，
∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，
∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ，
∴AI+ID＝CJ+DJ，
∵AI＝5，CJ＝3，
∴5+y＝3+z，
∴y＝z﹣2，
：∵阴影部分面积和为60，
∴y2+z2＝60，
方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得：
（z﹣2）2+z2＝60，
解得：z＝1或z＝1（舍），
∴y＝z﹣21，
∴ID1，DJ＝1，
∴S长方形FJDI＝ID DJ＝（1）×（1）＝28；
方法2：∵z﹣y＝2，
所以（z﹣y）2＝4，
∴y2+z2﹣2yz＝4，
∴60﹣2yz＝4，
yz＝28，
∴S长方形FJDI＝ID DJ＝28．
故选：A．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是利用图形面积之间的关系求解，熟练进行公式之间的转化变形．
3．（2024春 柯桥区期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【分析】观察图形，阴影部分除了在正方形中，还以正方形边长为直角边构造三角形，因此阴影部分可看作由不同三角形组成，每个阴影部分都与其所在三角形有关系，由此可逐个分析：首先令直线BF与直线CD的交点为O（如图），则可看出△BDO与△EFO、△BGF有关，用△BCD与 ECGF的面积和减去△BGF的面积可得阴影部分△BDO与△EFO的面积，阴影部分△DEF和△CGF的面积可依据正方形的边长a与b各自求出．至此，阴影部分面积可计和求出，然后利用已知条件进行完全平方公式再代入计算数值．
【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；
则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S ECGF﹣S△BGF＝a a÷2+b b﹣（a+b） b÷2；①
S△DEF＝底EF 高DE÷2＝b （a﹣b）÷2； ②
S△CGF＝底CG 高GF÷2＝b b÷2； ③
∴阴影部分面积＝①+②+③
＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2
＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2
＝（a2+b2）÷2，④
由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：
（ a+b）2＝102，
解得a2+b2+2ab＝100，
a2+b2＝100﹣2 20，
化简＝60代入④式，
得60÷2＝30，
∴S阴影部分＝30．
故选：C．
【点评】本题考查了几何图形关系，即阴影部分面积与三角形面积和正方形面积的关系，同时考查了完全平方公式的运用和符号计算变化．
4．（2024秋 椒江区校级期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根据图1的阴影部分面积求出（a﹣b）2的值，根据图2阴影部分的面积求出2ab的值，再根据完全平方公式求出a2+b2的值即可得到答案．
【解答】解：根据图1可知，（a﹣b）2＝1，即a2+b2﹣2ab＝1，
根据图2可知，（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，即2ab＝12，
∴正方形A、B的面积之和为：a2+b2＝a2+b2﹣2ab+2ab＝12+1＝13．
即正方形A、B的面积之和为13．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键．
5．（2024春 鹿城区校级期末）已知两块边长都为a（cm）的大正方形，两块边长都为b（cm）的小正方形和五块长、宽分别是a（cm），b（cm）的小长方形（a＞b），按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为78cm，四个正方形的面积之和为242cm2，则每块小长方形的面积为（ ）
A．11cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．36cm2
【分析】根据拼成的大长方形周长为78cm，四个正方形的面积之和为242cm2，得到a+b＝13，a2+b2＝121，根据完全平方公式求出ab的值即可．
【解答】解：∵大长方形周长为78cm，
∴2[（2a+b）+（a+2b）]＝78，
∴a+b＝13，
∵四个正方形的面积之和为242cm2，
∴2a2+2b2＝242，
∴a2+b2＝121，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴121+2ab＝169，
∴ab＝24，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握（a+b）2＝a2+2ab+b2是解题的关键．
6．（2024春 嵊州市期末）一大一小的两个正方形如图放置，边长分别为a，b．若a+b＝5，ab＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】分别用代数式表示两块阴影部分的面积和，再将其化为[（a+b）2﹣3ab]，整体代入计算即可．
【解答】解：S阴影部分a（a﹣b）b2
a2abb2，
当a+b＝5，ab＝3时，
原式[（a+b）2﹣3ab]
（25﹣9）
＝8．
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
7．（2024春 上城区期末）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点，以AE，AF为边在正方形内部作面积为10的长方形AFGE，再分别以AE，EG为边作正方形AEPH和正方形GRQE．若图中阴影部分的面积为61，则长方形AFGE的周长为（ ）
A．9 B．16 C．18 D．81
【分析】设AE＝a，AF＝b，由题意可得ab＝10，a2+b2＝61，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab求出a+b的值即可．
【解答】解：设AE＝a，AF＝b，则ab＝10，a2+b2＝61，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝61+20，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝9，
∴2a+2b＝18，
即长方形AFGE的周长为18．
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
8．（2024春 新昌县期中）有两个正方形A、B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为14与36，则正方形B的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积，整体代入即可得出b2，即正方形B的面积．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由题意得，a（a+b）﹣a2﹣b2＝14，（a+b）2﹣a2﹣b2＝36，
