第2章 《二元一次方程组》——浙教版数学七年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019·巴中）已知关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
2．（2024八上·福田期中） 已知x+y=0， 且x， y满足二元一次方程组 则k的值为( )
A．- 9 B．9 C．0 D．1
3．（2024七上·长春期末）方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（ ）
A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4
4．（2020七下·思明月考）已知 是方程组 的解，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．5
5．（2024七下·新化期末）甲乙两人在解方程组时，有如下讨论：甲：我要消掉，所以；乙：我要消掉，所以则下列判断正确的是( )
A．甲乙方法都可行 B．甲乙方法都不可行
C．甲方法可行，乙方法不可行 D．甲方法不可行，乙方法可行
6．（2024七下·阳西期末）甲、乙两人同时求关于x，y的方程的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把看成了，求得一个解为，则a，b的值分别为（ ）
A．5，2 B．2，5 C．3，5 D．5，3
7．（2024七下·益阳期末）若关于，的方程组的解满足，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．9 D．4
8．（2024·宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
9．（2024·深圳）在明朝程大位 《算法统宗》中有首住店诗： 我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空. 诗的大意是： 一些客人到李三公的店中住宿， 如果每一间客房住 7 人， 那么有 7 人无房可住； 如果每一间客房住 9 人， 那么就空出一间房. 设该店有客房 间， 房客 人， 则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱.问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11． 若 是二元一次方程， 则 ，
12．（2023七下·北京市期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
13．（2024七下·杭州期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ．
14．（2023七下·龙口期中）如果两数x，y满足，那么 ．
15．（2024七下·江北期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为 .
16．（2024七下·赣县区期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似地，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七下·江门期中）解方程组：
（1）；
（2）．
18． 解下列方程组：
（1）
（2）
19．（2024七下·澄海期末）若关于x、y的二元一次方程组．
（1）当时，求的值；
（2）若方程组的解与满足条件，求的值．
20．（2024七下·丰城月考）已知关于的方程组和有相同的解，
（1）求这两个方程组的解；
（2）求的平方根．
21．（2024七下·衡阳期末）规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
（1）已知，请问哪个点是方程的“理想点”，哪个点不是方程的“理想点”并说明理由；
（2）已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根．
（3）已知是正整数，且是方程的“理想点”，求点的坐标．
22．（2024七下·宁江期末）某地区年进出口总额为亿元．年进出口总额比年有所增加，其中进口额增加了，出口额增加了．（注：进出口总额进口额出口额）．
（1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式完成下表中两个空白处：
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
x y
……
（2）已知年进出口总额比年增加了亿元，求年进口额和出口额分别是多少亿元？
23．七年级书法兴趣小组到文具店购买A，B两种型号的毛笔，文具店的销售方式是：
一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售； 超过20支时，超过部分每支的价格比零售价低 0.4元.
一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售； 超过15支时，超过部分每支的价格比零售价低0.6元.
这个小组共有 20名同学，若每人买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共需支付325元； 若每人买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共需支付309元. 这家文具店A，B型毛笔的零售价分别是多少
24．（2023七下·献县期末）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．
（2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：将 代入 得：
，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】根据题意可将二元一次方程组的解代入方程组可解出a,b的值，从而得到答案
2．【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：解方程组得
把，代入方程，
得．
故答案为：A．
【分析】本题考查解二元一次方程组．先解二元一次方程组，得出，代入第一个方程，可列出方程，解方程可求出k的值.
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由题意得：
把代入，得：，
∴得到；
∴被●和▲遮盖的两个数分别为5，1．
故选：A．
【分析】本题主要考查二元一次方程组解及其应用．先把代入，求得，再把和，代入，即可求得被●和▲遮盖的两个数，得到答案.
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将 代入 得： ，
解之得： ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】将 代入 ，化简即可求出a，b的值，然后计算 即可．
5．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：得：；消去了；
，得：；消去了；
故甲，乙的方法都可行；
故答案为：A．
【分析】要消掉哪个未知数，就让这个未知数系数的绝对值相等，据此进行判断即可．
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入ax-by=7，得a+b=7，
把代入，得a-2b=1，
∴，
解得，
故答案为：A
【分析】先根据二元一次方程的解代入即可得到方程组，进而解方程组即可求解。
7．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得，3x+3y=3m，
即3(x+y)=3m，
∴ x+y=m，
∵ x+y=2，
∴ m=2.
故答案为：A.
