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2.4 二元一次方程组的应用 同步分层作业
1.某次数学竞赛共有25道题,规定:每答对一道题得+5分,每答错一道题得﹣2分,不答的题得0分.已知圆圆这次竞赛得了60分,设圆圆答对了x道题,答错了y道题,则( )
A.x﹣y=20 B.x+y=20 C.5x﹣2y=60 D.5x+2y=60
2.我国古典数学文献《增删算法统宗 六均输》中有一个“隔沟计算”的问题:“甲乙隔沟牧放,二人暗里参详,甲云得乙九只羊,多乙一倍之上,乙说得甲九只,两家之数相当,二人闲坐恼心肠,画地算了半晌”其大意为:甲、乙两人一起放牧,两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊,那么甲的羊数为乙的2倍;如果甲给乙9只羊,那么两人的羊数相同,请问甲,乙各有多少只羊?设甲有羊x只,乙有羊y只,根据题意列方程组正确的为( )
A. B. C. D.
3.如图,8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形,设每块小长方形地砖的长为x cm,宽为y cm,下列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
4.用一根绳子环绕一棵大树,若环绕大树3周,则绳子还多4尺;若环绕大树4周,则绳子又少了3尺.这根绳子有多长?环绕大树一周需要多少尺?设这根绳子有x尺,环绕大树一周需要y尺,根据题意列方程组为( )
A. B. C. D.
5.某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共18t,实际生产了20t,其中水稻超产15%,小麦超产10%,问:该专业户去年计划生产水稻、小麦各多少吨?设该专业户去年计划生产水稻x吨,小麦y吨,则下列方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
6.明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题:“隔墙听得客分银,不知人数不知银,七两分之为四两,九两分之为半斤.”其大意为:有一群人分银子,如果每人分七两,则剩余四两,如果每人分九两,则还差半斤(注:明代时1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语).这个问题中共有( )两银子.
A.45 B.46 C.64 D.26
7.李老师逛超市时看中一套碗,她将碗叠成一列(如图),测量后发现:用2只碗叠放时总高度为7.5cm,用4只碗叠放时总高度为11.5cm.若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜,则这个消毒柜的高度至少有( )
A.15.5cm B.19.5cm C.23cm D.30cm
8.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案,故又称“龟背图”,中国古代数学史上经常研究这一神话.数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格,其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等,也称为三阶幻方,如图是一个三阶幻方,则2x+y的值为( )
A.﹣5 B.﹣4 C.4 D.5
9.某单车安装公司需要安装一批共享单车,由于抽调不出足够熟练的工人,准备招聘一批新工人.已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车;4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多.求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车?
10.某面粉加工厂要加工一批小麦,2台大面粉机和5台小面粉机同时工作1h可加工小麦32吨;3台大面粉机和2台小面粉机同时工作1h可加工小麦26吨.求1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少吨?
11.“国美”、“苏宁”两家电器商场出售同样的空气净化器和过滤网,空气净化器和过滤网在两家商场的售价一样.已知买1个空气净化器和2个过滤网要花费2440元,买2个空气净化器和3个过滤网要花费4760元.
(1)求1个空气净化器与1个过滤网的销售价格分别是多少元?
(2)为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动,“国美”规定:这两种商品都打九五折;“苏宁”规定:买1个空气净化器赠送2个过滤网.若某单位想要买10个空气净化器和30个过滤网,如果只能在一家商场购买,请问选择哪家商场购买更合算,请说明理由.
12.为提高青少年体质,某区组织各校篮球队进行了联赛,比赛部分积分情况如下:
球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分
A 10 6 4 16
B 10 3 7 13
C 10 0 10 10
… … … … …
根据表格数据,胜一场积 分;某球队参加10场比赛,积分为18分,则胜场数为 .
13.你看过《一千零一夜》吗?有个故事中有一个绝妙的谜语:有一群鸽子,飞过一棵高高的树,一部分鸽子落在树上,其他的停在树下,一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说:“倘若你们当中有一只飞上来,你们的数目就是我们总数的;倘若我们中飞下去一只,我们的数目恰好和你们相同啦!”根据这段描述,请你算一算,有多少只鸽子在树上?多少只鸽子在树下?
14.根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物.
