浙教版七下第三章专项训练：算两次（含答案）

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算两次
算两次就是将一个量用两种不同的方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，从而使问题得以解决。单壿老师将“算两次”原理形象地比喻为“三步舞曲”，即从两个方面考虑同一个量，“一方面………，另一方面………，综合起来可得”。
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，正方形ABCD的面积算两次，可以验证的一个等式：
2将图1中四个阴影小正方形拼成边长为a的正方形，如图2所示，根据两个图形中阴影部分面积间的关系，可以验证的一个等式： .
3．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式：
4.用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，a＞b）拼成如图所示的大正方形，通过计算图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式：
连续递推，豁然开朗
5．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种方式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1或图2来表示．
（1）上述的方法体现了一种数学思想方法，这种数学思想方法是 　 　．
A、转化思想 B、方程思想 C、数形结合思想 D、分类讨论
（2）请写出图3中所表示的整式乘法的等式 　 　 ．
（3）试画出一个几何图形，使它的面积能够表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．
（4）请仿照上述方法写出另一个含有a、b的等式，并画出与之对应的几何图形．
思维拓展，更上一层
6.数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．
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如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为_________
利用上面结论解决问题：若，则__________；
如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，
由此得到的等式为_________
利用上面结论解决问题：已知，
则__________；
如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），
由此得到的等式为_______
（6）若，请通过计算说明a、b、c满足上面结论．
参考答案
1.解：根据题意得：（a+b）2＝a2+2ab+b2
2.解：图2中的四个阴影小正方形可以拼成一个边长为（a﹣b）的正方形，如图1，因此面积为（a﹣b）2，图2中，四个阴影小正方形的面积和，可以看作从边长为a的大正方形中减去空白部分的面积，
即a2﹣2ab+b2，因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
3．解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
4.解：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
5．解析：（1）上述的方法体现了数形结合的数学思想方法； 故答案为：C；
（2）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；故答案为：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
（3）如图（答案不唯一），
（4）如图，等式是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2（答案不唯一）；
6..解：（1）大正方形整体表示面积为：，大正方形部分和表示面积为：，
∴由此可得等式为：；
（2）由（1）可得：，∴x+y=6，xy=2，∴，
∴；
（3）大正方形面积整体表示为：，大正方形面积部分和表示为：，故由此可得公式为：；
（4）∵a+b+c=7，ab+bc+ac=14，∴由（3）可得：，
∴；
（5）由题可得：大正方形面积整体表示为：，大正方形面积部分和表示为：，∴，∴；
（6）∵，，，∴，
，，∴，
∴．
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