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第一章 相交线与平行线
1.1 直线的相交 第1课时
一、实际情境，提出问题
二、问题解决，获取新知——这两条直线所成的四个角之间有什么关系？
【新知1-例1】下面图形中，两条直线相交的有 ①③ 。
① ② ③ ④
【解析】直线可以往两个方向延长，图③延长后，两条直线相交。
（变式练）满足直线AB与射线CD相交的图形可能是（ D ）。
A． B． C． D．
【新知1-例2】判断对错，并说明理由：两条不同的直线不能有两个或更多公共交点。
答：两条直线相交如果有2个或以上交点，则两直线重合，即为一条直线，故两条不同的直线不能有两个或更多公共交点，正确。
【新知1-例3】为了探究同一平面内的几条不同的直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示。
列表如下：
直线条数 最多交点个数 把平面最多分成的部分数
1 0 2
2 1 4
3 3 7
… … …
（1）当直线条数为5时，最多有 10 个交点，可写成和的形式为 1+2+3+4 ；把平面最多分成 16 部分，可写成和的形式为 1+1+2+3+4+5 。
（2）当直线条数为10时，最多有 45 个交点，把平面最多分成 56 部分。
（3）当直线条数为n时，最多有 个交点，把平面最多分成 部分。
【新知1-例4】任意画三条不重合的直线，交点的个数可能是（ C ）。
A．1 B．1或3 C．0或1或2或3 D．不能确定
【解析】任意画三条直线，相交的情况有四种可能：
①三条直线，没有交点（小学学过平行线）；
②三条直线相交于同一点，一个交点；
③两直线平行被第三直线所截，得到两个交点；
④两直线相交得到一个交点，又被第三直线所截，共三个交点。
（变式练）在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（ D ）
A．6个 B．1个或4个
C．6个或4个 D．1个或4个或6个
【解析】如下列三种情况，交点个数分别是：1个、4个、6个。
【新知2-例1】下面图形中，∠1与∠2互为对顶角的是 ①⑤ 。
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
【新知2-例2】如图，直线AB，CD，EF相交于点O，写出图中所有的对顶角。
解：图中对顶角有：∠AOC与∠BOD，∠AOF与∠BOE，∠COF与∠DOE，∠COB与∠DOA，∠BOF与∠AOE，∠DOF与∠COE。
【新知2-例3】（1）探索规律：借助【新知1-例3】的图，探究同一平面内不同的几条直线，每两条线相交（两两相交），总结此类对顶角的对数。
1条直线时，形成 0 对对顶角；2条直线相交时，形成 2 对对顶角；3条直线两两相交时，形成 6 对对顶角；4条直线两两相交时，形成 12 对对顶角；n条直线两两相交时，形成 n(n-1) 对对顶角。
（2）反思：下图中，每个图形成的对顶角对数，能用n(n-1)计算吗？
答：可以。每图都属于n条不同的直线两两相交的情况，可以用规律n(n-1)求出有6对对顶角。
（3）运用规律：
①9条不同的直线两两相交，能形成 72 对对顶角。
②如图，直线EF交∠AOB的两边于C，D两点，图中有 4 对对顶角。(思考：此图能直接用规律计算吗？为什么？）
答：此图不能直接用规律计算，3条线中有一条不是直线。
【新知3-例1】如图，直线AB与直线CD相交于点O，若∠AOC=30°，则∠BOD= 30 °，∠COB= 150 °，∠AOD= 150 °。
【新知3-例2】如图，直线AB和CD相交于点O，∠DOF=115°，OE平分∠BOF，∠EOF=25°，求∠AOC的度数。
解：因为OE平分∠BOF，∠EOF=25°，
所以∠BOF=2∠EOF=50°，
所以∠BOD=∠DOF-∠BOF=115°-50°=65°，
又因为∠AOC与∠BOD互为对顶角，
所以∠AOC=65°。
【新知3-例3】（培优）如图，已知点O是直线AB上一点，且∠AOC=∠BOD，那么C，O，D三点在同一条直线上吗？请说明理由。
解：C，O，D三点在同一条直线上。理由如下：
因为点O在直线AB上，所以∠AOC+∠AOD=180°，∠BOD+∠AOD=180°，又因为∠AOC=∠BOD，所以∠BOD+∠COB=180°，所以∠COB=∠AOD，根据对顶角的概念，可得OD与OC互为反向延长线，所以C，O，D三点在同一条直线上。
1.两条直线相交的概念：如果两条直线只有 一个 公共点,就说这两条直线相交；这个公共点叫作这两条直线的 交点 。
2.同一平面内，两条直线的交点个数可能是 0或1 个。
3.（培优）若同一平面，一共有条不重合的直线，交点的个数最多是 个，把平面最多分成 个部分。
4.对顶角的概念及其性质：（两直线相交→四角→两对对顶角）