即ab﹣b2＝14，ab＝18，
∴b2＝18﹣14＝4，
即正方形B的面积为4，
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
9．（2024春 永康市期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则①x﹣y＝n；②xy；③x2﹣y2＝mn；④x2+y2中，正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④
【分析】根据拼图中各个部分的长度、面积之间的关系逐项进行判断即可．
【解答】解：由拼图可知，m＝x+y，n＝x﹣y，
因此①正确；
由于mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
因此③正确；
由于xy表示一个小长方形的面积，由拼图可知，xy，
因此②不正确；
由于x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝m2﹣2
，
因此④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
10．（2022春 江北区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2022的正整数中，所有“和谐数”之和等于（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
【分析】设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），求出和谐数的表达式，根据和谐数不超过2022，列出不等式，求得n的范围，进而可以知道最大的n，求出此时的相邻两个奇数，然后把这些和谐数加起来计算即可．
【解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
根据题意得：8n≤2022，
∴n≤252，
∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503，
∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032
＝5052﹣12
＝255024．
故选：D．
【点评】本题考查平方差公式，理解“和谐数”的意义是解决问题的前提，得出计算结果的规律性是解决问题的关键．
11．（2023春 拱墅区校级期中）设a＝x﹣2019，b＝x﹣2021，c＝x﹣2020，若a2+b2＝34，则c2的值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【分析】先将a＝x﹣2019，b＝x﹣2021，代入a2+b2＝34，得到（x﹣2019）2+（x﹣2021）2＝34，再变形为（x﹣2020+1）2+（x﹣2020﹣1）2＝34，然后将（x﹣2020）作为一个整体，利用完全平方公司得到一个关于（x﹣2020）的一元二次方程即可解答．
【解答】解：∵a＝x﹣2019，b＝x﹣2021，a2+b2＝34，
∴（x﹣2019）2+（x﹣2021）2＝34，
∴（x﹣2020+1）2+（x﹣2020﹣1）2＝34，
∴（x﹣2020）2+2（x﹣2020）+1+（x﹣2020）2﹣2（x﹣2020）+1＝34，
∴2（x﹣2020）2＝32，
∴（x﹣2020）2＝16，
又∵c＝x﹣2020，
∴c2＝16．
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键．
12．（2023春 瑞安市校级期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：x（x﹣5）＝14的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为（x﹣5）的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形ABCD，得到大正方形的面积为：14×4+25＝81，边长AB＝9，可依据AB＝x+（x﹣5）＝9求得x＝7是方程x（x﹣5）＝14的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程x（x﹣m）＝n（n＞0）时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形EGIH的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意得HE2＝x2+（x﹣m）2＝24，m2＝8，得出，n＝8则所以原方程为，求得大正方形的面积为4×8+8＝40，边长为，即可求解．
【解答】解：∵关于x的方程x（x﹣m）＝n（n＞0），则AH＝x，AE＝x﹣m，
∴HE2＝x2+（x﹣m）2＝24，m2＝8，
∴x2+x2﹣2mx+8＝2x2﹣2mx+8＝24，，
即x（x﹣m）＝8，即n＝8，
所以原方程为，
∴大正方形的面积为4×8+8＝40，
∴边长为，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，二次根式的性质，理解题意是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
13．（2024秋 临海市期末）如图，标号为①，②，③，④的四个长方形以不重叠的方式围成长方形EFGH．已知①和②全等，③和④全等，且这四个长方形的面积都是6．设AM＝a，MD＝b，且a2﹣8ab+16b2＝0．则S长方形EFGH为 13.5 ．
【分析】依题意得MH，MG，HG＝MG﹣MH，EH＝AM﹣MD＝a﹣b，则S长方形EFGH＝HG EH，根据a2﹣8ab+16b2＝0得（a﹣4b）2＝0，则a＝4b，由此即可得出长方形EFGH的面积．
【解答】解：∵AM＝a，MD＝b，①和②全等，③和④全等，且这四个长方形的面积都是6，
∴MH，MG，
∴HG＝MG﹣MH，EH＝AM﹣MD＝a﹣b，
∴S长方形EFGH＝HG EH，
∵a2﹣8ab+16b2＝0，
∴（a﹣4b）2＝0，
∴a＝4b，
∴S长方形EFGH13.5．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
14．（2021春 南浔区期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是 ．
【分析】利用正方形ABCD的面积减去空白部分的面积求出阴影部分的面积S1，结合S1＝6S2，求出a与b的比值．
【解答】解：∵S1＝（a+2b）2b2a（a+2b）b2（a+b）2＝2abb2，S2＝b2，S1＝6S2，
∴2abb2＝6b2，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积、正方形的面积、完全平方公式的应用．要求学生用分割法求出阴影部分的面积．
15．（2021春 奉化区校级期末）如图，把三张边长相等的小正方形甲、乙、丙纸片按先后顺序放在一个大正方形ABCD内，丙纸片最后放在最上面．已知小正方形的边长为a，如果斜线阴影部分的面积之和为b，空白部分的面积和为4，那么的值为 2 ．
【分析】先将乙这个正方形平移至AB边，然后设大正方形边长为x，从而表示出斜线阴影面积为2a（x﹣a）＝b和空白面积为（x﹣a）2＝4，再代入计算即可．