大马说:“把我驮的东西给你1包多好哇!这样咱俩驮的包数就一样多了.”
小马说:“我还想给你1包呢!”
大马说:“那可不行!如果你给我1包,我驮的包数就是你的2倍了.”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题.设未知数x,y,已经列出一个方程x﹣1=y+1,则另一个方程应是( )
A.x+1=2y B.x+1=2(y﹣1) C.x﹣1=2(y﹣1) D.y=1﹣2x
15.学校计划用200元钱购买A、B两种奖品(两种都要买),A种每个15元,B种每个25元,在钱全部用完的情况下,有多少种购买方案( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
16.用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面,做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板,问两种纸盒各做多少个,恰好将库存的纸板用完?设做竖式纸盒x个,横式纸盒y个,恰好将库存的纸板用完,则可列方程是( )
A. B. C. D.
17.某人要在规定时间内驾车从甲地赶往乙地,如果他以50km/h的速度行驶,那么就会迟到24min;如果他以75km/h的速度行驶,那么可提前24min到达乙地,求甲、乙两地之间的距离,设甲、乙两地之间的距离为s km,从甲地到乙地的规定时间为t h,则可列方程组( )
A. B. C. D.
18.利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图1方式放置,再交换两木块的位置,按图2方式放置.测量的数据如图所示,则桌子的高度是 75 cm.
19.某学校去商场购买办公用品,买50件A商品和30件B商品用了920元,买60件A商品和10件B商品用了1000元.问:购买一件A商品和一件B商品需要 20 元.
20.已知M,N两点在数轴上所表示的数分别为m,n,且m,n满足|m﹣10|+(n+2)2=0.
(1)填空:m= ,n= ;
(2)①问题探究:将一根木棒AB如图所示放置在数轴上.将木棒沿数轴左右水平移动,当点A移动到点B时,点B所对应的数为m;当点B移动到点A时,点A所对应的数为n,由此可得这根木棒的长为 个单位长度;
②方法迁移:一天,小明去问爷爷的年龄,爷爷说:“我若是你现在这么大,你还要34年才出生;你若是我现在这么大时,我就116岁啦!”求爷爷的年龄;
(3)在(2)①的条件下,现将木棒AB从某点处切断,切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动,同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动,是否存在某一时刻,M和N刚好是两段木棒的中点?若存在,求出木棒切断处所表示的数;若不存在,请说明理由.
21.一道来自课本的习题:
从王老师家到学校全程3.3km,其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路,王老师每天步行上下班.如果上坡路的平均速度为3km/h,平路的平均速度为4km/h,下坡路的平均速度为5km/h,那么王老师从家到学校需51分钟,从学校到家需53.4分钟.求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程.
小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题,设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km,列出了以下四个方程,则正确的是( )
A.=53.4 B.=51
C. D.
22.一张方桌由一个桌面和4条桌腿组成,已知1立方米木料有三种切割方式,甲切割方式:可切成50个桌面;乙切割方式:可切成300条桌腿:丙切割方式:可切成20个桌面和180条桌腿.现有m个立方米木料,恰好做成若干张桌子(三种切割方案都有,且没有余料),当整数m取最小值时,可做成方桌
张.
23.一生态牧场上的草每天均匀生长.这片草可供16头牛吃60天,或者供18头牛吃50天.如果将这片草全部割下制成干草以备冬天的草料,但制成干草后使用要比直接使用青草损失的营养.那么,由这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃 天.
24.某班元旦迎新年活动,购买活动奖品,计划购买笔记本20本,盲盒30个,共需1380元,其中盲盒比笔记本贵6元.
(1)求盲盒和笔记本的单价各为多少?
(2)后来调整方案,需要购买上面的两种奖品共70件(奖品单价不变).班长做完预算后,对家委主任说:“我这次买这两种奖品需要费用1922元.”家委主任算了一下,说:“如果你用这些钱买这两种奖品,那么费用肯定算错了.”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了.
(3)班长突然想起,所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔.如果记号笔的单价不超过10元,且金额数为整数,请通过计算,直接写出记号笔的单价可能为 元.
25.根据如表素材,探索完成任务.
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”,某班级开展知识竞赛活动,去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品.
素材1 若买10杯A款奶茶,5杯B款奶茶,共需160元;若买15杯A型奶茶,10杯B型奶茶,共需270元.