（1）概念：如图，直线AB与CD相交，其交点是O，∠1，∠2，∠AOD，∠COB是直线AB与CD所成的角。我们把其中相对的任何一对角：我们把∠1与∠2或∠AOD与∠BOC叫作 对顶角 。
（2）对顶角 相等 。
符号语言：因为∠1与∠2互为对顶角，所以∠1=∠2。
写出上图中的两组对顶角： ∠1 = ∠2 ， ∠AOD = ∠COB 。
与∠1互补的角有 ∠AOD、∠COB ；与∠2互补的角有 ∠AOD、∠COB 。
练习目标：①掌握直线相交和交点的概念。②理解对顶角概念，探索并掌握对顶角相等的性质。
1.根据语句“直线a与直线b相交，交点为A”画出的图形是（ C ）。
A． B． C． D．
2.下列说法中：①两条直线相交只有一个交点；②两条直线不是一定有公共点；③两条不同的直线最多有2个交点。其中正确的是（ A ）。
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3.图中对顶角有（ D ）对。
A．3 B．4 C．5 D．6
第2题图 第3题图
4.如图，一把张开的剪刀，给我们两条直线相交的形象，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系不一定成立的是（ B ）
A．∠1+∠2=180° B．∠1-∠3=90° C．∠2=∠3 D．∠3+∠1=180°
5.下列说法正确的有（ B ）
①对顶角相等；②互补的两个角是邻补角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.如图给出的射线、直线、线段，其中不能相交的图形有 ②④ 。
7.如图1，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如图2，小轩分别延长AO至点C，BO至点D，则可得∠AOB=∠COD，小轩测量∠AOB的依据是 对顶角相等 。
第7题图 第8题图
8.如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象。若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变了 14 °。
9.如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分。
（1）图中∠AOC的对顶角为 ∠BOD ，∠BOE的邻补角为 ∠AOE ；
（2）若∠AOC=80°，∠DOE=48°，求∠AOE的度数。
解：由条件可知∠BOD=80°，
又因为∠DOE=48°，且∠BOD=∠BOE+∠EOD，
所以∠EOD=80°-48°=32°。
所以∠AOE=180°-∠BOE=180°-32°=148°。
10.如图，若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是（ A ）
A．点D B．点E C．点Q D．点M
第10题图 第11题图
11.如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与∠AOM互为对顶角的是（ D ）。
A．∠MOE B．∠NOB C．∠B′OB D．∠B′ON
12.如图，取两根木条a,b,将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条a,转动木条b,当∠1减小5°时，下列说法正确的是（ A ）
A．∠2增大5° B．∠3增大5°
C．∠4减小5° D．∠2与∠4的和增大5°
第12题图 第13题图
13.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝40°，若∠3比∠2的2倍多10°，则∠2的度数为
（ C ）。
A．20° B．25° C．30° D．35°
14.一张大饼，切18刀（不叠放），最多可以分成的块数为（ B ）块。
A．160 B．172 C．200 D．211
15.平面内8条不重合的直线相交，最多有 28 个交点。
16.平面内有两两相交的4条直线，如果最多有m个交点，最少有n个交点，那么m-n= 5 。
17.若n条不同的直线两两相交时，可形成 n(n-1) 对对顶角。
18.如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE。若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数。
解：因为∠AOC：∠AOD＝1：5，所以∠AOC180°＝30°，所以∠BOD＝∠EOD＝30°，所以∠AOE＝120°，所以∠EOF∠AOE＝60°。
19.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度数。