【解答】解：将乙正方形平移至AB边，如图所示：
设AB＝x，
∴乙的宽＝（x﹣a）；甲的宽＝（x﹣a）；
又∵斜线阴影部分的面积之和为b，
∴2a（x﹣a）＝b，
空白部分的面积和为4，
∴（x﹣a）2＝4，
∴x﹣a＝2，
即2a 2＝b，
∴2．
【点评】本题主要考查完全平方式的几何背景，解题关键在于找出甲、乙、丙各自的边长长度．
16．（2023春 萧山区月考）已知m＝2014﹣a，n＝2017﹣a，若mn＝9，则m2+n2＝ 27 ，m+n＝ 3 ．
【分析】由条件可得m﹣n＝﹣3，两边平方得（m﹣n）2＝9，展开得m2﹣2mn+n2＝9，再由mn＝9可求得m2+n2的值，再由（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn可求得m+n的值．
【解答】解：∵m＝2014﹣a，n＝2017﹣a，
∴m﹣n＝﹣3，
∴（m﹣n）2＝9，
∴m2﹣2mn+n2＝9，
∵mn＝9，
∴m2﹣18+n2＝9，
∴m2+n2＝27，
（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝9+4×9＝45，
∴，
故答案为：27，．
【点评】本题考查了运用完全平方公式变形求值，解决本题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形．
17．（2023春 慈溪市校级期中）已知（2022﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，则（2022﹣a）（a﹣2023）的值为 ﹣3 ．
【分析】设m＝2022﹣a，n＝a﹣2023，可得m+n＝﹣1，m2+n2＝（2022﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，根据（m+n）2＝m2+n2+2mn代入计算即可．
【解答】解：设m＝2022﹣a，n＝a﹣2023，
则m+n＝﹣1，m2+n2＝（2022﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，
由（m+n）2＝m2+n2+2mn得，
1＝7+2mn，
∴mn＝﹣3，
∴（2022﹣a）（a﹣2023）＝mn＝﹣3，
即（2022﹣a）（a﹣2023）的值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查完全平方公式，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
18．（2021春 奉化区校级期末）阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）＝ ．
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：原式（6﹣1）（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）
（62﹣1）（62+1）（64+1）（68+1）
（64﹣1）（64+1）（68+1）
（68﹣1）（68+1）
（616﹣1）
．
故答案为：
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
三．解答题（共18小题）
19．（2023春 金东区期中）（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ a2﹣b2 ，
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ a3﹣b3 ，
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ a4﹣b4 ，
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算；
29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
【分析】（1）根据平方差公式与多项式乘多项式的运算法则运算即可；
（2）根据（1）的规律可得结果；
（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．
【解答】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4＝a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；
（2）由（1）的规律可得：
原式＝an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）∵[（2﹣（﹣1）]（29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1）
＝210﹣110，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1
＝（210﹣110）÷3
＝341，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
＝341+1
＝342．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
20．（2024秋 鄱阳县校级期末）阅读解答：
（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ a2﹣b2 ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ a3﹣b3 ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ a4﹣b4 ；
（2）类推：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+ +abn﹣2+bn﹣1）＝ an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）；
（3）利用（2）的结论计算：
①221+220+219+ +23+22+2+1；
②716﹣715+714﹣713+712﹣711+ ﹣73+72﹣7．
【分析】（1）按照多项式乘多项式即可完成；
（2）根据（1）中的结果，可以猜想得到结论；
（3）①根据（2）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果；
②根据（2）的条件，把要求的式子进行适当变形即可计算出结果．
【解答】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4，
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；
（2）（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+ +abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）①原式＝（2﹣1）（221+220+219+ +23+22+2+1）
＝222﹣1；
②716﹣715+714﹣713+712﹣711+ ﹣73+72﹣7
1
1
．
【点评】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键．