素材2 为了满足市场的需求,奶茶店推出每杯2元的加料服务,顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料.
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元?
任务2 在不加料的情况下,购买A、B两种款式的奶茶(两种都要),刚好花220元,请问有几种购买方案?
任务3 根据素材2,小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶,其中A款不加料的杯数是总杯数的.则其中B型加料的奶茶买了多少杯?
26.一只小船从A港口顺水航行到B港口需8小时,而从B港口逆水返回到A港口需12小时.某日,该小船在早晨8点出发,由A港口顺水航行到B港口时,发现船上一个救生圈在途中掉入水中,于是立即返回寻找救生圈,4小时后找到救生圈.
(1)若A港口到B港口的航程为240千米,求水流速度是每小时多少千米?
(2)若救生圈从A港口漂流到B港口,需要多长时间?
(3)救生圈于何时掉入水中?
答案与解析
1.某次数学竞赛共有25道题,规定:每答对一道题得+5分,每答错一道题得﹣2分,不答的题得0分.已知圆圆这次竞赛得了60分,设圆圆答对了x道题,答错了y道题,则( )
A.x﹣y=20 B.x+y=20 C.5x﹣2y=60 D.5x+2y=60
【点拨】根据规定:每答对一道题得+5分,每答错一道题得﹣2分,不答的题得0分.圆圆这次竞赛得了60分,即可列出相应的方程,从而可以解答本题.
【解析】解:设圆答对了x道题,答错了y道题,
由每答对一道题得+5分,可知答对题目得分为5x,
由每答错一道题得﹣2分,不答的题得0分,可知扣分为2y分,
圆圆这次竞赛得了60分,可以得到5x﹣2y=60,
故选:C.
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程,解答本题的关键是找出题目中的等量关系,列出相应的方程.
2.我国古典数学文献《增删算法统宗 六均输》中有一个“隔沟计算”的问题:“甲乙隔沟牧放,二人暗里参详,甲云得乙九只羊,多乙一倍之上,乙说得甲九只,两家之数相当,二人闲坐恼心肠,画地算了半晌”其大意为:甲、乙两人一起放牧,两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊,那么甲的羊数为乙的2倍;如果甲给乙9只羊,那么两人的羊数相同,请问甲,乙各有多少只羊?设甲有羊x只,乙有羊y只,根据题意列方程组正确的为( )
A. B. C. D.
【点拨】根据“如果乙给甲9只羊,那么甲的羊数为乙的2倍;如果甲给乙9只羊,那么两人的羊数相同”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.
【解析】解:∵如果乙给甲9只羊,那么甲的羊数为乙的2倍,
∴x+9=2(y﹣9);
∵如果甲给乙9只羊,那么两人的羊数相同,
∴x﹣9=y+9.
∴根据题意可列方程组.
故选:D.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
3.如图,8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形,设每块小长方形地砖的长为x cm,宽为y cm,下列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
【点拨】首先设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为ycm,由图示可得等量关系:①2个长=1个长+3个宽,②一个长+一个宽=80cm,根据等量关系列出方程组,再解即可.
【解析】解:设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为ycm,
由题意得:,
故选:C.
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程组.
4.用一根绳子环绕一棵大树,若环绕大树3周,则绳子还多4尺;若环绕大树4周,则绳子又少了3尺.这根绳子有多长?环绕大树一周需要多少尺?设这根绳子有x尺,环绕大树一周需要y尺,根据题意列方程组为( )
A. B. C. D.
【点拨】设这根绳子x尺,绕大树一周需要y尺.等量关系:①环绕大树3周,则绳子还多4尺;②环绕大树4周,则绳子少了3尺.根据等量关系列方程求解即可.
【解析】解:根据题意,得
.
故选:C.
【点睛】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组,正确找到等量关系是解决应用题的关键.
5.某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共18t,实际生产了20t,其中水稻超产15%,小麦超产10%,问:该专业户去年计划生产水稻、小麦各多少吨?设该专业户去年计划生产水稻x吨,小麦y吨,则下列方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
【点拨】设该专业户去年计划生产水稻x吨,小麦y吨,根据去年计划生产水稻和小麦共18t,实际生产了20t,列方程组即可.
