第1章 相交线与平行线 单元检测基础过关卷（含解析）

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第1章 相交线与平行线 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠3是同旁内角
C．∠2与∠3是同位角 D．∠3与∠4是内错角
2．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2＝85°，则∠1等于（　　）
A．120° B．110° C．100° D．95°
3．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在（　　）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
4．如图，点E在AB的延长线上，下列条件中不能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠4 B．∠C＝∠CBE
C．∠C+∠ABC＝180° D．∠1＝∠2
5．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　）
A．58° B．42° C．32° D．30°
6．给出下列判断：
①过已知直线上一点，不能画这条直线的垂线
②过直线外一点和直线上任一点的直线都垂直于已知直线
③连接直线外一点和直线上任一点的线段的长是点到这条直线的距离
其中，正确的判断有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图，直线AB、CD分别与EF、GH相交，图中∠1＝100°，∠2＝85°，∠3＝95°，则∠4的大小是（　　）
A．80° B．85° C．95° D．100°
8．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝62°，则∠AEG等于（　　）
A．56° B．59° C．62° D．66°
9．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜α上，被平面镜α反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行．若∠NCD＝62°，则∠MBA的大小为（　　）
A．42° B．38° C．32° D．28°
10．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　）
A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2
C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角的度数为 　 　．
12．如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝55°，则∠AOC＝ 　 　°．
13．如图，将周长为17cm的△ABC沿BC平移得到△DEF．平移后，如果四边形ABFD的周长是21cm，那么平移的距离是 　 　cm．
14．如图所示，若∠1+∠2＝180°，∠3＝100°，则∠4的大小为　 　．
15．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC∥DE，AB∥CD，当∠ABD＝70°，∠CBD＝44°时，∠CDE的度数为 　 　．
16．如图是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中AB∥CD∥EF，BC∥DE．若∠ABC＝60°，则∠DEF为 　 　度．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
18．已知：直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC＝45°，
（1）如图1，若EO⊥AB，求∠DOE的度数；
（2）如图2，若EO平分∠AOC，求∠DOE的度数．
19．如图，四边形ABCD中，F为CD上一点，连接AF并延长，交BC的延长线于点E，连接AC．若∠B＝∠DCE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）试说明AB∥CD；
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）∠ACD与∠E相等吗？请说明理由．
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程．
解：（1）∵∠B＝∠DCE，（已知）
∴AB∥CD．（　 　）
（2）AD与BC的位置关系是：AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，（已知）
∴∠4＝∠　 　.（　 　）
∵∠3＝∠4，（已知）
∴∠3＝∠　 　.（　 　）
∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF，
即∠　 　＝∠　 　，
∴∠3＝∠　 　.（等量代换）
∴AD∥BC．（　 　）
（3）　 　．
20．如图，△ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A'B'C'（设点A、B、C分别平移到A'、B'、C'）
（1）请在图中画出平移后的△A'B'C'；
（2）若连接BB'、CC'，则这两条线段的关系是 　 　；
（3）直接写出△ABC的面积 　 　．
21．如图，直线AB，BE相交于点B，直线CD，BE相交于点E，BE⊥DF于点P，连接CF，DF，∠1＝∠C．
（1）若∠2＝56°，请求出∠B的度数；
（2）若AB∥CD，求证：∠2+∠D＝90°．
22．小明在利用潜望镜观察物体时发现潜望镜的工作原理如图2所示：两面镜子AB和CD是平行的，根据平面镜光的反射原理知∠1＝∠2，∠3＝∠4，请据此证明进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线HG是平行的．
23．如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由．
（2）若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数．
24．（1）如图1，小明在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ＝∠A（　 　）．
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（　 　）．
∴∠CPQ＝∠C．
∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C．
即∠APC＝∠A+∠C．
（2）应用：在图2中，若∠A＝120°，∠C＝140°，则∠APC的度数为　 　；
（3）拓展：在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠3是同旁内角
C．∠2与∠3是同位角 D．∠3与∠4是内错角
【点拨】根据邻补角，同旁内角、同位角、内错角的定义逐项分析即可解答．
【解析】解：A、∠1与∠2是同旁内角，故原说法正确，符合题意；
B、∠1与∠3是邻补角，故原说法错误，不符合题意；
C、∠2与∠3是内错角，故原说法错误，不符合题意；
D、∠3与∠4是同旁内角，故原说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了邻补角、同旁内角、同位角、内错角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
2．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2＝85°，则∠1等于（　　）
A．120° B．110° C．100° D．95°
