第1章 《相交线与平行线》——浙教版数学七年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021七下·南岸期末）如图， ，其中 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京市）如图，直线和相交于点O，，若，则的大小为( )
A． B． C． D．
3．（2024·宿迁）如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且∠1＝40°，则∠2等于（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
4．（2024·青海） 如图，一个弯曲管道，，则的度数是（ ）
A．120° B．30° C．60° D．150°
5．（2024·福建）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·邵阳月考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·安顺）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·襄阳）将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·深圳）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024七下·蓬江期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·南京）如图， ABCD的顶点A、C分别在直线l1，l2上，l1∥l2，若∠1=33°，∠B=65°，则∠2= ．
12．（2025七上·浦江期末）如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为 ．（填序号）．
13．下面是验证纸条两条边线a，b是否平行的不同折叠方式：
①小明：如图①，展开后测得∠1=∠2；
②小丽：如图②，测得∠1=∠2；
③小君：如图③，展开后测得∠1+∠2=180°；
④小晨：如图④，展开后测得∠2=∠4。
其中能判定两条边线a//b的是 (填序号)。
14．（2024七上·长春期末）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．
15．（2024七上·榆树期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ．
16．（2024七上·长春期末）如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论：
①；
②平分；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七上·温州期末）如图，直线与相交于点O，平分．
（1）当时，求的度数；
（2）若，，求的度数．
18．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，连结DE，DC，在线段DC上取一点F，连结EF，已知∠BDC+∠EFC=180°。
（1）试判断EF与AB之间的位置关系，并说明理由。
（2）若∠DEF=∠B，试判断∠AED与∠ACB之间的数量关系，并说明理由。
19．（2024七上·长春期末）已知：如图，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分，若，求的度数．
20．（2024七下·田阳月考） 如图， 点 在线段 的异侧， 点 分别是线段 ， 上的点， 已知 .
（1） 求证： ；
（2） 若 ，求证： ；
（3） 在（2）的条件下， 若 ，求 的度数.
21．（2024七上·朝阳期末）已知：如图，、是直线上两点，，平分，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．（2025八下·丰顺开学考）如图
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由．
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？
23．（2024七上·榆树期末）
（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度.
（2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明．
（3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式．
24．（2024八上·上海市期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中．
（1）填空：与的数量关系_______；理由是_______；
（2）直接写出与的数量关系_______；
（3）如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题：
①当时，画出图形，并求出的度数；
②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图：
，
，
，
互为对顶角；
，
故答案为：B.
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠3的度数，再利用对顶角相等，可求出∠2的度数.
2．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵OE⊥OC，
∴∠COE=90°，
∵∠AOC=58°，
∴∠EOB=180°-∠AOC-∠COE=180°-58°-90°=32°.
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义得∠COE=90°，从而根据平角的定义，由∠EOB=180°-∠AOC-∠COE代入计算即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，
∴∠DFN=∠1=40°，
∴∠2=180°-∠DFN=180°-40°=140°，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得∠DFN=∠1=40°，再根据平角的定义得∠2=180°-∠DFN.
4．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴+∠ABC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴=60°。
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补，进行计算，即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】角的运算；垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABF=60°，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∴∠1=180°-60°-90°=30°．
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠CDB=∠ABF=60°，结合平角及垂直定义即可求解.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质结合题意即可求解。
7．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线c∥a，
∵ ，
∴，
∴∠2=∠3，∠4=∠1=15°，
∴∠3=∠3+∠4-∠4=45°-15°=30°，
∴∠2=∠3=30°，
故答案为：C.
【分析】过等腰直角三角板的一个顶点作直线c∥a，得出，根据平行线的性质得出∠2=∠3，∠4=∠1=15°，然后根据角的和差求出∠3的度数，即可得出结论.
8．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：由题意得：AB//CD，∠ACE=45°.
∴∠1=∠ACD.
∵∠ACE=∠ACD+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°.
∵∠1=30°，
所以∠2=15°.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠1+∠2=45°.根据∠1的度数即可求出∠2的度数.
9．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，，，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质计算求解即可。
10．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，交于I，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①正确；②2正确，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
可见，的值未必为，未必为，只要和为即可，
∴③平分，④平分不一定正确．
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质及角平分线的定义和角的运算方法逐项分析判断即可.
11．【答案】32°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE∥l1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B=65°，
∵l1∥l2，DE∥l1，
∴l1∥l2∥DE，
∴∠ADE=∠1=33°，∠2=∠CDE=∠ADC-∠ADE=32°.
故答案为：32°.
