第3章 《整式的乘除》 3.4 乘法公式(2)——浙教版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．运用公式 计算 ， 则公式中的 对应的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，对比 ，2ab对应的项为.
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式展开后对比即可.
2．已知 ， 则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式恒等变形可得，进而整体代入计算可得答案.
3．（2024七下·鄞州期末）若a+b=10，a2+b2=84，则ab等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
即，
∴，
故答案为：B
【分析】 将a+b=10两边同时平方，然后根据完全平方公式的变形进行求解即可.
4． 下图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知：
故答案为：A.
【分析】根据题目中所给图片中的面积关系即可得到对应的式子.
5．（2024七下·西湖期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：①由图得，故①正确；
②由图得
，
，
，
故②正确；
③由图得
，
，
，
；
故③正确；
④由得，
，
，
，
，
；
故④正确；
故答案为：D．
【分析】根据边长关系判断①；根据判断 ② ；根据平方差公式判断③ ；根据完全平方公式的变形判断④解题．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024七下·高州月考）若n满足，则等于 ．
【答案】0
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】，
即，
，
，
，
故答案为：0．
【分析】利用完全平方公式的变形得到．所以，根据该变形公式可以化简已知等式为，由此易求所求代数式的值．
7．（2020七下·天府新期中）若 是一个完全平方式，则m的值是 ．
【答案】12或-12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据题意得，
或 ，
故答案为：12或-12．
【分析】根据完全平方式 的形式即可求出m的值．
8． 已知 ， 则 .
【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴.
∴
故答案为：4.
【分析】根据条件，结合完全平方公式，得出关于xy(xy视为一个整体)的方程，求解即可.
9．（2024七下·鄞州期中） 如图，有两个正方形A ，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A与B的面积之和为 ．
，
【答案】4.5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设A、B正方形的边长分别为a、b，则面积分别为，
由图甲得：，
由图乙得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】设A、B正方形的边长分别为a、b，则面积分别为，根据图中阴影部分的面积列式整理得到，，然后利用完全平方公式计算即可．
10．（2024七下·深圳期中） 用如图所示正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为a＋3b的正方形，需要B类卡片 张．
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵S正方形=（a+3b）2=a2+6ab+（3a）2=a2+6ab+9b2，
A=a2，B=ab，C=b2，
∴需要B类卡片6张.
【分析】由边长是（a+3b）的正方形可知，面积是a2+6ab+9b2。由一个B类长方形面积是ab，可知需要B类卡片6张.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024七下·乐平期中）（1）
（2）（用简便方法计算）
【答案】（1）解：
（2）解：1
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）原式=x2+6x+9-x2+3x-2
=9x+7；
（2）原式=5002-（500-1）（500+1）
=5002-5002+1
=1。
【分析】（1）首先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则进行整式的乘法运算，然后再合并同类项即可得出结果；
（2）根据平方差公式，进行简便运算即可得出结果。
12．计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：原式=
=
=
（2）解：原式=
=
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式，完全平方公式去括号，再合并同类项即可求出答案.
（2）根据完全平方公式，单项式乘单项式去括号，再合并同类项即可求出答案.
13．（2024七下·新化期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，
所以，即：，
又因为，
所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）填空：若，则 ．
（3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）解：，
，
即，
又，
，
；
（2）10
（3）解：设，，则，，
由可得，，而，
，
，
又，
，
，
图中阴影部分面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】(2)解：，
故答案为：10；
【分析】(1)直接根据公式变形：a2+b2=(a+b)2-2ab求解；
(2)根据完全平方公式变形：a2+b2=(a+b)2-2a求解；
(3) 设AC＝a，BC＝b，根据几何图形可得a+b=6，再根据两个正方形面积和为18，利用完全平方公式变形应用得到ab=9，再根据直角三角形面积公式得出答案．
14．（2024七下·成都期末）【知识回顾】
如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式： ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值；
（3）【深入探究】
若满足，求的值；
（4）【应用迁移】
如图，长方形中，，、是边上的点在左侧，以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，为常数，且，正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长．
【答案】（1）
（2）解：把两边平方得：，
展开得：，
将代入得：，
整理得：；
（3）解：设，，则有，，
把两边平方得：，即，
把代入得：，即，则；
（4）解：设，则，
正方形，矩形，
，
，
正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，即矩形面积为，
，即，
整理得：，
开方得：负值舍去，
，，，
则长方形周长为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)图2中的大正方形的面积为4ab+(a-b)2，大正方形的面积为(a+b)2，故=+4；
【分析】(1)用两种方式表示正方形的面积，即可得；
(2)根据(1)中成立的等量关系，代入数据即可得，即得；
(3)利用换元法和(1)的结论，代入数据即可得的值；
(4)设AD=x，得AB=2x，再分别求出AM和AE的长即得，求得AM和AF的长，即可得长方形AMGF的周长.