【点拨】由平行线的性质得出∠1+∠DFE＝180°，由对顶角相等求出∠DFE＝∠2＝85°，即可得出结果．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠DFE＝180°，
∵∠DFE＝∠2＝85°，
∴∠1＝180°﹣85°＝95°；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等的性质；熟记平行线的性质，由对顶角相等求出∠DFE是解决问题的关键．
3．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在（　　）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
【点拨】根据垂线段最短得出即可．
【解析】解：建在点C处，根据垂线段最短，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的知识点是解此题的关键．
4．如图，点E在AB的延长线上，下列条件中不能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠3＝∠4 B．∠C＝∠CBE C．∠C+∠ABC＝180° D．∠1＝∠2
【点拨】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【解析】解：A、∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，故本选项符合题意；
B、∵∠C＝∠CBE，∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
C、∵∠C+∠ABC＝180°，∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
D、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
5．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　）
A．58° B．42° C．32° D．30°
【点拨】先利用平行线的性质得出∠3，进而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行线的性质即可．
【解析】解：如图，
过点A作AB∥b，
∴∠3＝∠1＝58°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝32°，
∵a∥b，AB∥b，
∴AB∥a，
∴∠2＝∠4＝32°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算，解本题的关键是正确作出辅助线．
6．给出下列判断：
①过已知直线上一点，不能画这条直线的垂线
②过直线外一点和直线上任一点的直线都垂直于已知直线
③连接直线外一点和直线上任一点的线段的长是点到这条直线的距离
其中，正确的判断有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【点拨】①可根据“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”进行判断；
②当过直线外一点和直线上任一点的直线与已知直线所成的角是90°时，该直线垂直于已知直线，据此进行判断；
③根据“直线外一点到这条直线的垂线段的长度是点到直线的距离”进行判断，继而选出正确答案．
【解析】解：①在同一平面内，过已知直线上一点，只能画1条直线与这条直线垂直，所以说法错误；
②过直线外一点和直线上任一点的直线与已知直线所成的角是90°时，该直线垂直于已知直线，所以说法错误；
③连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂直的线段的长度就是点到直线的距离，所以说法错误．
故选：A．
【点睛】本题考查点到直线的距离，掌握点到直线的距离是解题的关键．
7．如图，直线AB、CD分别与EF、GH相交，图中∠1＝100°，∠2＝85°，∠3＝95°，则∠4的大小是（　　）
A．80° B．85° C．95° D．100°
【点拨】先求出∠2的邻补角，进而根据内错角相等证明AB∥CD，根据∠1求出∠4的度数．
【解析】解：如图，
∵∠2＝85°，
∴∠5＝180°﹣85°＝95°，
∵∠3＝95°，
∴∠5＝∠3，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠6，
∵∠1＝100°，
∴∠6＝∠4＝100°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定以及性质，解题的关键是熟记平行线的性质和判定定理，性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
8．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝62°，则∠AEG等于（　　）
A．56° B．59° C．62° D．66°
【点拨】先由平行线的性质得到∠DEF＝∠1＝62°，再由折叠的性质可得∠D′EF＝∠DEF＝62°，据此利用平角的定义即可求出答案．
【解析】解；∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠1＝62°，
由折叠的性质可得∠D′EF＝∠DEF＝62°，
∴∠AEG＝180°﹣∠D′EF﹣∠DEF＝56°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，关键是平行线性质的应用．
9．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜α上，被平面镜α反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行．若∠NCD＝62°，则∠MBA的大小为（　　）
A．42° B．38° C．32° D．28°
【点拨】由题意得∠OCB＝∠NCD＝62°，∠MBA＝∠OBC，根据平角的定义可求出∠BCD的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠ABC的度数，从而求出∠MBA的度数．
【解析】解：由题意，得∠OCB＝∠NCD＝62°，∠MBA＝∠OBC，
∴∠BCD＝180°﹣∠OCB﹣∠NCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣56°＝124°，
∠MBA＝＝28°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
10．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　）
A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°
【点拨】先过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，利用平行线的性质求得∠GEF和∠EFH，最后根据∠CFH＝∠3﹣∠EFH，求得∠4即可．
【解析】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG∥FH，
∴∠1＝∠AEG，
∴∠GEF＝∠2﹣∠1，
∵EG∥FH，
∴∠EFH＝180°﹣∠GEF＝180°﹣（∠2﹣∠1）＝180°﹣∠2+∠1，
∴∠CFH＝∠3﹣∠EFH＝∠3﹣（180°﹣∠2+∠1）＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°，
∵FH∥CD，
∴∠4＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线，构造平行线，利用平行线的性质进行推导．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角的度数为 　80°　．
【点拨】由于∠2＝100°，利用邻补角定义可求∠3，而∠3就是∠1的同位角．