【分析】过点D作DE∥l1，由平行四边形的对角相等得∠ADC=∠B=65°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得l1∥l2∥DE，进而由二直线平行，内错角相等可求出∠2的度数.
12．【答案】①②③
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，则结论③正确；
∴，则结论①正确；
如图，过点作，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，则结论②正确；
假设，
∵，
∴，
∴，
由①②可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，但根据已知条件不能得出，
∴假设不成立，即结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，
故答案为：①②③．
【分析】利用平行线的判定定理得到，判断③；然后利用平行线的性质判断①；过点作，则，利用平行线的性质得到，然后利用垂直定义得到，，判断②；假设，即有，然后利用平行线的性质得到，即可得到，判断④解题即可．
13．【答案】①②③
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠2，
∴a//b，则①符合题意；
②∵∠1=∠2，
∴a//b，则②符合题意；
③∵∠1+∠2=180°，
∴a//b，则③符合题意；
④∵∠4与∠2是两条边线a，b与AB所成的内错角，
∴不能判定a//b，则④不符合题意；
综上所述，其中能判定两条边线a//b的是①②③，
故答案为：①②③.
【分析】根据平行线判定定理逐项分析判断即可求解.
14．【答案】①②③
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，①正确；
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，②正确；
∵，
∴，
∴，③正确；
∵，
∴，④错误；
综上所述：正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，以及垂直定义等，根据角平分线的意义和平角的定义，可判断①；根据两直线平行，内错角相等，得出，和，结合角的和差，可判断②；根据平行线的性质，可判断③；根据角的和差计算，利用可判断④．
15．【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，①正确；
当时，
，
，
又，
，
，②正确；
当时，
，
，
与不平行，③错误；
当时，
则，
，④正确；
综上，正确的结论有：
故答案为：
【分析】根据平行线的性质（同旁内角）得到，进而根据∠BAC的度数即可判断①；根据题意得到，进而等量代换得到，再根据平行线的判定（同旁内角）即可判断②；根据题意得到∠ABD的度数，进而即可得到，从而根据平行线的判定即可判断③；先根据题意得到，再根据平行线的判定（同位角）即可判断④.
16．【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴平分；故②正确；
∵，，但不一定成立，
∴不一定成立，即③错误；
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；故④正确．
故答案为①②④．
【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，根据平行线的判定和性质，以及图形中角度之间的关系，逐项判断，即可得到答案．
17．【答案】（1）解：∵直线与相交于点O，∴，
∵平分，
∴，
∴。
（2）解：∵若，∴
∴，
∵平分，
∴，
∴，
设∠COE=∠BOE=α°，∠FOB=90°-α°，则∠DOF=4α°，
∴4α°+90°+α°=180°，解得α=18°
∠AOD=∠BOC=2×18°=36°，∠DOF=4×18°=72°，∠COE=18°，
∴∠AOC=360°-36°-72°-90°-18°=144°。
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）题根据角平分线定义求出∠BOC的度数，然后根据对顶角性质即可求解；
（2）题可以首先用未知数来表示∠COE的度数，然后逐步确定∠FOB和∠DOF的度数，因为∠DOC是180°，因此可以找到等量关系列方程求出∠COE=18°，最后即可求出答案。
（1）解：∵直线与相交于点O，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵若，
∴
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
解得.
∴．
18．【答案】（1）EF∥AB。
理由如下：因为∠BDC+∠EFC=180°，
∠DFE+∠EFC=180°，
所以∠BDC=∠DFE，
所以EF∥AB
（2）∠AED=∠ACB。
理由如下：因为 EF∥AB，
所以∠DEF=∠ADE。
又因为∠DEF=∠B，
所以∠ADE=∠B，
所以DE∥BC，
所以∠AED=∠ACB
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)由同角的补角相等，推出∠BDC=∠DFE， 然后根据平行线的判定即可得证；
（2）先证出∠ADE=∠B， 由平行线的判定定理推出DE∥BC， 然后由平行线的性质可得答案.
19．【答案】（1）解：．理由：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据，得到，证得，结合平行线的判定，即可证明结论；
（2）根据，得到，再由平分，求得，结合平行线的性质，得到，即可求解.