21．（2023春 镇海区校级期中）如果一个非零整数a能被3整除，那么就称a是“3倍数”．
（1）蛟蛟说“252﹣212”是“3倍数”，川川说“122﹣6×12+92，也是“3倍数”，请判断谁的说法正确，并说明理由；
（2）如果一个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，千位数字与十位数字的和为9，请写出满足条件的所有“3倍数”，并说明理由．
【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式进行运算说明即可；
（2）设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，利用平方差公式和数位上的数字的特征解答即可．
【解答】解：∵252﹣212＝（25+21）（25﹣21）＝46×4＝2×23×4，
∴“252﹣212”不是“3倍数”，
∴蛟蛟断的说法不正确；
∵122﹣6×12+92＝122﹣2×3×12+92＝153＝3×51，
∴122﹣6×12+92是“3倍数”，
∴川川的说法正确；
（2）设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，
由题意得：a2﹣b2＝c2，a+c＝9．
∴a2﹣c2＝b2，
∴（a+c）（a﹣c）＝b2，
∴b2＝9（a﹣c），
∵0＜b≤9的整数，0＜a≤9的整数，0＜c≤9的整数，
∴b的可能值为3，6，9，
∴a﹣c＝1或a﹣c＝4或a﹣c＝9（不合题意，舍去）．
当a﹣c＝1时，
∵a+c＝9，
∴a＝5，c＝4．
当a﹣c＝4时，
∵a+c＝9，
∴a＝6.5，c＝2.5（不合题意，舍去）．
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∵这个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，“3倍数”的各个数位上的数字之和为3的倍数，
∴满足条件的所有“3倍数”有：5343，5346，5349．
【点评】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握实数公式是解题的关键．
22．（2024春 义乌市期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：
若a+b＝4，ab＝2，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝4，ab＝2，
∴（a+b）2＝16，2ab＝4．
即a2+b2+2ab＝16．
∴a2+b2＝12．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）a+b＝3，ab＝﹣2，则（a﹣b）2的值为 17 ；
（2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，AB＝9，两正方形面积的和为25，设AC＝a，BC＝CF＝b，求△AFC的面积；
【分析】（1）根据题意，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，代入计算即可解答；
（2）根据题意可知a+b＝9，a2+b2＝25，求出ab＝28，即可解答．
【解答】解：（1）∵a+b＝3，ab＝﹣2，
∴（a+b）2＝9，4ab＝﹣8，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝17．
故答案为：17；
（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，
根据题意可知a+b＝9，a2+b2＝25，
∴（a+b）2＝81，
∴a2+b2+2ab＝81，
∴2ab＝81﹣25＝56，
∴ab＝28，
∴S△AFC．
【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
23．（2024春 上城区校级期中）阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．
解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．
所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．
请仿照上例解决下面的问题：
（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值；
（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．
【分析】（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则ab＝﹣10，a+b＝1，由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21；
（2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020，由完全平方公式可得ab；
（3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，所以正方形MFNP的面积为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝900．
【解答】解：（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则a+b＝（3﹣x）+（x﹣2）＝1，
由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣10）＝21，
即：（3﹣x）2+（x﹣2）2的值为21；
（2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020，
由完全平方公式可得ab，
即：（2022﹣x）（2021﹣x）的值为；
（3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，
又由ab＝200，
∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．
【点评】此题考查了对完全平方公式几何意义的应用能力，关键是能理解题例结合图形进行完全平方公式的灵活运用．
24．（2024春 慈溪市期中）（1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．
方法1： （m+n）2﹣4mn ．方法2： （m﹣n）2 ．
（2）利用等量关系解决下面的问题：
①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值；
②已知，求的值．
【分析】（1）方法1，根据“S阴影＝图②中大正方形的面积﹣图①中长方形的面积”即可得出答案；根据图②中小正方形的边长为（m+n），S阴影＝小长方形的面积即可得出答案；
（2）①由（1）中所得的等量关系得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，将a﹣b＝5，ab＝﹣6代入即可得（a+b）2的值；再根据（a+b）2＝1得a2+b2+2ab＝1，据此可得a2+b2的值；
②将x3平方得x211，再将x211平方即可得出x4的值..