【分析】根据二元一次方程组的加减消元法，将两个式子求和，即可求得.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设用x个大箱，y个小箱装荔枝，由题意得：
4x+3y=32
故.
故x=2，y=8，2+8=10；
x=5，y=4，5+4=9；
x=8，y=0，x+y=8.
8<9<10，
故答案为：C.
【分析】根据题意：用x个大箱，y个小箱装荔枝，且每个箱都装满，可得4x+3y=32，计算出x，y的值，即可得到最大箱数；
9．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意， 每一间客房住 7 人， 那么有 7 人无房可住 故总人数为7x+7， 每一间客房住 9 人， 那么就空出一间房 ，故总人数为9(x-1)，而人数为y.则可列方程组.
故选：A.
【分析】根据题中的等量关系，用含有x的代数式表达总人数，即可列出方程.
10．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设人数为x，琎价为y钱，
由题意得
故答案为：B.
【分析】由“ 每人出钱，会多出4钱 ”可列方程；由“ 每人出钱，又差了3钱 ”可列方程为，联立两方程即可.
11．【答案】2；1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵3x2m-3-y2n-1=5是二元一次方程，
∴2m-3=1，2n-1=1，
解得：m=2，n=1.
【分析】由已知3x2m-3-y2n-1=5是二元一次方程，根据二元一次方程的定义可知2m-3=1，2n-1=1。分别解这两个一元一次方程，求出m、n的值即可.
12．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
（①+②）÷2得：x-y＝10+k
又∵x-y＝6
∴10+k＝6
解得：k＝-4
∴k的值为-4
故答案为：-4
【分析】利用（①+②）÷2，可得出x-y＝10+k，结合x-y＝6，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
13．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：由，得：
，
设，
由得：，
方程组的解是，
是方程组的解，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】由于关于，的二元一次方程组可以变形为，若把看作，把看作，则方程组变成，则此时方程组的解为，即．
14．【答案】2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，
②-①得x-y=2，
故答案为：2
【分析】根据加减消元法即可求解。
15．【答案】11
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
把原方程整理得：
∴
∴2xy=49-27
∴xy=11
∴一张小长方形的面积为11，故答案为11.
【分析】由图可知：大长方形的长为2y+x，宽为2x+y，根据大长方形的周长为42， 列出方程：2y+x+2x+y=21，再根据阴影部分的面积为大长方形的面积减去5个小长方形的面积，列出：（2y+x）（2x+y）-5xy=54，最后根据完全平方公式：求出xy的值即可.
16．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5
则根据图2可得：．
故填．
【分析】先明确算筹，根据例子和图（2）列出二元一次方程组．
17．【答案】（1）解：，得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：方程组整理得：得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（）根据二元一次方程的解法，结合加减消元法，求得方程组的解，即可得到答案；
（）根据题意，把原方程组整理，得到，再利用加减消元法，求得方程组的解，即可得到答案.
（1）解：，
得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为：；
（2）方程组整理得：
得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为：．
18．【答案】（1）解：
①+②得到3x-y+5y-1=5+3x+5，变形得到。
将代入①中，得到，解得
∴
（2）解：
①×12、②×6，得到方程组，
③+④×3，得到11x=11，即x=1；
将x=1代入④中，得到1-3y=-2，即y=1。
∴
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）题观察可以发现，当两式相加，即可同时消去x，只保留并且计算出y的值，然后将y的值代入任意方程中即可求出x的值；（2）题先将分式方程变为整式方程，然后消元进行计算即可。
19．【答案】（1）解：y=k时，原方程组可化为：
，即，
由①-②得：，
解得：．
（2）解：，
由①+②得：，
解得：．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)把y=k代入原方程组，构建关于x和k的二元一次方程组，然后用加减消元法进行求解即可；
(2)由题意可得方程组，用加消元法解方程组求得x、y的值，再把x、y的值后代入方程2x+y=3k-1即可求得k的值.
20．【答案】（1）解：联立得：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
∴方程组的解为；
（2）解：将代入得
，
解得：，
则，
∴的平方根是．
【知识点】开平方（求平方根）；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】（1）由题意联立解方程组即可求解；
（2）将（1）中的解分别代入方程ax+5y=4和5x+by=1可得关于a、b的方程组，解之可求出a、b的值，把a、b的值代入a-2b计算，然后根据平方根的定义即可求解.