（1）解：．
理由：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】（1）证明：
，
（2）证明： ，
，
，
（3）解： ，
D
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由对顶角相等及等量代换得，再根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）根据对顶角相等及等量代换得，证得，再由平行线的性质得证结论；
（3）根据（2）的结论和已知条件，利用等量代换先解出，再根据平行线的性质即可求得．
21．【答案】（1）证明：，，
，
∴；
（2）解：，，，
平分，
，
∵，
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由邻补角的定义，得到，进而得到，再由同位角相等，两直线平行，即可证得结论；
（2）结合（1）由两直线平行同旁内角互补，求得，由角平分线求得，根据两直线平行内错角相等，即可求解．
（1）证明：，
，
，
∴；
（2）解：，，
，
平分，
，
∵，
．
22．【答案】（1）解：∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD．
又∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝ED，CF＝FD，
∴EF＝ED+DF＝BE+CF．
即：EF＝BE+CF．
（2）解：不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，
∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG，
∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝DE，DF＝CF，
∴EF＝ED﹣DF＝BE﹣CF．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD，再根据直线平行性质可得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，则∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，由等角对等边可得BE＝ED，CF＝FD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG，再根据直线平行性质可得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，则∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，由等角对等边可得BE＝DE，DF＝CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）；（2）见解析；（3）
（1）75
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
；
（3）
【知识点】角的运算；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
，
；
故答案为：75；（2）
（3），理由如下：
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（3）根据平行线的性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
24．【答案】（1），同角的余角相等
（2）
（3）①解：当时，如图1，作，
∴，
∴，，
∴，
∴的度数为；
②解：由题意知，分，，，四种情况求解；
当时，如图2，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，
∴；
当时，如图4，
∴，
∴；
当时，如图5，
∴，
∴；
综上所述，存在，的度数为或或或．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：由题意知，，
∴，
故答案为：，同角的余角相等；
（2）解：由题意知，，，
∴，
故答案为：；
【分析】本题考查平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．
（1）由题意知，，通过计算可得：，进而可得出同角的余角相等；
（2）由题意知，，，通过计算可得：，进而可求出答案；
（3）①当时，如图1，作，则，，，根据，代入数据可求出的度数 ；
②由题意知，分四种情况：，，，，利用平行线的性质，再利用角的运算可求出的度数，进而可求出答案.
（1）解：由题意知，，
∴，
故答案为：，同角的余角相等；
（2）解：由题意知，，，
∴，
故答案为：；
（3）①解：当时，如图1，作，
∴，
∴，，
∴，
∴的度数为；
②解：由题意知，分，，，四种情况求解；
当时，如图2，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，
∴；
当时，如图4，
∴，
∴；
当时，如图5，
∴，
∴；
综上所述，存在，的度数为或或或．
1 / 1第1章 《相交线与平行线》——浙教版数学七年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021七下·南岸期末）如图， ，其中 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图：
，
，
，
互为对顶角；
，
故答案为：B.
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠3的度数，再利用对顶角相等，可求出∠2的度数.
2．（2024·北京市）如图，直线和相交于点O，，若，则的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：∵OE⊥OC，
∴∠COE=90°，
∵∠AOC=58°，
∴∠EOB=180°-∠AOC-∠COE=180°-58°-90°=32°.
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义得∠COE=90°，从而根据平角的定义，由∠EOB=180°-∠AOC-∠COE代入计算即可得出答案.
3．（2024·宿迁）如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且∠1＝40°，则∠2等于（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，
∴∠DFN=∠1=40°，
∴∠2=180°-∠DFN=180°-40°=140°，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得∠DFN=∠1=40°，再根据平角的定义得∠2=180°-∠DFN.
4．（2024·青海） 如图，一个弯曲管道，，则的度数是（ ）
A．120° B．30° C．60° D．150°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴+∠ABC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴=60°。
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补，进行计算，即可得出答案.
5．（2024·福建）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABF=60°，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∴∠1=180°-60°-90°=30°．
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠CDB=∠ABF=60°，结合平角及垂直定义即可求解.
6．（2023九上·邵阳月考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质结合题意即可求解。
7．（2022·安顺）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线c∥a，
∵ ，
∴，
∴∠2=∠3，∠4=∠1=15°，
∴∠3=∠3+∠4-∠4=45°-15°=30°，
∴∠2=∠3=30°，
故答案为：C.
【分析】过等腰直角三角板的一个顶点作直线c∥a，得出，根据平行线的性质得出∠2=∠3，∠4=∠1=15°，然后根据角的和差求出∠3的度数，即可得出结论.
8．（2023·襄阳）将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：由题意得：AB//CD，∠ACE=45°.
∴∠1=∠ACD.
∵∠ACE=∠ACD+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°.
∵∠1=30°，
所以∠2=15°.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠1+∠2=45°.根据∠1的度数即可求出∠2的度数.