【解析】解:由题意得,.
故选:A.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列出方程组.
6.明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题:“隔墙听得客分银,不知人数不知银,七两分之为四两,九两分之为半斤.”其大意为:有一群人分银子,如果每人分七两,则剩余四两,如果每人分九两,则还差半斤(注:明代时1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语).这个问题中共有( )两银子.
A.45 B.46 C.64 D.26
【点拨】设共有x人分y两银子,根据“如果每人分七两,则剩余四两,如果每人分九两,则还差半斤”,可列出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论.
【解析】解:设共有x人分y两银子,
根据题意得:,
解得:,
∴共有46两银子.
故选:B.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
7.李老师逛超市时看中一套碗,她将碗叠成一列(如图),测量后发现:用2只碗叠放时总高度为7.5cm,用4只碗叠放时总高度为11.5cm.若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜,则这个消毒柜的高度至少有( )
A.15.5cm B.19.5cm C.23cm D.30cm
【点拨】设一个碗的高度为x cm,增加一个碗高度增加y cm,根据用2只碗叠放时总高度为7.5cm,用4只碗叠放时总高度为11.5cm.列出二元一次方程组,解方程组,即可解决问题.
【解析】解:设一个碗的高度为x cm,增加一个碗高度增加y cm,
由题意得:,
解得:,
∴8个碗叠成一列高度为x+7y=5.5+7×2=19.5(cm),
即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜,则这个消毒柜的高度至少有19.5cm,
故选:B.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
8.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案,故又称“龟背图”,中国古代数学史上经常研究这一神话.数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格,其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等,也称为三阶幻方,如图是一个三阶幻方,则2x+y的值为( )
A.﹣5 B.﹣4 C.4 D.5
【点拨】根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等,列出二元一次方程组,解方程组即可.
【解析】解:由题意得:,
解得:,
∴2x+y=2×(﹣3)+2=﹣4,
故选:B.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
9.某单车安装公司需要安装一批共享单车,由于抽调不出足够熟练的工人,准备招聘一批新工人.已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车;4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多.求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车?
【点拨】设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车,每名新工人每天可以安装y辆共享单车,根据题意列方程组即可.
【解析】解:设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车,每名新工人每天可以安装y辆共享单车,根据题意,得:
,
解得,
答:每名熟练工人和新工人每天分别可以安装10辆和8辆共享单车.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用,解答本题的关键是找准等量关系,列出二元一次方程组.
10.某面粉加工厂要加工一批小麦,2台大面粉机和5台小面粉机同时工作1h可加工小麦32吨;3台大面粉机和2台小面粉机同时工作1h可加工小麦26吨.求1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少吨?
【点拨】设1台大面粉机每小时加工小麦x吨,1台小面粉机每小时加工小麦y吨,根据题意列出方程组即可求解.
【解析】解:设1台大面粉机每小时加工小麦x吨,1台小面粉机每小时加工小麦y吨,
∵2台大面粉机和5台小面粉机同时工作1h可加工小麦32吨;3台大面粉机和2台小面粉机同时工作1h可加工小麦26吨,
∴,
解得:,
答:1台大面粉机每小时加工小麦6吨,1台小面粉机每小时加工小麦4吨.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键.
11.“国美”、“苏宁”两家电器商场出售同样的空气净化器和过滤网,空气净化器和过滤网在两家商场的售价一样.已知买1个空气净化器和2个过滤网要花费2440元,买2个空气净化器和3个过滤网要花费4760元.
(1)求1个空气净化器与1个过滤网的销售价格分别是多少元?
(2)为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动,“国美”规定:这两种商品都打九五折;“苏宁”规定:买1个空气净化器赠送2个过滤网.若某单位想要买10个空气净化器和30个过滤网,如果只能在一家商场购买,请问选择哪家商场购买更合算,请说明理由.
【点拨】(1)设1个空气净化器销售价格为x元,1个过滤器的销售价格为y元,根据买1个空气净化器和2个过滤网要花费2440元,买2个空气净化器和3个过滤网要花费4760元,列出二元一次方程组,解方程组即可;
(2)根据题意先分别计算出在“国美”商场购买所需费用和在“苏宁”商场购买所需费用,然后进行比较即可得出答案.
