第1章 相交线与平行线 单元检测能力提升卷（含解析）

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第1章 相交线与平行线 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列生活中的现象，属于平移的是（　　）
A．摩天轮在运行 B．抽屉的拉开 C．坐在秋千上人的运动 D．树叶在风中飘落
2．如图，下列说法错误的是（　　）
①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠1和∠2是同旁内角；④∠1和∠4是内错角．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
3．如图，如果∠1＝∠2．那么a∥b，其依据可以简单的说成（　　）
A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
4．如图，△ABC的周长为15cm，将△ABC沿BA方向平移3cm至△A′B′C′，则图中阴影部分的周长为（　　）
A．12cm B．15cm C．18cm D．21cm
5．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，则不正确的是（　　）
A．∠1+∠3＝180° B．∠2+∠3＝180° C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠5
6．下列说法正确的说法是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两条平行线的所有公垂线段都相等
C．从直线外一点到已知直线的垂线段，叫作点到直线的距离
D．若两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等
7．如图，直线c与直线a，b都相交，若a∥b，∠1＝50°8′，则∠2＝（　　）
A．49°2′ B．50°8′ C．129°52′ D．129°92′
8．如图，施工以从点A出发，沿北偏东62°方向修公路AC，在BC段出现塌陷区，后改变方向，由点B沿北偏西38°的方向继续修建BD段，到达点D又改变方向，从点D继续修建DE段，若要使路段DE∥AB，则∠BDE的度数应为（　　）
A．110° B．100° C．90° D．80°
9．如图，AB∥DE，BC⊥CD，设∠ABF＝α，∠CDE＝β，则α与β之间的数量关系正确的是（　　）
A．α﹣β＝90° B．α+β＝90° C．α+β＝180° D．α与β没有数量关系
10．如果两个角的两边分别平行，且其中一个角的度数比另一个角的度数的4倍少30°，那么这两个角的度数分别是（　　）
A．52°、128° B．10°、10° C．52°、128°或10°、10° D．10°、10°或42°、138°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．如图，∠B的内错角是 　 　；∠C的同旁内角是 　 　．
12．如图，直线l1∥l2．下列结论：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°．其中所有正确结论的序号是 　 　．
13．物理中有一种现象叫光的折射现象，指当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，水面MN与容器底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成了光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，若∠1＝66°，∠2＝46°，则∠DBC的度数为　 　．
14．平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜l上，被l反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图2，小明安装了一块能自动调节方向的平面镜l，某时刻，太阳光垂直于水平线照射，为了把太阳光反射到一座水平方向的洞口中去，则∠α的度数为 　 　．
15．如图，l1∥l2，将一副直角三角板如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，则∠1的度数为 　 　°．
16．如图a是长方形纸带，已知∠DEF小于60°，∠AEF的度数为m°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 　 　°（用含m的代数式表示）．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．完成下面的证明：
已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（　 　）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝　 　（角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（　 　）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝　 　（　 　）．
∴AB∥CD（　 　）．
18．如图，已知∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）求证：BE∥CD．
（2）若∠EDC：∠C＝7：3，求∠C的度数．
19．如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数．
20．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．
21．如图，每个小正方形的边长为1，利用网格点画图和无刻度的直尺画图（保留画图痕迹）：
（1）在方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'，画出三角形A'B'C'；
（2）过点A画线段AD使AD∥BC且AD＝BC；
（3）图中AD与C′B'的关系是 　 　；
（4）点E在线段AD上，CE＝4，点H是直线CE上一动点，线段BH的最小值为 　 　．
22．如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由．
（2）若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数．
23．小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