21．【答案】（1）解：点是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”，理由如下：
，时，，
，时，，
，时，，
点是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”；
（2）解：把代入方程，
得，
又，
解得，
，为非负整数，
，，
，
；
（3）解：根据题意，得，
解得，
是整数，
或，
是整数，
或或或，
或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，点坐标为或或或．
【知识点】解二元一次方程组；判断是否为二元一次方程的解；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】（1）根据“理想点”的定义，将点A，B，C分别代入二元一次方程中，若为该方程的解则符合“理想点”，反之不符合；
（2）同理将代入方程，与构成二元方程组，将视作整体解方程组即可得出m.n的值；
（3）同理将点代入两方程中，构成含参数k的二元一次方程组，用含参数k表示该二元一次方程组的解，根据“理想点”的定义分析，即解x与y均为整数分类分析对应取值即可.
22．【答案】（1）解：设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，根据题意可得，
年进口额为亿元，
年出口额为亿元，
填表如下：
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
2022 x y
2023 ……
（2）解：设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，
根据题意可得：
解得：
∴（亿元），（亿元）
答：年进口额和出口额分别是亿元和亿元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，再利用“ 进口额增加了，出口额增加了 ”列出代数式即可；
（2）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，根据题意列出方程组 ，再求解即可.
（1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，根据题意可得，
年进口额为亿元，
年出口额为亿元，
填表如下：
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
2022 x y
2023 ……
（2）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，
解得：
∴（亿元），
（亿元）
答：年进口额和出口额分别是亿元和亿元．
23．【答案】解： 设这家文具店A型毛笔的零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元．
，
解得
∴ 这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题根据条件“ 每人买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共需支付325元 ”列出对应的方程20 x+ 15y + 25 ( y 0.6 ) = 325和“ 每人买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共需支付309元 ”列出对应的方程 20x + 20 (x 0.4 ) + 15y + 5 ( y 0.6 ) = 309，联立方程组求解即可。
24．【答案】（1）
（2）①；；
②24，27，30
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由图甲可得：
，
解得：；
故答案为：60，40；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m=2m，
裁法二产生A型板材为：1×n=n，
所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×m=m，
裁法二产生B型板材为，2×n=2n，
所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；
故答案为：2m+n；m+2n；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴，化简得m=4n．
∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵30≤m≤40，
∴m可取32，36，40，
此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
故答案为： 24或27或30．
【分析】（1）由图中的信息，根据裁法一和裁法二中板材的长列关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可．
1 / 1第2章 《二元一次方程组》——浙教版数学七年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019·巴中）已知关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：将 代入 得：
，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】根据题意可将二元一次方程组的解代入方程组可解出a,b的值，从而得到答案
2．（2024八上·福田期中） 已知x+y=0， 且x， y满足二元一次方程组 则k的值为( )
A．- 9 B．9 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：解方程组得
把，代入方程，
得．
故答案为：A．
【分析】本题考查解二元一次方程组．先解二元一次方程组，得出，代入第一个方程，可列出方程，解方程可求出k的值.
3．（2024七上·长春期末）方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（ ）
A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由题意得：
把代入，得：，
∴得到；
∴被●和▲遮盖的两个数分别为5，1．
故选：A．
【分析】本题主要考查二元一次方程组解及其应用．先把代入，求得，再把和，代入，即可求得被●和▲遮盖的两个数，得到答案.
4．（2020七下·思明月考）已知 是方程组 的解，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将 代入 得： ，
解之得： ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】将 代入 ，化简即可求出a，b的值，然后计算 即可．
5．（2024七下·新化期末）甲乙两人在解方程组时，有如下讨论：甲：我要消掉，所以；乙：我要消掉，所以则下列判断正确的是( )
A．甲乙方法都可行 B．甲乙方法都不可行
C．甲方法可行，乙方法不可行 D．甲方法不可行，乙方法可行
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：得：；消去了；
，得：；消去了；
故甲，乙的方法都可行；
故答案为：A．
【分析】要消掉哪个未知数，就让这个未知数系数的绝对值相等，据此进行判断即可．
6．（2024七下·阳西期末）甲、乙两人同时求关于x，y的方程的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把看成了，求得一个解为，则a，b的值分别为（ ）
A．5，2 B．2，5 C．3，5 D．5，3
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入ax-by=7，得a+b=7，
把代入，得a-2b=1，
∴，
解得，
故答案为：A
【分析】先根据二元一次方程的解代入即可得到方程组，进而解方程组即可求解。
7．（2024七下·益阳期末）若关于，的方程组的解满足，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．9 D．4
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得，3x+3y=3m，
即3(x+y)=3m，
∴ x+y=m，
∵ x+y=2，
∴ m=2.