【解析】(1)解:设1个空气净化器销售价格为x元,1个过滤器的销售价格为y元,
由题意得:,
解得:,
答:1个空气净化器销售价格为2200元,1个过滤器销售价格为120元;
(2)解:选择“苏宁”商场购买更合算,理由如下:
在“苏宁”商场购买所需费用为:2200×10+(30﹣10×2)×120=23200(元),
在“国美”商场购买所需费用为:0.95×(2200×10+120×30)=24320(元),
∵24320>23200,
∴选“苏宁”商场购买更合算.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系正确列出二元一次方程组是解题的关键.
12.为提高青少年体质,某区组织各校篮球队进行了联赛,比赛部分积分情况如下:
球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分
A 10 6 4 16
B 10 3 7 13
C 10 0 10 10
… … … … …
根据表格数据,胜一场积 2 分;某球队参加10场比赛,积分为18分,则胜场数为 8 .
【点拨】设胜一场积x分,负一场积y分,根据比赛部分积分情况,列出二元一次方程组,解方程组求出胜一场积2分,负一场积1分;再设某球队参加10场比赛,积分为18分,胜场数为m,则负场数为(10﹣m),根据上面的结果,列出一元一次方程,解方程即可.
【解析】解:设胜一场积x分,负一场积y分,
由题意得:,
解得:,
∴胜一场积2分,负一场积1分,
设某球队参加10场比赛,积分为18分,胜场数为m,则负场数为(10﹣m),
由以上结果得:2m+(10﹣m)=18,
解得:m=8,
故答案为:2;8.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组和一元一次方程是解题的关键.
13.你看过《一千零一夜》吗?有个故事中有一个绝妙的谜语:有一群鸽子,飞过一棵高高的树,一部分鸽子落在树上,其他的停在树下,一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说:“倘若你们当中有一只飞上来,你们的数目就是我们总数的;倘若我们中飞下去一只,我们的数目恰好和你们相同啦!”根据这段描述,请你算一算,有多少只鸽子在树上?多少只鸽子在树下?
【点拨】设有x只鸽子在树上,有y只鸽子在树下,根据一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说:“倘若你们当中有一只飞上来,你们的数目就是我们总数的;倘若我们中飞下去一只,我们的数目恰好和你们相同啦!”列出二元一次方程组,解方程组即可.
【解析】解:设有x只鸽子在树上,有y只鸽子在树下,
由题意得:,
解得:,
答:有7只鸽子在树上,有5只鸽子在树下.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
14.根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物.
大马说:“把我驮的东西给你1包多好哇!这样咱俩驮的包数就一样多了.”
小马说:“我还想给你1包呢!”
大马说:“那可不行!如果你给我1包,我驮的包数就是你的2倍了.”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题.设未知数x,y,已经列出一个方程x﹣1=y+1,则另一个方程应是( )
A.x+1=2y B.x+1=2(y﹣1) C.x﹣1=2(y﹣1) D.y=1﹣2x
【点拨】设大马驮x袋,小马驮y袋.本题中的等量关系是:2×(小马驮的﹣1袋)=大马驮的+1袋;大马驮的﹣1袋=小马驮的+1袋,据此可列方程组求解.
【解析】解:设大马驮x袋,小马驮y袋.
根据题意,得.
故选:B.
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程组.
15.学校计划用200元钱购买A、B两种奖品(两种都要买),A种每个15元,B种每个25元,在钱全部用完的情况下,有多少种购买方案( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
【点拨】设购买x个A种奖品,y个B种奖品,利用总价=单价×数量,可列出关于x,y的二元一次方程,结合x,y均为正整数,即可得出共有2种购买方案.
【解析】解:设购买x个A种奖品,y个B种奖品,
根据题意得:15x+25y=200,
∴y=8﹣x,
又∵x,y均为正整数,
∴或,
∴共有2种购买方案.
故选:A.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程是解题的关键.
16.用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面,做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板,问两种纸盒各做多少个,恰好将库存的纸板用完?设做竖式纸盒x个,横式纸盒y个,恰好将库存的纸板用完,则可列方程是( )
A. B. C. D.
【点拨】根据共有500张正方形纸板和800张长方形纸板,列方程组即可求解.