（1）直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝60°，求∠APB的度数．
（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
24．将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起（其中∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝60°，∠B＝30°，∠ECD＝∠EDC＝45°）．
（1）若∠ACE＝125°，则∠BCD的度数为 　 　；
（2）如图，在此位置将三角形ABC绕点C顺时针转动，设∠BCD＝α，
①若AB∥CE，求α的度数（请说明理由）；
②当旋转角度不超过180°时，这两块三角尺除了AB∥CE外，是否还存在互相平行的边？若存在，请直接写出α的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列生活中的现象，属于平移的是（　　）
A．摩天轮在运行 B．抽屉的拉开 C．坐在秋千上人的运动 D．树叶在风中飘落
【点拨】利用平移的定义，沿着某个方向移动一定的距离，求解即可．
【解析】解：A、摩天轮在运行，是转动，不符合题意；
B、抽屉的拉开，是抽屉沿着一个方向移动一定的距离，符合题意；
C、坐在秋千上的人，绕着顶端旋转，不符合题意；
D、树叶在风中飘落，方向变化，不符合平移的定义，不属于平移．
故选：B．
【点评】本题考查的是生活中的平移现象，关键是把握平移两要素：沿着一个方向，移动一定的距离．
2．如图，下列说法错误的是（　　）
①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠1和∠2是同旁内角；④∠1和∠4是内错角．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【点拨】根据同位角、同旁内角、内错角的定义判断．
【解析】解：①∠1和∠3是同位角是正确的；
②∠1和∠5不是同位角，原来的说法错误；
③∠1和∠2是同旁内角是正确的；
④∠1和∠4不是内错角，原来的说法错误．
故选：C．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，正确且熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义和形状是解题的关键．
3．如图，如果∠1＝∠2．那么a∥b，其依据可以简单的说成（　　）
A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
【点拨】依据平行线的判定方法判断即可．
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定方法是解题关键．
4．如图，△ABC的周长为15cm，将△ABC沿BA方向平移3cm至△A′B′C′，则图中阴影部分的周长为（　　）
A．12cm B．15cm C．18cm D．21cm
【点拨】根据图形平移的性质即可解决问题．
【解析】解：因为△A′B′C′由△ABC沿BA方向平移3cm得到，
所以BC＝B′C′，BB′＝CC′，
所以AC+B′C′+AB′+CC′＝AC+BC+AB′+BB′＝AC+BC+AB．
又因为△ABC的周长为15cm，
所以AC+BC+AB＝15（cm），
即图中阴影部分的周长为15cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键．
5．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，则不正确的是（　　）
A．∠1+∠3＝180° B．∠2+∠3＝180° C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠5
【点拨】利用平行线的性质、对顶角相等、邻补角的性质即可一一判断．
【解析】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠3＝180°，故A正确；
∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，故B正确；
∵a∥b，
∴∠1＝∠4，故C正确，
∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
∵∠3＝∠5，
∴∠2+∠5＝180°，故D不正确，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质、对顶角相等、邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．下列说法正确的说法是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两条平行线的所有公垂线段都相等
C．从直线外一点到已知直线的垂线段，叫作点到直线的距离
D．若两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等
【点拨】根据平行线的判定与性质、点到直线的距离、平行公理及推论等知识判断求解即可．
【解析】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A错误，不符合题意；
两条平行线的所有公垂线段都相等，故B正确，符合题意；
从直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，故C错误，不符合题意；
若两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质、点到直线的距离、平行公理及推论等知识，熟练运用各定理是解题的关键．
7．如图，直线c与直线a，b都相交，若a∥b，∠1＝50°8′，则∠2＝（　　）
A．49°2′ B．50°8′ C．129°52′ D．129°92′
【点拨】由邻补角的性质求出∠3＝180﹣∠1＝129°52′，由平行线的性质推出∠2＝∠3＝129°52′．
【解析】解：∵∠1＝50°8′，
∴∠3＝180﹣∠1＝129°52′，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝129°52′．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠3．
8．如图，施工以从点A出发，沿北偏东62°方向修公路AC，在BC段出现塌陷区，后改变方向，由点B沿北偏西38°的方向继续修建BD段，到达点D又改变方向，从点D继续修建DE段，若要使路段DE∥AB，则∠BDE的度数应为（　　）