15．（2024七下·娄底月考）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用a、b的代数式表示出来）
图1表示： ；
图2表示： ；
（2）据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
若，，求xy和的值；
（3）如图3，点是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积.
【答案】（1）；根
（2）解：，
，
（3）解：由题意得，
，
，
∴阴影部分的面积，
即图中阴影部分的面积为32.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中，由图可知S大正方形=（a+b）2，
S组成大正方形的四部分的面积之和=a2+b2+2ab，
由题意得，S大正方形=S组成大正方形的四部分的面积之和，
即（a+b）2=a2+b2+2ab
图2中，由图可知S大正方形=（a+b）2，S小正方形=（a-b）2，
S四个长方形=4ab，
由题图可知，S大正方形=S小正方形+S四个长方形， 即（a+b）2=（a-b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；（a+b）2=（a-b）2+4ab.
【分析】(1)图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为（a+b）正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a、b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
（2）根据x+y=6，x2+y2=20，求出xy的值，然后根据完全平方公式的变形进行计算即可；
（3）AB=AC+BC，S1=AC2，S2=BC2，
S阴影=BC·CD=BC·AC，可以利用（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC·BC代入求值即可.
1 / 1第3章 《整式的乘除》 3.4 乘法公式(2)——浙教版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．运用公式 计算 ， 则公式中的 对应的是( )
A． B． C． D．
2．已知 ， 则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024七下·鄞州期末）若a+b=10，a2+b2=84，则ab等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4． 下图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是( )
A． B．
C． D．
5．（2024七下·西湖期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024七下·高州月考）若n满足，则等于 ．
7．（2020七下·天府新期中）若 是一个完全平方式，则m的值是 ．
8． 已知 ， 则 .
9．（2024七下·鄞州期中） 如图，有两个正方形A ，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A与B的面积之和为 ．
，
10．（2024七下·深圳期中） 用如图所示正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为a＋3b的正方形，需要B类卡片 张．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024七下·乐平期中）（1）
（2）（用简便方法计算）
12．计算：
（1） ；
（2） ．
13．（2024七下·新化期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，
所以，即：，
又因为，
所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）填空：若，则 ．
（3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
14．（2024七下·成都期末）【知识回顾】
如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式： ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值；
（3）【深入探究】
若满足，求的值；
（4）【应用迁移】
如图，长方形中，，、是边上的点在左侧，以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，为常数，且，正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长．
15．（2024七下·娄底月考）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用a、b的代数式表示出来）
图1表示： ；
图2表示： ；
（2）据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
若，，求xy和的值；
（3）如图3，点是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，对比 ，2ab对应的项为.
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式展开后对比即可.
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式恒等变形可得，进而整体代入计算可得答案.
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
即，
∴，
故答案为：B
【分析】 将a+b=10两边同时平方，然后根据完全平方公式的变形进行求解即可.
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知：
故答案为：A.
【分析】根据题目中所给图片中的面积关系即可得到对应的式子.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：①由图得，故①正确；
②由图得
，
，
，
故②正确；
③由图得
，
，
，
；
故③正确；
④由得，
，
，
，
，
；
故④正确；
故答案为：D．
【分析】根据边长关系判断①；根据判断 ② ；根据平方差公式判断③ ；根据完全平方公式的变形判断④解题．
6．【答案】0
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】，
即，
，
，
，
故答案为：0．
【分析】利用完全平方公式的变形得到．所以，根据该变形公式可以化简已知等式为，由此易求所求代数式的值．
7．【答案】12或-12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据题意得，
或 ，
故答案为：12或-12．
【分析】根据完全平方式 的形式即可求出m的值．
8．【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴.