【解析】解:根据题意,得,
故选:D.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找出合适的等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
17.某人要在规定时间内驾车从甲地赶往乙地,如果他以50km/h的速度行驶,那么就会迟到24min;如果他以75km/h的速度行驶,那么可提前24min到达乙地,求甲、乙两地之间的距离,设甲、乙两地之间的距离为s km,从甲地到乙地的规定时间为t h,则可列方程组( )
A. B. C. D.
【点拨】根据如果他以50km/h的速度行驶,那么就会迟到24min;如果他以75km/h的速度行驶,那么可提前24min到达乙地,列出二元一次方程组即可.
【解析】解:根据题意得:,
故选:B.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
18.利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图1方式放置,再交换两木块的位置,按图2方式放置.测量的数据如图所示,则桌子的高度是 75 cm.
【点拨】设桌子的高度是x cm,长方体木块截面的长比宽多y cm,观察图形,根据各边之间的关系,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论.
【解析】解:设桌子的高度是x cm,长方体木块截面的长比宽多y cm,
依题意得:,
解得:,
∴桌子的高度是75cm.
故答案为:75.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
19.某学校去商场购买办公用品,买50件A商品和30件B商品用了920元,买60件A商品和10件B商品用了1000元.问:购买一件A商品和一件B商品需要 20 元.
【点拨】设A商品的单价为x元,B商品的单价为y元,根据“买50件A商品和30件B商品用了920元,买60件A商品和10件B商品用了1000元”,可列出关于x,y的二元一次方程组,解之可得出x,y的值,再将其代入(x+y)中,即可求出结论.
【解析】解:设A商品的单价为x元,B商品的单价为y元,
根据题意得:,
解得:,
∴x+y=16+4=20(元),
∴购买一件A商品和一件B商品需要20元.
故答案为:20.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
20.已知M,N两点在数轴上所表示的数分别为m,n,且m,n满足|m﹣10|+(n+2)2=0.
(1)填空:m= 10 ,n= ﹣2 ;
(2)①问题探究:将一根木棒AB如图所示放置在数轴上.将木棒沿数轴左右水平移动,当点A移动到点B时,点B所对应的数为m;当点B移动到点A时,点A所对应的数为n,由此可得这根木棒的长为 4 个单位长度;
②方法迁移:一天,小明去问爷爷的年龄,爷爷说:“我若是你现在这么大,你还要34年才出生;你若是我现在这么大时,我就116岁啦!”求爷爷的年龄;
(3)在(2)①的条件下,现将木棒AB从某点处切断,切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动,同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动,是否存在某一时刻,M和N刚好是两段木棒的中点?若存在,求出木棒切断处所表示的数;若不存在,请说明理由.
【点拨】(1)由绝对值和平方的非负性可得m=10,n=﹣2;
(2)①求出MN=10﹣(﹣2)=12,可得AB=MN=4,即这根木棒的长为4个单位长度;
②仿照“问题探究“列式计算可得爷爷的年龄是66岁;
(3)设木棒切断处所表示的数为x,两段木棒运动的时间为t秒,求出A表示的数为﹣2+4=2,B表示的数为10﹣4=6,根据M和N刚好是两段木棒的中点列方程组可解得答案.
【解析】解:(1)∵|m﹣10|+(n+2)2=0,
∴m﹣10=0,n+2=0,
∴m=10,n=﹣2;
故答案为:10,﹣2;
(2)①由(1)知,MN=10﹣(﹣2)=12,
根据题意可得,AB=MN=4,
即这根木棒的长为4个单位长度;
故答案为:4;
②∵116﹣(116+34)÷3=116﹣150÷3=116﹣50=66(岁),
∴爷爷的年龄是66岁;
(3)存在某一时刻,M和N刚好是两段木棒的中点,理由如下:
设木棒切断处所表示的数为x,两段木棒运动的时间为t秒,
A表示的数为﹣2+4=2,B表示的数为10﹣4=6,
根据题意得:,
解得,
∴木棒切断处所表示的数为.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,解题的关键是读懂题意,列出算式和方程组解决问题.
21.一道来自课本的习题:
从王老师家到学校全程3.3km,其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路,王老师每天步行上下班.如果上坡路的平均速度为3km/h,平路的平均速度为4km/h,下坡路的平均速度为5km/h,那么王老师从家到学校需51分钟,从学校到家需53.4分钟.求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程.