9．（2022·深圳）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，，，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质计算求解即可。
10．（2024七下·蓬江期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，交于I，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①正确；②2正确，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
可见，的值未必为，未必为，只要和为即可，
∴③平分，④平分不一定正确．
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质及角平分线的定义和角的运算方法逐项分析判断即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·南京）如图， ABCD的顶点A、C分别在直线l1，l2上，l1∥l2，若∠1=33°，∠B=65°，则∠2= ．
【答案】32°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE∥l1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B=65°，
∵l1∥l2，DE∥l1，
∴l1∥l2∥DE，
∴∠ADE=∠1=33°，∠2=∠CDE=∠ADC-∠ADE=32°.
故答案为：32°.
【分析】过点D作DE∥l1，由平行四边形的对角相等得∠ADC=∠B=65°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得l1∥l2∥DE，进而由二直线平行，内错角相等可求出∠2的度数.
12．（2025七上·浦江期末）如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为 ．（填序号）．
【答案】①②③
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，则结论③正确；
∴，则结论①正确；
如图，过点作，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，则结论②正确；
假设，
∵，
∴，
∴，
由①②可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，但根据已知条件不能得出，
∴假设不成立，即结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，
故答案为：①②③．
【分析】利用平行线的判定定理得到，判断③；然后利用平行线的性质判断①；过点作，则，利用平行线的性质得到，然后利用垂直定义得到，，判断②；假设，即有，然后利用平行线的性质得到，即可得到，判断④解题即可．
13．下面是验证纸条两条边线a，b是否平行的不同折叠方式：
①小明：如图①，展开后测得∠1=∠2；
②小丽：如图②，测得∠1=∠2；
③小君：如图③，展开后测得∠1+∠2=180°；
④小晨：如图④，展开后测得∠2=∠4。
其中能判定两条边线a//b的是 (填序号)。
【答案】①②③
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠2，
∴a//b，则①符合题意；
②∵∠1=∠2，
∴a//b，则②符合题意；
③∵∠1+∠2=180°，
∴a//b，则③符合题意；
④∵∠4与∠2是两条边线a，b与AB所成的内错角，
∴不能判定a//b，则④不符合题意；
综上所述，其中能判定两条边线a//b的是①②③，
故答案为：①②③.
【分析】根据平行线判定定理逐项分析判断即可求解.
14．（2024七上·长春期末）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．
【答案】①②③
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，①正确；
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，②正确；
∵，
∴，
∴，③正确；
∵，
∴，④错误；
综上所述：正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，以及垂直定义等，根据角平分线的意义和平角的定义，可判断①；根据两直线平行，内错角相等，得出，和，结合角的和差，可判断②；根据平行线的性质，可判断③；根据角的和差计算，利用可判断④．
15．（2024七上·榆树期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ．
【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，①正确；
当时，
，
，
又，
，
，②正确；
当时，
，
，
与不平行，③错误；
当时，
则，
，④正确；
综上，正确的结论有：
故答案为：
【分析】根据平行线的性质（同旁内角）得到，进而根据∠BAC的度数即可判断①；根据题意得到，进而等量代换得到，再根据平行线的判定（同旁内角）即可判断②；根据题意得到∠ABD的度数，进而即可得到，从而根据平行线的判定即可判断③；先根据题意得到，再根据平行线的判定（同位角）即可判断④.
16．（2024七上·长春期末）如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论：
①；
②平分；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴平分；故②正确；
∵，，但不一定成立，
∴不一定成立，即③错误；
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；故④正确．
故答案为①②④．
【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，根据平行线的判定和性质，以及图形中角度之间的关系，逐项判断，即可得到答案．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七上·温州期末）如图，直线与相交于点O，平分．
（1）当时，求的度数；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：∵直线与相交于点O，∴，
∵平分，
∴，
∴。
（2）解：∵若，∴
∴，
∵平分，
∴，
∴，
设∠COE=∠BOE=α°，∠FOB=90°-α°，则∠DOF=4α°，
∴4α°+90°+α°=180°，解得α=18°
∠AOD=∠BOC=2×18°=36°，∠DOF=4×18°=72°，∠COE=18°，
∴∠AOC=360°-36°-72°-90°-18°=144°。
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）题根据角平分线定义求出∠BOC的度数，然后根据对顶角性质即可求解；
（2）题可以首先用未知数来表示∠COE的度数，然后逐步确定∠FOB和∠DOF的度数，因为∠DOC是180°，因此可以找到等量关系列方程求出∠COE=18°，最后即可求出答案。
（1）解：∵直线与相交于点O，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵若，
∴
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
解得.