∴
故答案为：4.
【分析】根据条件，结合完全平方公式，得出关于xy(xy视为一个整体)的方程，求解即可.
9．【答案】4.5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设A、B正方形的边长分别为a、b，则面积分别为，
由图甲得：，
由图乙得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】设A、B正方形的边长分别为a、b，则面积分别为，根据图中阴影部分的面积列式整理得到，，然后利用完全平方公式计算即可．
10．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵S正方形=（a+3b）2=a2+6ab+（3a）2=a2+6ab+9b2，
A=a2，B=ab，C=b2，
∴需要B类卡片6张.
【分析】由边长是（a+3b）的正方形可知，面积是a2+6ab+9b2。由一个B类长方形面积是ab，可知需要B类卡片6张.
11．【答案】（1）解：
（2）解：1
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）原式=x2+6x+9-x2+3x-2
=9x+7；
（2）原式=5002-（500-1）（500+1）
=5002-5002+1
=1。
【分析】（1）首先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则进行整式的乘法运算，然后再合并同类项即可得出结果；
（2）根据平方差公式，进行简便运算即可得出结果。
12．【答案】（1）解：原式=
=
=
（2）解：原式=
=
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式，完全平方公式去括号，再合并同类项即可求出答案.
（2）根据完全平方公式，单项式乘单项式去括号，再合并同类项即可求出答案.
13．【答案】（1）解：，
，
即，
又，
，
；
（2）10
（3）解：设，，则，，
由可得，，而，
，
，
又，
，
，
图中阴影部分面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】(2)解：，
故答案为：10；
【分析】(1)直接根据公式变形：a2+b2=(a+b)2-2ab求解；
(2)根据完全平方公式变形：a2+b2=(a+b)2-2a求解；
(3) 设AC＝a，BC＝b，根据几何图形可得a+b=6，再根据两个正方形面积和为18，利用完全平方公式变形应用得到ab=9，再根据直角三角形面积公式得出答案．
14．【答案】（1）
（2）解：把两边平方得：，
展开得：，
将代入得：，
整理得：；
（3）解：设，，则有，，
把两边平方得：，即，
把代入得：，即，则；
（4）解：设，则，
正方形，矩形，
，
，
正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，即矩形面积为，
，即，
整理得：，
开方得：负值舍去，
，，，
则长方形周长为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)图2中的大正方形的面积为4ab+(a-b)2，大正方形的面积为(a+b)2，故=+4；
【分析】(1)用两种方式表示正方形的面积，即可得；
(2)根据(1)中成立的等量关系，代入数据即可得，即得；
(3)利用换元法和(1)的结论，代入数据即可得的值；
(4)设AD=x，得AB=2x，再分别求出AM和AE的长即得，求得AM和AF的长，即可得长方形AMGF的周长.
15．【答案】（1）；根
（2）解：，
，
（3）解：由题意得，
，
，
∴阴影部分的面积，
即图中阴影部分的面积为32.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中，由图可知S大正方形=（a+b）2，
S组成大正方形的四部分的面积之和=a2+b2+2ab，
由题意得，S大正方形=S组成大正方形的四部分的面积之和，
即（a+b）2=a2+b2+2ab
图2中，由图可知S大正方形=（a+b）2，S小正方形=（a-b）2，
S四个长方形=4ab，
由题图可知，S大正方形=S小正方形+S四个长方形， 即（a+b）2=（a-b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；（a+b）2=（a-b）2+4ab.
【分析】(1)图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为（a+b）正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a、b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
（2）根据x+y=6，x2+y2=20，求出xy的值，然后根据完全平方公式的变形进行计算即可；
（3）AB=AC+BC，S1=AC2，S2=BC2，
S阴影=BC·CD=BC·AC，可以利用（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC·BC代入求值即可.
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