小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题,设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km,列出了以下四个方程,则正确的是( )
A.=53.4 B.=51
C. D.
【点拨】设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km,则下坡为(3.3﹣x﹣y)km,根据王老师从家到学校需51分钟,列出方程即可.
【解析】解:设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是x km、y km,则下坡为(3.3﹣x﹣y)km,
根据王老师从家到学校需51分钟,得++=,
根据王老师从学校到家需53.4分钟,得++=.
故选项C符合题意.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程,根据题意找出等量关系是解题的关键.
22.一张方桌由一个桌面和4条桌腿组成,已知1立方米木料有三种切割方式,甲切割方式:可切成50个桌面;乙切割方式:可切成300条桌腿:丙切割方式:可切成20个桌面和180条桌腿.现有m个立方米木料,恰好做成若干张桌子(三种切割方案都有,且没有余料),当整数m取最小值时,可做成方桌 120 张.
【点拨】根据“一张方桌由一个桌面和4条桌腿组成”列方程求解.
【解析】解:设有x立方米的木料用甲切割,y立方米的木料用乙切割,z立方米的木料用丙切割,
则:4(50x+20z)=300y+180z,
方程可化为:2x﹣3y﹣z=0,
∴方程的最小正整数解为:x=2,y=z=1,
∴m的最小值为x+y+z=4,
此时可以做成方桌:50x+20z=120,
故答案为:120.
【点睛】本题考查了三元一次方程的应用,理解正整数解是解题的关键.
23.一生态牧场上的草每天均匀生长.这片草可供16头牛吃60天,或者供18头牛吃50天.如果将这片草全部割下制成干草以备冬天的草料,但制成干草后使用要比直接使用青草损失的营养.那么,由这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃 16 天.
【点拨】设这个生态牧场的原有草料a千克,每天生长b千克,每头牛每天可吃c千克草料,根据“这片草可供16头牛吃60天,或者供18头牛吃50天”,可列出关于a,b的二元一次方程组,解之可用含c的代数式表示出a,b的值,再将其代入中,即可求出结论.
【解析】解:设这个生态牧场的原有草料a千克,每天生长b千克,每头牛每天可吃c千克草料,
根据题意得:,
解得:,
∴==16(天),
∴这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃16天.
故答案为:16.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
24.某班元旦迎新年活动,购买活动奖品,计划购买笔记本20本,盲盒30个,共需1380元,其中盲盒比笔记本贵6元.
(1)求盲盒和笔记本的单价各为多少?
(2)后来调整方案,需要购买上面的两种奖品共70件(奖品单价不变).班长做完预算后,对家委主任说:“我这次买这两种奖品需要费用1922元.”家委主任算了一下,说:“如果你用这些钱买这两种奖品,那么费用肯定算错了.”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了.
(3)班长突然想起,所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔.如果记号笔的单价不超过10元,且金额数为整数,请通过计算,直接写出记号笔的单价可能为 2或8 元.
【点拨】(1)设盲盒的单价为x元,则笔记本的单价为(x﹣6)元,根据购买笔记本20本,盲盒30个,共需1380元,列出一元一次方程,解方程即可;
(2)设购买y个盲盒,则购买(70﹣y)本笔记本,根据这次买这两种奖品需要费用1922元,结合(1)的结论,列出一元一次方程,解方程判定即可;
(3)设记号笔的单价为m元,根据这次买这两种奖品需要费用1922元,结合(1)的结论,列出二元一次方程,解方程即可.
【解析】解:(1)设盲盒的单价为x元,则笔记本的单价为(x﹣6)元,
由题意得:30x+20(x﹣6)=1380,
解得:x=30,
∴x﹣6=24,
答:盲盒的单价为30元,笔记本的单价为24元;
(2)班长算错了,理由如下:
设购买y个盲盒,则购买(70﹣y)本笔记本,
由题意得:30y+24(70﹣y)=1922,
解方程得:y=40,
又∵y需为正整数,
∴y=40不符合题意,舍去,
∴班长算错了;
(3)设记号笔的单价为m元,
由题意得:30y+24(70﹣y)=1922﹣m,
解方程得:y=40﹣,
又∵y为正整数,m为不大于10元的整数,
∴m=2或8,
故答案为:2或8.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用、整数的认识,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(3)找准等量关系,正确列出二元一次方程.