【解析】解：∠2＝100°，如图，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝80°，
∴∠1的同位角∠3等于80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解答本题的关键．
12．如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝55°，则∠AOC＝ 　35　°．
【点拨】根据垂直定义可得：∠COE＝90°，然后利用平角定义进行计算即可解答．
【解析】解：∵OE⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠BOE＝55°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝35°，
故答案为：35．
【点睛】本题考查了垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
13．如图，将周长为17cm的△ABC沿BC平移得到△DEF．平移后，如果四边形ABFD的周长是21cm，那么平移的距离是 　2　cm．
【点拨】先根据平移的性质得出AD＝BE，△ABC≌△DEF，故可得出AB＝DE，据此可得出结论．
【解析】解：∵△ABC沿BC平移得到△DEF，
∴AD＝BE，△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，
∵△ABC的周长为17cm，
∴△DEF的周长为17cm，
∵四边形ABFD的周长是21cm，
∴2AD+17＝21，
解得DE＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．
14．如图所示，若∠1+∠2＝180°，∠3＝100°，则∠4的大小为　80°　．
【点拨】求出∠1＝∠5，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠4＝∠6即可．
【解析】解：
∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠5＝180°，
∴∠1＝∠5，
∴AB∥CD，
∴∠4＝∠6，
∵∠3＝100°，
∴∠6＝180°﹣∠3＝80°，
∴∠4＝80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
15．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC∥DE，AB∥CD，当∠ABD＝70°，∠CBD＝44°时，∠CDE的度数为 　66°　．
【点拨】先利用平行线的性质求出∠BDC和∠BDE的度数，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD＝70°，
∵BC∥DE，
∴∠BDE＝180°﹣∠DBC＝136°，
∴∠CDE＝∠BDE﹣∠BDC＝66°，
故答案为：66°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
16．如图是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中AB∥CD∥EF，BC∥DE．若∠ABC＝60°，则∠DEF为 　120　度．
【点拨】由平行线的性质推出∠DEF＝∠D，∠C＝∠B＝60°，∠C+∠D＝180°，求出∠D＝120°，即可得到∠DEF＝120°．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠DEF＝∠D，∠C＝∠B＝60°，
∵BC∥DE．
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝120°，
∴∠DEF＝120°
故答案为120．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠DEF＝∠D，∠C＝∠B＝60°，∠C+∠D＝180°．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
【点拨】根据平行线判定推出BD∥CE，求出∠D+∠CBD＝180°，推出AC∥DF，根据平行线性质推出即可．
【解析】证明：∵∠1＝∠2，
∴BD∥CE，
∴∠C+∠CBD＝180°，
∵∠C＝∠D，
∴∠D+∠CBD＝180°，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
【点睛】本题考查了平行线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
18．已知：直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC＝45°，
（1）如图1，若EO⊥AB，求∠DOE的度数；
（2）如图2，若EO平分∠AOC，求∠DOE的度数．
【点拨】（1）根据对顶角相等求∠AOD，由垂直的性质求∠AOE，根据∠DOE＝∠AOD+∠AOE求解；
（2）由邻补角的性质求∠AOC，根据EO平分∠AOC求∠AOE，再由∠DOE＝∠AOD+∠AOE求解．
【解析】解：（1）∵直线AB与直线CD相交，
∴∠AOD＝∠BOC＝45°．
∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝135°；
（2）∵直线AB与直线CD相交，
∴∠AOD＝∠BOC＝45°，∠AOC＝135°，
∵EO平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝67.5°，
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝112.5°．
【点睛】本题考查了对顶角，邻补角的性质，角平分线的性质，垂直的定义．关键是采用形数结合的方法解题．
19．如图，四边形ABCD中，F为CD上一点，连接AF并延长，交BC的延长线于点E，连接AC．若∠B＝∠DCE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）试说明AB∥CD；
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）∠ACD与∠E相等吗？请说明理由．
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程．
解：（1）∵∠B＝∠DCE，（已知）
∴AB∥CD．（　同位角相等，两直线平行　）
（2）AD与BC的位置关系是：AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，（已知）
∴∠4＝∠　BAE　.（　两直线平行，同位角相等　）
∵∠3＝∠4，（已知）
∴∠3＝∠　BAE　.（　等量代换　）
∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF，
即∠　BAE　＝∠　CAD　，
∴∠3＝∠　CAD　.（等量代换）
∴AD∥BC．（　内错角相等，两直线平行　）
（3）　∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠E．
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠E．　．
【点拨】（1）根据平行线的判定定理求解即可；
（2）根据平行线的判定定理与性质定理求解即可；
（3）根据平行线的性质定理求解即可．
【解析】解：（1）∵∠B＝∠DCE，（已知）
∴AB∥CD．（同位角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（2）AD与BC的位置关系是：AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，（已知）
∴∠4＝∠BAE，（两直线平行，同位角相等）
∵∠3＝∠4，（已知）
∴∠3＝∠BAE．（等量代换）
∵∠＝∠2，（已知）