解：因为∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，
所以∠EOC90°＝30°，
因为∠AOD＝80°，
所以∠BOC＝∠AOD＝80°，
所以∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝30°+80°＝110°。
20.随着科技的发展，在公共区域内安装“360°智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段，如图1所示，这是某仓库的平面图，点Q是图形内任意一点，点P1是图形内的点，连接P1Q，若线段P1Q总是在图形内或图形上，则称P1是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而P2不是“完美观测点”。如图2，以下各点是完美观测点的是（ D ）
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
【解析】根据题意，可得某点与图形上的任意一点的所有线段中，与图形中的四周没有交点，改点即为与“完美观测点”。如图，虚线上及其内部的点都是“完美观测点”。因为点M4在虚线上，所以点M4是“完美观测点”。
21.在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则 。
22.如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF∠AOD。
（1）如图1，若∠AOC＝120°，求∠EOC的度数；
（2）如图2，若∠AOC＝α（60°＜α＜180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，
①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；
②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系。
（3）如图3，0°＜∠AOC＜120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系。
解：（1）因为∠AOC＝120°，所以∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
所以∠DOF∠AOD＝20°，所以∠EOC＝∠DOF＝20°；
（2）①因为∠AOC＝α，所以∠AOD＝180°﹣α，所以∠DOF∠AOD＝60°，
所以∠EOC＝∠DOF＝60°，由题意得：∠AOB＝60°，所以∠BOC＝α﹣60°，
所以∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝60°α﹣60°；
②观察①中结果可得：∠EOB，理由：因为∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝∠AOC﹣60°，所以∠DOF∠AOD＝60°∠AOC，
所以∠EOC＝∠DOF＝60°∠AOC，所以∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝60°∠AOC+∠AOC﹣60°∠AOC；
（3）①当0°＜∠AOC≤90°时，
如图，
因为∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝∠AOC+60°，
所以∠DOF∠AOD＝60°∠AOC，
所以∠EOC＝∠DOF＝60°∠AOC，
所以∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝60°∠AOC+∠AOC+60°∠AOC+120°；
②当90°＜∠AOC≤120°时，
如图，
因为∠AOD＝180°﹣∠AOC，∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝∠AOC+60°，
所以∠DOF∠AOD＝60°∠AOC，
所以∠EOC＝∠DOF＝60°∠AOC，
所以∠EOC+∠BOC＝60°∠AOC+∠AOC+60°∠AOC+120°，
所以∠EOB＝360°﹣（∠EOC+∠BOC）＝360°∠AOC﹣120°＝240°∠AOC。
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第一章 相交线与平行线
1.1 直线的相交 第1课时
一、实际情境，提出问题
二、问题解决，获取新知——这两条直线所成的四个角之间有什么关系？
【新知1-例1】下面图形中，两条直线相交的有 。
① ② ③ ④
（变式练）满足直线AB与射线CD相交的图形可能是（ ）。
A． B． C． D．
【新知1-例2】判断对错，并说明理由：两条不同的直线不能有两个或更多公共交点。