25.根据如表素材,探索完成任务.
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”,某班级开展知识竞赛活动,去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品.
素材1 若买10杯A款奶茶,5杯B款奶茶,共需160元;若买15杯A型奶茶,10杯B型奶茶,共需270元.
素材2 为了满足市场的需求,奶茶店推出每杯2元的加料服务,顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料.
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元?
任务2 在不加料的情况下,购买A、B两种款式的奶茶(两种都要),刚好花220元,请问有几种购买方案?
任务3 根据素材2,小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶,其中A款不加料的杯数是总杯数的.则其中B型加料的奶茶买了多少杯?
【点拨】任务1,设A款奶茶的销售单价是x元,B款奶茶的销售单价是y元,根据若买10杯A款奶茶,5杯B款奶茶,共需160元;若买15杯A型奶茶,10杯B型奶茶,共需270元.列出二元一次方程组,解方程组即可;
任务2,设购买A种款式的奶茶m杯,购买B种款式的奶茶n杯,根据在不加料的情况下,购买A、B两种款式的奶茶(两种都要),刚好花220元,列出二元一次方程,求出正整数解即可;
任务3:设小华购买的奶茶中,A款不加料的奶茶买了a杯,A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯,则B款加料的奶茶买了(2a﹣b)杯,根据小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶,列出二元一次方程,求出正整数解即可.
【解析】解:任务1,设A款奶茶的销售单价是x元,B款奶茶的销售单价是y元,
由题意得:,
解得:,
答:A款奶茶的销售单价是10元,B款奶茶的销售单价是12元;
任务2,设购买A种款式的奶茶m杯,购买B种款式的奶茶n杯,
由题意得:10m+12n=220,
整理得:m=22﹣n,
∵m、n均为正整数,
∴或或,
∴有3种购买方案;
任务3:设小华购买的奶茶中,A款不加料的奶茶买了a杯,A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯,
则B款加料的奶茶买了(3a﹣a﹣b)杯,即(2a﹣b)杯,
由题意得:10a+12b+(12+2)(2a﹣b)=380,
整理得:b=19a﹣190,
∵a、b、3a﹣a﹣b均为正整数,
∴,
∴2a﹣b=2×11﹣19=3,
答:B款加料的奶茶买了3杯.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用.解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准等量关系,正确列出二元一次方程;(3)找准等量关系,正确列出二元一次方程.
26.一只小船从A港口顺水航行到B港口需8小时,而从B港口逆水返回到A港口需12小时.某日,该小船在早晨8点出发,由A港口顺水航行到B港口时,发现船上一个救生圈在途中掉入水中,于是立即返回寻找救生圈,4小时后找到救生圈.
(1)若A港口到B港口的航程为240千米,求水流速度是每小时多少千米?
(2)若救生圈从A港口漂流到B港口,需要多长时间?
(3)救生圈于何时掉入水中?
【点拨】(1)设小船在静水中的速度为x千米/小时,水流速度为y千米/小时,然后根据题意可列方程组为,可进行求解;
(2)设小船在静水中的速度为a千米/小时,水流速度为b千米/小时,A港口到B港口的距离为s千米,然后根据题意可列方程为,然后根据行船问题可进行求解;
(3)设救生圈在出发t小时掉入水中,小船需8小时到B港口,则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了(8﹣t+4)小时,然后根据题意可列方程为,进而问题可求解.
【解析】解:(1)设小船在静水中的速度为x千米/小时,水流速度为y千米/小时,由题意得:
,
解得:,
所以水流速度是每小时5千米,
答:水流速度是每小时5千米;
(2)设小船在静水中的速度为a千米/小时,水流速度为b千米/小时,A港口到B港口的距离为s千米,由题意得:
,
解得,
∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为(小时);
答:救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时;
(3)设救生圈在出发t小时掉入水中,由题意得:
,
解得:t=4,
∴8+4=12,
所以救生圈于上午12时掉入水中,
答:救生圈于上午12时掉入水中.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系式.
基础过关
能力提升
培优拔尖
基础过关
能力提升
培优拔尖
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