【解答】解：（1）方法1，∵图②中大正方形的边长为（m+n），
∴图②中大正方形的面积为：（m+n）2，
∵图①中长方形的为2m、宽为2n，
∴图①中长方形的面积为：2m 2n＝4mn，
又∵S阴影＝图②中大正方形的面积﹣图①中长方形的面积，
∴S阴影＝（m+n）2﹣4mn，
方法2：∵图②中小正方形的边长为（m+n），
∴S阴影＝小长方形的面积＝（m﹣n）2，
故答案为：（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2．
（2）由（1）得：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
①∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，
∴（a+b）2＝52+4×（﹣6）＝1，
∵（a+b）2＝1，
∴a2+b2+2ab＝1，
∴a2+b2＝1﹣2ab＝1﹣2×（﹣6）＝13；
②∵x3，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
25．（2023春 瓯海区期中）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 （m﹣n）2 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 （m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy，则x﹣y＝ ±5 .（直接写出答案）
【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；
（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系．
（3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2，继而可得出x﹣y的值．
【解答】解：（1）图2中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，
故答案为：（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy36﹣11＝25，
∴x﹣y＝±5．
故答案为：±5．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．
26．（2022春 秀洲区校级期中）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）；
方法1： （a+b）2 ；方法2： a2+2ab+b2 ；从而可以验证我们学习过的一个乘法公式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）先表示面积，再求关系．
（2）先表示大长方形的面积，再确定三种纸片张数．
（3）通过（1）中结论计算．
【解答】解：（1）大正方形的边长为：a+b，面积为（a+b）2；
还可以用1张A，B，两张C拼出，
∴面积还可以为：a2+2ab+b2；
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片5张．
（3）设AC＝a，BC＝CF＝b则a+b＝6，
∵S1+S2＝20，
∴a2+b2＝20
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，
∴．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．
27．（2022春 萧山区期中）两个边长分别为a、b（a＞b）的正方形如图（1）放置，现在取BD的中点P，连接PA、PE，如图（2），把图形分割成三部分，分别标记①、②、③，对应的图形面积分别记为S①、S②、S③．
（1）用字母a、b分别表示S①、S②．
（2）若a﹣b＝2，ab＝15，求S①+S②．
（3）若S①+S②＝3，ab＝1，求S③．
【分析】（1）由AB＝b，DE＝a，BP＝DE，分别列式表示出S①、S②；
（2）由（1）题结果可得S①+S②（a+b）2[（a﹣b）2+4ab]，再将S①+S②＝3，ab＝1代入计算；
（3）由（a+b）2＝a2+2ab+b2可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，然后代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，AB＝b，DE＝a，BP＝DE，
∴S①（a+b）×b
（ab+b2），
S②（a+b）×a
（a2+ab）；
（2）由（1）题可得，
S①+S②
（ab+b2）（a2+ab）
（ab+b2+a2+ab）
（a2+2ab+b2）
（a+b）2
[（a﹣b）2+4ab]，
∴当a﹣b＝2，ab＝15时，
S①+S②
（22+4×15）
（4+60）
64
＝16；
（3）由题意得，S③＝a2+b2﹣（S①+S②）
＝a2+b2﹣[（ab+b2）（a2+ab）]
＝a2+b2（a2+2ab+b2）
（3a2+3b2﹣2ab），
∵S①+S②（a2+2ab+b2）＝3，ab＝1，
即（a2+b2+2×1）＝3，
解得a2+b2＝10，
∴S③（10×3﹣2×1）
28
＝7．
【点评】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形准确列式，并能根据完全平方公式进行变形应用．
28．（2022春 西湖区校级期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ 20 ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC BC＝10，则图中阴影部分的面积为 10 ．
【分析】（1）将a2+b2＝8，（a+b）2＝48代入题干中的推导公式就可求得结果；
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，则（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可；
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）a2b2[（a+b）2﹣（a2+b2）]2ab＝ab＝10．
【解答】（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48，
∴ab20，
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝152﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255，
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，
则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）（a2+b2）
[（a+b）2﹣（a2+b2）]
2ab
＝ab
＝10
【点评】此题考查了完全平方公式的变式应用能力，关键是能数形结合应用完全平方公式．
29．（2020春 滨江区期末）已知正方形ABCD的边长为b，正方形EFGH的边长为a（b＞a）．
（1）如图1，点H与点A重合，点E在边AB上，点G在边AD上，请用两种不同方法求出阴影部分S1的面积（结果用a，b表示）．
（2）如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形ABCD的右下角又放了一个和正方形EFGH一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在BC和DC上，若题（1）中S1＝4，图2中S2＝1，求阴影部分S3的面积．
（3）如图3，若正方形EFGH的边GF和正方形ABCD的边CD在同一直线上，且两个正方形均在直线CD的同侧，若点D在线段GF上，满足DFGF，连接AH，HF，AF，当三角形AHF的面积为3时，求三角形EFC的面积，写出求解过程．
【分析】（1）根据面积等于大正方形面积﹣小正方形面积或等于两个长方形面积之和即可得出结论；
（2）用a，b表示S1和S2，根据S1＝4，S2＝1，求出a和b的值，将a和b的值代入即可；
（3）见解答．
【解答】解：（1）①；②S1＝（a+b）（b﹣a）；
（2）S1＝4＝（a+b）（b﹣a），又因为S2＝1，所以BE＝1，即b﹣a＝1，所以a+b＝4；所以，解得：．
S3表示边长为（2a﹣b）的正方形的面积，所以，所以．
（3）如图，记AD与HF的交点为M，AD与HE交于点N．
GFEH为正方形，HF为对角线，
∴∠ADF＝90°，∠DFM＝45°
∴△DMF为等腰直角三角形，
则NE＝DF＝DM，
FC＝ba，
＝3．
．
【点评】本题考查整式乘法与图形面积，掌握割补法求图形面积的方法是解决（1）的关键；（2）（3）中解题的关键是正确理解图形面积公式，会表示相应线段的长和图形的面积．
30．（2019春 衢州期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ 30 ．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝ 156 ．
【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
（2）运用多项式乘多项式进行计算即可；
（3）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；
（4）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（5a+7b）（9a+4b）＝45a2+20ab+63ab+28b2＝45a2+28b2+83ab，即可得到x，y，z的值．
【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）证明：（a+b+c）（a+b+c），