A．110° B．100° C．90° D．80°
【点拨】由题意可知∠A＝62°，∠DBF＝38°，根据平行线的性质推出∠DBF＝∠A＝62°，求出∠CBD＝100°，再根据平行线的性质求解即可．
【解析】解：如图，
由题意可知∠A＝62°，∠DBF＝38°，
∵BF∥AG，
∴∠CBF＝∠A＝62°（两直线平行，同位角相等），
∴∠CBD＝∠CBF+∠DBF＝62°+38°＝100°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE+∠CBD＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣∠CBD＝80°，
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
9．如图，AB∥DE，BC⊥CD，设∠ABF＝α，∠CDE＝β，则α与β之间的数量关系正确的是（　　）
A．α﹣β＝90° B．α+β＝90° C．α+β＝180° D．α与β没有数量关系
【点拨】过C作CM∥AB，得到CM∥DE，因此∠ABC＝∠BCM，∠MCD＝∠EDC＝β，由垂直的定义得到∠ABC＝90°﹣β，由邻补角的性质即可得到答案．
【解析】解：过C作CM∥AB，
∵AB∥DE，
∴CM∥DE，
∴∠ABC＝∠BCM，∠MCD＝∠EDC＝β，
∵BC⊥CD，
∴∠BCM＝90°﹣∠MCD＝90°﹣β，
∴∠ABC＝90°﹣β，
∵∠ABC+∠ABF＝180°，
∴90°﹣β+α＝180°，
∴α﹣β＝90°．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是过C作CM∥AB，得到CM∥DE，由平行线的性质来解决问题．
10．如果两个角的两边分别平行，且其中一个角的度数比另一个角的度数的4倍少30°，那么这两个角的度数分别是（　　）
A．52°、128° B．10°、10°
C．52°、128°或10°、10° D．10°、10°或42°、138°
【点拨】分两角相等和两角互补，两种情况进行求解即可．
【解析】解：设其中一个角的度数为α，则另一个角的度数为4α﹣30°，
当两个角的两边分别平行时，两角相等或者互补，
当两个角的相等时：α＝4α﹣30°，解得：α＝10°，
此时两个角的度数为：10°、10°；
当两个角互补时：α+4α﹣30°＝180°，解得：α＝42°，
则：4×42°﹣30°＝138°，
此时两个角的度数为：42°、138°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，能根据题意分类讨论求解是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．如图，∠B的内错角是 　∠BAD　；∠C的同旁内角是 　∠DAC，∠B，∠BAC　．
【点拨】根据内错角和同旁内角的定义进行填空即可．
【解析】解：∠B的内错角是∠BAD，∠C的同旁内角是∠DAC，∠B，∠BAC，
故答案为：∠BAD；∠DAC，∠B，∠BAC．
【点评】本题考查了内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
12．如图，直线l1∥l2．下列结论：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°．其中所有正确结论的序号是 　①③④　．
【点拨】根据平行线的性质并结合图形，逐一判断即可解答．
【解析】解：如图：
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠6（两直线平行，内错角相等），
∠4＝∠5（两直线平行，同位角相等），
∠2+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠3≠∠6，
∴∠2≠∠3，
所以，上列结论，其中所有正确结论的序号是①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．物理中有一种现象叫光的折射现象，指当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，水面MN与容器底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成了光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，若∠1＝66°，∠2＝46°，则∠DBC的度数为　20°　．
【点拨】根据平行线的性质可得∠MBC＝∠1＝66°，由对顶角的性质可得∠MBD＝∠2＝46°，最后根据角的和差关系即可求解．
【解析】解：由条件可知∠MBC＝∠1＝66°，
∴∠MBD＝∠2＝46°，
∴∠DBC＝∠MBC﹣∠MBD＝66°﹣46°＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
14．平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜l上，被l反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图2，小明安装了一块能自动调节方向的平面镜l，某时刻，太阳光垂直于水平线照射，为了把太阳光反射到一座水平方向的洞口中去，则∠α的度数为 　45°　．
【点拨】根据平面镜反射光线的规律，可以求出∠3＝∠4，由垂线定义求出∠4的度数，再由两直线平行内错角相等即可求出结果．
【解析】解：如图，
由题意可知，b∥c，∠3＝∠4，
∴，
∵b∥c，
∴∠α＝∠4＝45°．
故答案为：45°
【点评】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，垂线定义．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．如图，l1∥l2，将一副直角三角板如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，则∠1的度数为 　75　°．
【点拨】如图，过C点作CF∥l1，由平行线的性质得∠2＝∠ACF＝135°，然后利用平行线的性质求解即可．
【解析】解：如图，过C点作CF∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥CF，
∴∠1+∠ECF＝180°，∠2＝∠ACF，
∵∠2＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ACF＝135°，
∴∠ECF＝135°﹣30°＝105°，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