故答案为：A.
【分析】根据二元一次方程组的加减消元法，将两个式子求和，即可求得.
8．（2024·宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设用x个大箱，y个小箱装荔枝，由题意得：
4x+3y=32
故.
故x=2，y=8，2+8=10；
x=5，y=4，5+4=9；
x=8，y=0，x+y=8.
8<9<10，
故答案为：C.
【分析】根据题意：用x个大箱，y个小箱装荔枝，且每个箱都装满，可得4x+3y=32，计算出x，y的值，即可得到最大箱数；
9．（2024·深圳）在明朝程大位 《算法统宗》中有首住店诗： 我问开店李三公， 众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空. 诗的大意是： 一些客人到李三公的店中住宿， 如果每一间客房住 7 人， 那么有 7 人无房可住； 如果每一间客房住 9 人， 那么就空出一间房. 设该店有客房 间， 房客 人， 则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意， 每一间客房住 7 人， 那么有 7 人无房可住 故总人数为7x+7， 每一间客房住 9 人， 那么就空出一间房 ，故总人数为9(x-1)，而人数为y.则可列方程组.
故选：A.
【分析】根据题中的等量关系，用含有x的代数式表达总人数，即可列出方程.
10．（2024·成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱.问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设人数为x，琎价为y钱，
由题意得
故答案为：B.
【分析】由“ 每人出钱，会多出4钱 ”可列方程；由“ 每人出钱，又差了3钱 ”可列方程为，联立两方程即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11． 若 是二元一次方程， 则 ，
【答案】2；1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵3x2m-3-y2n-1=5是二元一次方程，
∴2m-3=1，2n-1=1，
解得：m=2，n=1.
【分析】由已知3x2m-3-y2n-1=5是二元一次方程，根据二元一次方程的定义可知2m-3=1，2n-1=1。分别解这两个一元一次方程，求出m、n的值即可.
12．（2023七下·北京市期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
（①+②）÷2得：x-y＝10+k
又∵x-y＝6
∴10+k＝6
解得：k＝-4
∴k的值为-4
故答案为：-4
【分析】利用（①+②）÷2，可得出x-y＝10+k，结合x-y＝6，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
13．（2024七下·杭州期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：由，得：
，
设，
由得：，
方程组的解是，
是方程组的解，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】由于关于，的二元一次方程组可以变形为，若把看作，把看作，则方程组变成，则此时方程组的解为，即．
14．（2023七下·龙口期中）如果两数x，y满足，那么 ．
【答案】2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，
②-①得x-y=2，
故答案为：2
【分析】根据加减消元法即可求解。
15．（2024七下·江北期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为 .
【答案】11
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
把原方程整理得：
∴
∴2xy=49-27
∴xy=11
∴一张小长方形的面积为11，故答案为11.
【分析】由图可知：大长方形的长为2y+x，宽为2x+y，根据大长方形的周长为42， 列出方程：2y+x+2x+y=21，再根据阴影部分的面积为大长方形的面积减去5个小长方形的面积，列出：（2y+x）（2x+y）-5xy=54，最后根据完全平方公式：求出xy的值即可.
16．（2024七下·赣县区期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似地，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ．
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5
则根据图2可得：．
故填．
【分析】先明确算筹，根据例子和图（2）列出二元一次方程组．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七下·江门期中）解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：方程组整理得：得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（）根据二元一次方程的解法，结合加减消元法，求得方程组的解，即可得到答案；
（）根据题意，把原方程组整理，得到，再利用加减消元法，求得方程组的解，即可得到答案.
（1）解：，
得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为：；
（2）方程组整理得：
得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为：．
18． 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①+②得到3x-y+5y-1=5+3x+5，变形得到。
将代入①中，得到，解得
∴
（2）解：
①×12、②×6，得到方程组，
③+④×3，得到11x=11，即x=1；
将x=1代入④中，得到1-3y=-2，即y=1。
∴
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）题观察可以发现，当两式相加，即可同时消去x，只保留并且计算出y的值，然后将y的值代入任意方程中即可求出x的值；（2）题先将分式方程变为整式方程，然后消元进行计算即可。
19．（2024七下·澄海期末）若关于x、y的二元一次方程组．
（1）当时，求的值；
（2）若方程组的解与满足条件，求的值．
【答案】（1）解：y=k时，原方程组可化为：
，即，
由①-②得：，
解得：．
（2）解：，
由①+②得：，
解得：．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)把y=k代入原方程组，构建关于x和k的二元一次方程组，然后用加减消元法进行求解即可；
(2)由题意可得方程组，用加消元法解方程组求得x、y的值，再把x、y的值后代入方程2x+y=3k-1即可求得k的值.