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
＝102﹣2（ab+ac+bc），
＝100﹣2×35，
＝30．
故答案为：30；
（4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，
∵（5a+7b）（9a+4b），
＝45a2+20ab+63ab+28b2，
＝45a2+28b2+83ab，
∴x＝45，y＝28，z＝83．
∴x+y+z＝45+28+83＝156．
故答案为：156．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
31．（2021春 越城区校级期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）用两种方法求图②中阴影部分的正方形的面积．
（2）观察图②，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn；
（3）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，求a﹣b的值．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了 （m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2 ．
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）＝m2+4mn+3n2．
【分析】（1）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分（小正方形）的面积，或可直接用正方形的面积公式得到．
（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．
（3）根据（2）所得出的关系式，容易求出结果．
可利用各部分面积和＝长方形面积列出恒等式．
（4）可利用各部分面积和＝长方形面积列出恒等式．
（5）可参照第（4）题画图．
【解答】解：（1）方法1：（m+n）2﹣4mn，
方法2：（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn；
（3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×5＝29，
a﹣b＝±；
（4）（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2；
故答案为（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2；
（5）答案不唯一：
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．
32．（2023秋 玉环市校级月考）我们知道，多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性，如（a+b）2＝a2+2ab+b2就能利用图1的面积进行验证．
（1）写出图2中所表示的数学等式： （a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2 ．
（2）请你写出图3所能验证的数学等式，并利用你所学的多项式的乘法写出验证过程．
（3）利用（2）得到的结论，解决下面的问题：若实数a，b，c满足a+2b+3c＝4，a2+4b2+9c2＝30，求4ab+6ac+12bc的值．
【分析】（1）根据数据表示出长方形的长与宽，再根据长方形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的长方形的面积，然后根据面积相等即可写出等式；
（2）利用多项式法乘多项式法则即可求解；
（3）根据利用（2）中所得到的结论，将a+2b+3c＝4，a2+4b2+9c2＝30作为整式代入（a+2b+3c）2﹣（a2+4b2+9c2）即可求出．
【解答】解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b）（3a+b），
各小矩形部分的面积之和＝3a2+4ab+b2，
故答案为：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；
（2）等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（a+b+c）2＝（a+b+c） （a+b+c），
＝a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2，
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（3）由（2）得（a+2b+3c）2＝a2+4b2+9c2+4ab+6ac+12bc，
故4ab+6ac+12bc＝（a+2b+3c）2﹣（a2+4b2+9c2）＝﹣14．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据长方形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
33．（2024春 萧山区期中）【阅读材料】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．比如：我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了图1的等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图3可得等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则可以拼成的正方形中边长最长为 a+2b ．
（3）利用图2得到的结论，解决问题：
若实数x、y、z满足2x×4y×8z＝4，x2+4y2+9z2＝44，求2xy+3xz+6yz的值．
【分析】（1）用两种不同的方法表示出大正方形的面积，即可得出结论；
（2）利用完全平方公式进行求解即可；
（3）根据2x×4y×8z＝4，得出x+2y+3z＝2，根据（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+4xy+6xz+12yz，得出2（2xy+3xz+6yz）＝（x+2y+3z）2﹣（x2+4y2+9z2），代入数据求值即可．
【解答】解：（1）由图2知，大正方形的面积＝（a+b+c）2，
大正方形的面积＝3个边长分别为a、b、c的正方形的面积+2个长和宽分别为a、b小长方形的面积+2个长和宽分别为a、c小长方形的面积+2个长和宽分别为b、c小长方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）∵有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，
又∵（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，
∴从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形，可以拼成的正方形的最大边长为a+2b．
故答案为：a+2b．
（3）∵2x×4y×8z＝4，
∴2x×（22）y×（23）z＝22，
2x×22y×23z＝22，
2x+2y+3z＝22，
∴x+2y+3z＝2，
∵（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+4xy+6xz+12yz，
∴4xy+6xz+12yz＝（x+2y+3z）2﹣（x2+4y2+9z2），
即2（2xy+3xz+6yz）＝（x+2y+3z）2﹣（x2+4y2+9z2），
∵x2+4 y2+9 z2＝44，
∴．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键．
34．（2024春 拱墅区校级月考）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】
（1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 20 ；
②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝ 13 ；
【迁移应用】
（2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积．
【分析】（1）①利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可；
②令a＝x，b＝5﹣x，从而得到a、b的和与积，再利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可；
（2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积．
【解答】解：（1）①由题意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∵xy＝8，x+y＝6，
∴x2+y2＝62﹣2×8＝20，
故答案为：20．
②令a＝x，b＝5﹣x，
∴a+b＝5，ab＝6，
∴x2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13，
故答案为：13．
（2）设三角板的两条直角边AO＝m，BO＝n，则一块三角板的面积为mn，
∴m+n＝14，（m2+n2）＝54，即m2+n2＝108，
∵2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88，
∴mn＝44，
∴mn44＝22，
∴一块三角板的面积是22．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键．