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF．
即∠BAE＝∠CAD，
∴∠3＝∠CAD，（等量代换）
∴AD∥BC．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：BAE；两直线平行，同位角相等；BAE；等量代换；BAE；CAD；CAD；内错角相等，两直线平行；
（3）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠E．
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠E．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
20．如图，△ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A'B'C'（设点A、B、C分别平移到A'、B'、C'）
（1）请在图中画出平移后的△A'B'C'；
（2）若连接BB'、CC'，则这两条线段的关系是 　BB'∥CC'且BB'＝CC'　；
（3）直接写出△ABC的面积 　　．
【点拨】（1）根据平移的性质即可在图中画出平移后的△A'B'C'；
（2）根据平移的性质即可得两条线段的关系；
（3）利用网格即可求出△ABC的面积．
【解析】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）连接BB'、CC'，则这两条线段的关系是：BB'∥CC'且BB'＝CC'；
故答案为：BB'∥CC'且BB'＝CC'；
（3）△ABC的面积＝5×5＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
21．如图，直线AB，BE相交于点B，直线CD，BE相交于点E，BE⊥DF于点P，连接CF，DF，∠1＝∠C．
（1）若∠2＝56°，请求出∠B的度数；
（2）若AB∥CD，求证：∠2+∠D＝90°．
【点拨】（1）由同位角相等，两直线平行判定BE∥CF，推出∠B＝∠2＝56°；
（2）由平行线的性质推出∠CFD＝∠DPE＝90°，求出∠2+∠BFD＝90°，由平行线的性质推出∠BFD＝∠D，即可证明∠2+∠D＝90°．
【解析】（1）解：∵∠1＝∠C，
∴BE∥CF，
∠B＝∠2＝56°；
（2）证明：∵BE⊥DF，
∴∠DPE＝90°，
∵BE∥CF，
∴∠CFD＝∠DPE＝90°，
∴∠2+∠BFD＝180°﹣∠CFD＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠D，
∴∠2+∠D＝90°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，关键是掌握平行线的判定和性质．
22．小明在利用潜望镜观察物体时发现潜望镜的工作原理如图2所示：两面镜子AB和CD是平行的，根据平面镜光的反射原理知∠1＝∠2，∠3＝∠4，请据此证明进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线HG是平行的．
【点拨】根据∠2和∠3是内错角，且两面镜子是平行放置的，得到∠2＝∠3；再结合∠1＝∠2，∠3＝∠4，可得∠5＝∠6，根据平行线的判定定理即可解答．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．
∵∠5＝180°﹣∠1﹣∠2，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4，
∴∠5＝∠6．
∴FE∥GH（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
23．如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由．
（2）若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数．
【点拨】（1）由同位角相等，两直线平行可得AB∥GD，从而得∠2＝∠BAD，则可求得∠BAD+∠3＝180°，即可证得EH∥AD；
（2）由平行线的性质可得∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC，可得∠BAC＝58°，再利用平行线的性质可求得∠H＝∠BAD，则可求∠4的度数，从而求∠H的度数．
【解析】解：（1）EH∥AD，理由如下：
∵∠1＝∠B，
∴AB∥GD，
∴∠2＝∠BAD，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠BAD+∠3＝180°，
∴EH∥AD；
（2）由（1）得AB∥GD，
∴∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC，
∵∠DGC＝58°，
∴∠BAC＝58°，
∵EH∥AD，
∴∠2＝∠H，
∴∠H＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，
∵∠H＝∠4+10°，
∴∠4+10°+∠4＝58°，
解得：∠4＝24°，
∴∠H＝34°．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
24．（1）如图1，小明在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ＝∠A（　两直线平行，内错角相等　）．
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（　平行于同一条直线的两条直线互相平行　）．
∴∠CPQ＝∠C．
∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C．
即∠APC＝∠A+∠C．
（2）应用：在图2中，若∠A＝120°，∠C＝140°，则∠APC的度数为　100°　；
（3）拓展：在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
【点拨】（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠APQ＝∠A，∠C＝∠CPQ，即可得出答案；
（2）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠A+∠APQ＝180°，∠C+∠CPQ＝180°，求出∠APQ和∠CPQ，即可得出答案；
（3）根据平行线的性质得出∠C＝∠PEB，根据三角形外角性质得出∠APC＝∠PEB﹣∠A，代入求出即可．
【解析】解：（1）过点P作PQ∥AB，
∴∠APQ＝∠A（两直线平行，内错角相等），
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠CPQ＝∠C，
∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C，
即∠APC＝∠A+∠C，
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；
（2）如图2，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A+∠APQ＝180°，∠C+∠CPQ＝180°，
∵∠A＝120°，∠C＝140°，
∴∠APQ＝60°，∠CPQ＝40°，
∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝100°，
故答案为：100°；
（3）∠APC＝∠C﹣∠A；理由如下：
如图3，设PC交AB于点E，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠PEB，
∴∠APC＝∠PEB﹣∠A＝∠C﹣∠A．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，能正确作出辅助线是解此题的关键．
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