16．如图a是长方形纸带，已知∠DEF小于60°，∠AEF的度数为m°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 　（3m﹣360）　°（用含m的代数式表示）．
【点拨】图形a：由平行线的性质推出∠EFC＝∠AEF＝m°，图b：由折叠的性质得到∠EFC＝m°，求出∠BFC＝2m°﹣180°，图c：由折叠的性质得到∠CFG＝2m°﹣180°，即可求出∠CEF的度数．
【解析】解：图形a：∵AD∥BC，
∴∠EFC＝∠AEF＝m°，
∴∠BFE＝180°﹣m°，
图b：由折叠的性质得到：∠EFC＝m°，
∴∠BFC＝m°﹣（180°﹣m°）＝2m°﹣180°，
图c：由折叠的性质得到：∠CFG＝2m°﹣180°，
∴∠CFE＝2m°﹣180°﹣（180°﹣m°）＝（3m﹣360）°，
故答案为：3m﹣360．
【点评】本题考查平行线的性质，折叠问题，列代数式，关键是应用折叠的性质来解决问题．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．完成下面的证明：
已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（　角平分线的定义　）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝　2∠2　（角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（　等式的性质　）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝　180°　（　等量代换　）．
∴AB∥CD（　同旁内角互补两直线平行　）．
【点拨】首先根据角平分线的定义可得∠BDC＝2∠1，∠ABD＝2∠2，根据等量代换可得∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2），进而得到∠ABD+∠BDC＝180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【解析】证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（ 角平分线的定义）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠2（角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 等式的性质）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 等量代换）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．
18．如图，已知∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
（1）求证：BE∥CD．
（2）若∠EDC：∠C＝7：3，求∠C的度数．
【点拨】（1）根据内错角相等，两直线平行可得DE∥AC，从而利用平行线的性质可得∠E＝∠ABE，然后利用等量代换可得：∠C＝∠ABE，从而利用同位角相等，两直线平行可得BE∥CD，即可解答；
（2）利用平行线的性质可得：∠C+∠EDC＝180°，然后进行计算即可解答．
【解析】（1）证明：∵∠A＝∠ADE，
∴DE∥AC，
∴∠E＝∠ABE，
∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD；
（2）解：∵BE∥CD，
∴∠C+∠EDC＝180°，
∵∠EDC：∠C＝7：3，
∴∠C＝180°×＝54°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
19．如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数．
【点拨】（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论；
（2）根据AB∥CD，∠2＝60°，得到∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC＝60°，又根据∠BAC＝2∠EAC，得到∠BAC＝∠ACD＝40°，最后根据平角的定义可求出∠DCE的度数，从而可求得∠B的度数．
【解析】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD∥BE；
（2）∵AB∥CD，∠2＝60°，
∴∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠DCE，
∴∠EAC+∠BAC＝60°，
∵∠BAC＝2∠EAC，
∴∠EAC＝20°，
∴∠BAC＝∠ACD＝40°，
∵∠1+∠ACD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴∠B＝∠DCE＝80°．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练运用定理进行推理是解答此题的关键．
20．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．
【点拨】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断；
（2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解．
【解析】（1）证明：∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∴AD∥EF；
（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，
∴∠1＝38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝38°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝38°．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质，并灵活运用．
21．如图，每个小正方形的边长为1，利用网格点画图和无刻度的直尺画图（保留画图痕迹）：
（1）在方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'，画出三角形A'B'C'；
（2）过点A画线段AD使AD∥BC且AD＝BC；
（3）图中AD与C′B'的关系是 　AD∥B′C′，AD＝B′C′　；
（4）点E在线段AD上，CE＝4，点H是直线CE上一动点，线段BH的最小值为 　　．