35．（2020春 北仑区期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）根据S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，将a+b＝10，ab＝20代入进行计算即可；
（3）根据S3（a2+b2﹣ab），S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积S3．
【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，
S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，
∵a+b＝10，ab＝20，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；
（3）由图可得，S3＝a2+b2b（a+b）a2（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，
∴S330＝15．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．
36．（2024春 越城区期末）对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可得等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；如图2可得等式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，现用四个长与宽分别为a、b的小长方形拼成如图3所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）【探索发现】
观察图3，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系式 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ．
（2）【解决问题】
①若x+y＝5，，则x﹣y＝ ±4 ；
②当（x﹣75）（50﹣x）＝100时，求（2x﹣125）2的值．
（3）【拓展提升】
如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
【分析】（1）用两种方法分别用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系即可得出答案；
（2）①利用（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy代入计算即可；
②设a＝x﹣75，b＝50﹣x，由题意得a+b＝﹣25，a﹣b＝2x﹣125，ab＝（x﹣75）（50﹣x）＝100，根据（2x﹣125）2＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab代入计算即可；
③由S阴影部分＝a2+b2b（a+b）a2[（a+b）2﹣3ab]代入计算即可．
【解答】解：（1）图3中大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，中间阴影小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，4个空白长方形的面积和为4ab，
所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）①∵x+y＝5，，
∴（x﹣y）2
＝（x+y）2﹣4xy
＝25﹣9
＝16，
∴x﹣y＝±4，
故答案为：±4；
②设a＝x﹣75，b＝50﹣x，则a+b＝﹣25，a﹣b＝2x﹣125，ab＝（x﹣75）（50﹣x）＝100，
∴（2x﹣125）2
＝（a﹣b）2
＝（a+b）2﹣4ab
＝625﹣400
＝225；
③∵a+b＝10，ab＝20，
∴S阴影部分＝a2+b2b（a+b）a2
a2b2ab
[（a+b）2﹣3ab]
（100﹣60）
＝20．
【点评】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
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2025浙教版七年级下数学第三章整式的乘除——乘法公式培优
一．选择题（共12小题）
1．（2021秋 温岭市期末）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2024春 鹿城区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
3．（2024春 柯桥区期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
4．（2024秋 椒江区校级期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
5．（2024春 鹿城区校级期末）已知两块边长都为a（cm）的大正方形，两块边长都为b（cm）的小正方形和五块长、宽分别是a（cm），b（cm）的小长方形（a＞b），按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为78cm，四个正方形的面积之和为242cm2，则每块小长方形的面积为（ ）
A．11cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．36cm2
6．（2024春 嵊州市期末）一大一小的两个正方形如图放置，边长分别为a，b．若a+b＝5，ab＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2024春 上城区期末）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点，以AE，AF为边在正方形内部作面积为10的长方形AFGE，再分别以AE，EG为边作正方形AEPH和正方形GRQE．若图中阴影部分的面积为61，则长方形AFGE的周长为（ ）
A．9 B．16 C．18 D．81
8．（2024春 新昌县期中）有两个正方形A、B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为14与36，则正方形B的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2024春 永康市期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则①x﹣y＝n；②xy；③x2﹣y2＝mn；④x2+y2中，正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④
10．（2022春 江北区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2022的正整数中，所有“和谐数”之和等于（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
11．（2023春 拱墅区校级期中）设a＝x﹣2019，b＝x﹣2021，c＝x﹣2020，若a2+b2＝34，则c2的值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
12．（2023春 瑞安市校级期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：x（x﹣5）＝14的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为（x﹣5）的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形ABCD，得到大正方形的面积为：14×4+25＝81，边长AB＝9，可依据AB＝x+（x﹣5）＝9求得x＝7是方程x（x﹣5）＝14的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程x（x﹣m）＝n（n＞0）时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形EGIH的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
13．（2024秋 临海市期末）如图，标号为①，②，③，④的四个长方形以不重叠的方式围成长方形EFGH．已知①和②全等，③和④全等，且这四个长方形的面积都是6．设AM＝a，MD＝b，且a2﹣8ab+16b2＝0．则S长方形EFGH为 ．
14．（2021春 南浔区期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是 ．
15．（2021春 奉化区校级期末）如图，把三张边长相等的小正方形甲、乙、丙纸片按先后顺序放在一个大正方形ABCD内，丙纸片最后放在最上面．已知小正方形的边长为a，如果斜线阴影部分的面积之和为b，空白部分的面积和为4，那么的值为 ．
16．（2023春 萧山区月考）已知m＝2014﹣a，n＝2017﹣a，若mn＝9，则m2+n2＝ ，m+n＝ ．
17．（2023春 慈溪市校级期中）已知（2022﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，则（2022﹣a）（a﹣2023）的值为 ．
18．（2021春 奉化区校级期末）阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）＝ ．
三．解答题（共18小题）
19．（2023春 金东区期中）（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ ，
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ ，
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ ，