∴．
18．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，连结DE，DC，在线段DC上取一点F，连结EF，已知∠BDC+∠EFC=180°。
（1）试判断EF与AB之间的位置关系，并说明理由。
（2）若∠DEF=∠B，试判断∠AED与∠ACB之间的数量关系，并说明理由。
【答案】（1）EF∥AB。
理由如下：因为∠BDC+∠EFC=180°，
∠DFE+∠EFC=180°，
所以∠BDC=∠DFE，
所以EF∥AB
（2）∠AED=∠ACB。
理由如下：因为 EF∥AB，
所以∠DEF=∠ADE。
又因为∠DEF=∠B，
所以∠ADE=∠B，
所以DE∥BC，
所以∠AED=∠ACB
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)由同角的补角相等，推出∠BDC=∠DFE， 然后根据平行线的判定即可得证；
（2）先证出∠ADE=∠B， 由平行线的判定定理推出DE∥BC， 然后由平行线的性质可得答案.
19．（2024七上·长春期末）已知：如图，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分，若，求的度数．
【答案】（1）解：．理由：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据，得到，证得，结合平行线的判定，即可证明结论；
（2）根据，得到，再由平分，求得，结合平行线的性质，得到，即可求解.
（1）解：．
理由：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
20．（2024七下·田阳月考） 如图， 点 在线段 的异侧， 点 分别是线段 ， 上的点， 已知 .
（1） 求证： ；
（2） 若 ，求证： ；
（3） 在（2）的条件下， 若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明：
，
（2）证明： ，
，
，
（3）解： ，
D
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由对顶角相等及等量代换得，再根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）根据对顶角相等及等量代换得，证得，再由平行线的性质得证结论；
（3）根据（2）的结论和已知条件，利用等量代换先解出，再根据平行线的性质即可求得．
21．（2024七上·朝阳期末）已知：如图，、是直线上两点，，平分，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，，
，
∴；
（2）解：，，，
平分，
，
∵，
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由邻补角的定义，得到，进而得到，再由同位角相等，两直线平行，即可证得结论；
（2）结合（1）由两直线平行同旁内角互补，求得，由角平分线求得，根据两直线平行内错角相等，即可求解．
（1）证明：，
，
，
∴；
（2）解：，，
，
平分，
，
∵，
．
22．（2025八下·丰顺开学考）如图
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由．
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？
【答案】（1）解：∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD．
又∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝ED，CF＝FD，
∴EF＝ED+DF＝BE+CF．
即：EF＝BE+CF．
（2）解：不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，
∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG，
∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝DE，DF＝CF，
∴EF＝ED﹣DF＝BE﹣CF．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD，再根据直线平行性质可得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，则∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，由等角对等边可得BE＝ED，CF＝FD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG，再根据直线平行性质可得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，则∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，由等角对等边可得BE＝DE，DF＝CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．（2024七上·榆树期末）
（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度.
（2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明．
（3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
（1）75
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
；
（3）
【知识点】角的运算；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
，
；
故答案为：75；（2）
（3），理由如下：
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（3）根据平行线的性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
24．（2024八上·上海市期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中．
（1）填空：与的数量关系_______；理由是_______；
（2）直接写出与的数量关系_______；
（3）如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题：
①当时，画出图形，并求出的度数；
②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值并画出对应的图形．
【答案】（1），同角的余角相等
（2）
（3）①解：当时，如图1，作，
∴，
∴，，
∴，
∴的度数为；
②解：由题意知，分，，，四种情况求解；
当时，如图2，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，
∴；
当时，如图4，
∴，
∴；
当时，如图5，
∴，
∴；
综上所述，存在，的度数为或或或．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：由题意知，，
∴，
故答案为：，同角的余角相等；
（2）解：由题意知，，，
∴，
故答案为：；
【分析】本题考查平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．
（1）由题意知，，通过计算可得：，进而可得出同角的余角相等；
（2）由题意知，，，通过计算可得：，进而可求出答案；
（3）①当时，如图1，作，则，，，根据，代入数据可求出的度数 ；
②由题意知，分四种情况：，，，，利用平行线的性质，再利用角的运算可求出的度数，进而可求出答案.
（1）解：由题意知，，
∴，
故答案为：，同角的余角相等；
（2）解：由题意知，，，
∴，
故答案为：；
（3）①解：当时，如图1，作，
∴，
∴，，
∴，
∴的度数为；
②解：由题意知，分，，，四种情况求解；
当时，如图2，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，
∴；
当时，如图4，
∴，
∴；
当时，如图5，
∴，
∴；
综上所述，存在，的度数为或或或．
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