【点拨】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）利用数形结合的思想作出图形即可；
（3）根据平移变换的性质判断即可；
（4）根据垂线段最短，面积法求解．
【解析】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）如图，线段AD即为所求；
（3）由平移变换的性质可知AD∥B′C′，AD＝B′C′．
故答案为：AD∥B′C′，AD＝B′C′．
（4）当BH⊥CE时，BH的值最小．
∵S△CBE＝S△ACB＝×5×5﹣×1×4﹣1×1﹣×1×4＝ CE BH，
∴BH＝，
∴BH的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
22．如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由．
（2）若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数．
【点拨】（1）由同位角相等，两直线平行可得AB∥GD，从而得∠2＝∠BAD，则可求得∠BAD+∠3＝180°，即可证得EH∥AD；
（2）由平行线的性质可得∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC，可得∠BAC＝58°，再利用平行线的性质可求得∠H＝∠BAD，则可求∠4的度数，从而求∠H的度数．
【解析】解：（1）EH∥AD，理由如下：
∵∠1＝∠B，
∴AB∥GD，
∴∠2＝∠BAD，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠BAD+∠3＝180°，
∴EH∥AD；
（2）由（1）得AB∥GD，
∴∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC，
∵∠DGC＝58°，
∴∠BAC＝58°，
∵EH∥AD，
∴∠2＝∠H，
∴∠H＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，
∵∠H＝∠4+10°，
∴∠4+10°+∠4＝58°，
解得：∠4＝24°，
∴∠H＝34°．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
23．小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
（1）直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝60°，求∠APB的度数．
（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
【点拨】（1）过点P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，从而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度数；
（2）分情况讨论，当点P在线段CD上时，当点P在射线DF上时，当点P在射线CE上时，然后过点P作PH∥AC，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系．
【解析】解：（1）如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，
∵∠PAC＝15°，∠PBD＝60°，
∴∠APB＝15°+60°＝75°．
（2）①如图1，当点P在线段CD上时，
由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；
②如图2，当点P在射线DP上时，
过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；
③如图3，当点P在射线CE上时，
过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，
∵l1∥l2，
∴BD∥PH，
∴∠PBD＝∠BPH，
∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；
综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行线的性质得到内错角相等．
24．将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起（其中∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝60°，∠B＝30°，∠ECD＝∠EDC＝45°）．
（1）若∠ACE＝125°，则∠BCD的度数为 　10°　；
（2）如图，在此位置将三角形ABC绕点C顺时针转动，设∠BCD＝α，
①若AB∥CE，求α的度数（请说明理由）；
②当旋转角度不超过180°时，这两块三角尺除了AB∥CE外，是否还存在互相平行的边？若存在，请直接写出α的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）先求出∠ACB+∠ECD＝135°，∠BCD＝135°﹣∠ACE，即可得出结果；
（2）①分两种情况，由平行线的性质求解即可；
②分三种情况，由平行线的性质分别求解即可．
【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠ECD＝45°，
∴∠ACB+∠ECD＝135°，
∴∠BCD＝135°﹣∠ACE＝135°﹣125°＝10°；
故答案为：10°；
（2）①当AB在CE的上方时，
∵AB∥CE，
∴∠BCE＝∠B＝30°，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCD＝45°﹣30°＝15°，
即α＝15°；
当AB在CE的下方时，
∵AB∥CE，
∴∠ACE＝∠A＝60°，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣45°﹣60°＝165°；
综上所述，若AB∥CE，α的度数为15°或165°；
②除了AB∥CE外，还存在互相平行的边，
当AC∥DE时，α＝45°，
当AB∥DE时，α＝105°，
当BC∥DE时，α＝135°，
当AB∥CD时，α＝150°，
综上所述，还存在互相平行的边，α为45°或105°或135°或150°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
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