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算；
29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
20．（2024秋 鄱阳县校级期末）阅读解答：
（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝ ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝ ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ ；
（2）类推：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+ +abn﹣2+bn﹣1）＝ （其中n为正整数，且n≥2）；
（3）利用（2）的结论计算：
①221+220+219+ +23+22+2+1；
②716﹣715+714﹣713+712﹣711+ ﹣73+72﹣7．
21．（2023春 镇海区校级期中）如果一个非零整数a能被3整除，那么就称a是“3倍数”．
（1）蛟蛟说“252﹣212”是“3倍数”，川川说“122﹣6×12+92，也是“3倍数”，请判断谁的说法正确，并说明理由；
（2）如果一个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，千位数字与十位数字的和为9，请写出满足条件的所有“3倍数”，并说明理由．
22．（2024春 义乌市期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：
若a+b＝4，ab＝2，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝4，ab＝2，
∴（a+b）2＝16，2ab＝4．
即a2+b2+2ab＝16．
∴a2+b2＝12．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）a+b＝3，ab＝﹣2，则（a﹣b）2的值为 ；
（2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，AB＝9，两正方形面积的和为25，设AC＝a，BC＝CF＝b，求△AFC的面积；
23．（2024春 上城区校级期中）阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．
解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．
所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．
请仿照上例解决下面的问题：
（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）类比探究：若x满足（2022﹣x）2+（2021﹣x）2＝2020．求（2022﹣x）（2021﹣x）的值；
（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．
24．（2024春 慈溪市期中）（1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．
方法1： ．方法2： ．
（2）利用等量关系解决下面的问题：
①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值；
②已知，求的值．
25．（2023春 瓯海区期中）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy，则x﹣y＝ .（直接写出答案）
26．（2022春 秀洲区校级期中）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）；
方法1： ；方法2： ；从而可以验证我们学习过的一个乘法公式 ．
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
27．（2022春 萧山区期中）两个边长分别为a、b（a＞b）的正方形如图（1）放置，现在取BD的中点P，连接PA、PE，如图（2），把图形分割成三部分，分别标记①、②、③，对应的图形面积分别记为S①、S②、S③．
（1）用字母a、b分别表示S①、S②．
（2）若a﹣b＝2，ab＝15，求S①+S②．
（3）若S①+S②＝3，ab＝1，求S③．
28．（2022春 西湖区校级期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC BC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
29．（2020春 滨江区期末）已知正方形ABCD的边长为b，正方形EFGH的边长为a（b＞a）．
（1）如图1，点H与点A重合，点E在边AB上，点G在边AD上，请用两种不同方法求出阴影部分S1的面积（结果用a，b表示）．
（2）如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形ABCD的右下角又放了一个和正方形EFGH一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在BC和DC上，若题（1）中S1＝4，图2中S2＝1，求阴影部分S3的面积．
（3）如图3，若正方形EFGH的边GF和正方形ABCD的边CD在同一直线上，且两个正方形均在直线CD的同侧，若点D在线段GF上，满足DFGF，连接AH，HF，AF，当三角形AHF的面积为3时，求三角形EFC的面积，写出求解过程．
30．（2019春 衢州期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ ．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝ ．
31．（2021春 越城区校级期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）用两种方法求图②中阴影部分的正方形的面积．
（2）观察图②，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn；
（3）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，求a﹣b的值．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了 ．
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）＝m2+4mn+3n2．
32．（2023秋 玉环市校级月考）我们知道，多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性，如（a+b）2＝a2+2ab+b2就能利用图1的面积进行验证．
（1）写出图2中所表示的数学等式： ．
（2）请你写出图3所能验证的数学等式，并利用你所学的多项式的乘法写出验证过程．
（3）利用（2）得到的结论，解决下面的问题：若实数a，b，c满足a+2b+3c＝4，a2+4b2+9c2＝30，求4ab+6ac+12bc的值．
33．（2024春 萧山区期中）【阅读材料】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．比如：我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了图1的等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图3可得等式： ；
（2）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则可以拼成的正方形中边长最长为 ．
（3）利用图2得到的结论，解决问题：
若实数x、y、z满足2x×4y×8z＝4，x2+4y2+9z2＝44，求2xy+3xz+6yz的值．
34．（2024春 拱墅区校级月考）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】
（1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 ；
②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝ ；
【迁移应用】
（2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积．
35．（2020春 北仑区期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
36．（2024春 越城区期末）对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可得等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；如图2可得等式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，现用四个长与宽分别为a、b的小长方形拼成如图3所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）【探索发现】
观察图3，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系式 ．
（2）【解决问题】
①若x+y＝5，，则x﹣y＝ ；
②当（x﹣75）（50﹣x）＝100时，求（2x﹣125）2的值．
（3）【拓展提升】
如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
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