20．（2024七下·丰城月考）已知关于的方程组和有相同的解，
（1）求这两个方程组的解；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：联立得：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
∴方程组的解为；
（2）解：将代入得
，
解得：，
则，
∴的平方根是．
【知识点】开平方（求平方根）；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】（1）由题意联立解方程组即可求解；
（2）将（1）中的解分别代入方程ax+5y=4和5x+by=1可得关于a、b的方程组，解之可求出a、b的值，把a、b的值代入a-2b计算，然后根据平方根的定义即可求解.
21．（2024七下·衡阳期末）规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
（1）已知，请问哪个点是方程的“理想点”，哪个点不是方程的“理想点”并说明理由；
（2）已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根．
（3）已知是正整数，且是方程的“理想点”，求点的坐标．
【答案】（1）解：点是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”，理由如下：
，时，，
，时，，
，时，，
点是方程的“理想点”，点，点不是方程的“理想点”；
（2）解：把代入方程，
得，
又，
解得，
，为非负整数，
，，
，
；
（3）解：根据题意，得，
解得，
是整数，
或，
是整数，
或或或，
或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，点坐标为或或或．
【知识点】解二元一次方程组；判断是否为二元一次方程的解；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】（1）根据“理想点”的定义，将点A，B，C分别代入二元一次方程中，若为该方程的解则符合“理想点”，反之不符合；
（2）同理将代入方程，与构成二元方程组，将视作整体解方程组即可得出m.n的值；
（3）同理将点代入两方程中，构成含参数k的二元一次方程组，用含参数k表示该二元一次方程组的解，根据“理想点”的定义分析，即解x与y均为整数分类分析对应取值即可.
22．（2024七下·宁江期末）某地区年进出口总额为亿元．年进出口总额比年有所增加，其中进口额增加了，出口额增加了．（注：进出口总额进口额出口额）．
（1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式完成下表中两个空白处：
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
x y
……
（2）已知年进出口总额比年增加了亿元，求年进口额和出口额分别是多少亿元？
【答案】（1）解：设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，根据题意可得，
年进口额为亿元，
年出口额为亿元，
填表如下：
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
2022 x y
2023 ……
（2）解：设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，
根据题意可得：
解得：
∴（亿元），（亿元）
答：年进口额和出口额分别是亿元和亿元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，再利用“ 进口额增加了，出口额增加了 ”列出代数式即可；
（2）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，根据题意列出方程组 ，再求解即可.
（1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，根据题意可得，
年进口额为亿元，
年出口额为亿元，
填表如下：
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
2022 x y
2023 ……
（2）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，
解得：
∴（亿元），
（亿元）
答：年进口额和出口额分别是亿元和亿元．
23．七年级书法兴趣小组到文具店购买A，B两种型号的毛笔，文具店的销售方式是：
一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售； 超过20支时，超过部分每支的价格比零售价低 0.4元.
一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售； 超过15支时，超过部分每支的价格比零售价低0.6元.
这个小组共有 20名同学，若每人买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共需支付325元； 若每人买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共需支付309元. 这家文具店A，B型毛笔的零售价分别是多少
【答案】解： 设这家文具店A型毛笔的零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元．
，
解得
∴ 这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题根据条件“ 每人买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共需支付325元 ”列出对应的方程20 x+ 15y + 25 ( y 0.6 ) = 325和“ 每人买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共需支付309元 ”列出对应的方程 20x + 20 (x 0.4 ) + 15y + 5 ( y 0.6 ) = 309，联立方程组求解即可。
24．（2023七下·献县期末）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．
（2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
【答案】（1）
（2）①；；
②24，27，30
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由图甲可得：
，
解得：；
故答案为：60，40；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m=2m，
裁法二产生A型板材为：1×n=n，
所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×m=m，
裁法二产生B型板材为，2×n=2n，
所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；
故答案为：2m+n；m+2n；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴，化简得m=4n．
∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵30≤m≤40，
∴m可取32，36，40，
此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
故答案为： 24或27或30．
【分析】（1）由图中的信息，根据裁法一和裁法二中板材的长列关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可．
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