【新知1-例3】为了探究同一平面内的几条不同的直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示。
列表如下：
直线条数 最多交点个数 把平面最多分成的部分数
1 0 2
2 1 4
3 3 7
… … …
（1）当直线条数为5时，最多有 个交点，可写成和的形式为 ；把平面最多分成 部分，可写成和的形式为 。
（2）当直线条数为10时，最多有 个交点，把平面最多分成 部分。
（3）当直线条数为n时，最多有 个交点，把平面最多分成 部分。
【新知1-例4】任意画三条不重合的直线，交点的个数可能是（ ）。
A．1 B．1或3 C．0或1或2或3 D．不能确定
（变式练）在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（ ）
A．6个 B．1个或4个
C．6个或4个 D．1个或4个或6个
【新知2-例1】下面图形中，∠1与∠2互为对顶角的是 。
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
【新知2-例2】如图，直线AB，CD，EF相交于点O，写出图中所有的对顶角。
【新知2-例3】（1）探索规律：借助【新知1-例3】的图，探究同一平面内不同的几条直线，每两条线相交（两两相交），总结此类对顶角的对数。
1条直线时，形成 对对顶角；2条直线相交时，形成 对对顶角；3条直线两两相交时，形成 对对顶角；4条直线两两相交时，形成 对对顶角；n条直线两两相交时，形成 对对顶角。
（2）反思：下图中，每个图形成的对顶角对数，能用n(n-1)计算吗？
答：可以。每图都属于n条不同的直线两两相交的情况，可以用规律n(n-1)求出有6对对顶角。
（3）运用规律：
①9条不同的直线两两相交，能形成 对对顶角。
②如图，直线EF交∠AOB的两边于C，D两点，图中有 对对顶角。(思考：此图能直接用规律计算吗？为什么？）
【新知3-例1】如图，直线AB与直线CD相交于点O，若∠AOC=30°，则∠BOD= °，∠COB= °，∠AOD= °。
【新知3-例2】如图，直线AB和CD相交于点O，∠DOF=115°，OE平分∠BOF，∠EOF=25°，求∠AOC的度数。
【新知3-例3】（培优）如图，已知点O是直线AB上一点，且∠AOC=∠BOD，那么C，O，D三点在同一条直线上吗？请说明理由。
1.两条直线相交的概念：如果两条直线只有 公共点,就说这两条直线相交；这个公共点叫作这两条直线的 。
2.同一平面内，两条直线的交点个数可能是 个。
3.（培优）若同一平面，一共有条不重合的直线，交点的个数最多是 个，把平面最多分成 个部分。
4.对顶角的概念及其性质：（两直线相交→四角→两对对顶角）
（1）概念：如图，直线AB与CD相交，其交点是O，∠1，∠2，∠AOD，∠COB是直线AB与CD所成的角。我们把其中相对的任何一对角：我们把∠1与∠2或∠AOD与∠BOC叫作 。
（2）对顶角 。
符号语言：因为∠1与∠2互为对顶角，所以∠1=∠2。
写出上图中的两组对顶角： = ， = 。
与∠1互补的角有 ；与∠2互补的角有 。
练习目标：①掌握直线相交和交点的概念。②理解对顶角概念，探索并掌握对顶角相等的性质。
1.根据语句“直线a与直线b相交，交点为A”画出的图形是（ ）。
A． B． C． D．
2.下列说法中：①两条直线相交只有一个交点；②两条直线不是一定有公共点；③两条不同的直线最多有2个交点。其中正确的是（ ）。
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3.图中对顶角有（ ）对。
A．3 B．4 C．5 D．6
第2题图 第3题图
4.如图，一把张开的剪刀，给我们两条直线相交的形象，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2=180° B．∠1-∠3=90° C．∠2=∠3 D．∠3+∠1=180°
5.下列说法正确的有（ ）
①对顶角相等；②互补的两个角是邻补角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.如图给出的射线、直线、线段，其中不能相交的图形有 。
7.如图1，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如图2，小轩分别延长AO至点C，BO至点D，则可得∠AOB=∠COD，小轩测量∠AOB的依据是 。
第7题图 第8题图
8.如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象。若∠1=42°，∠2=28°，则光的传播方向改变了 °。
9.如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分。
（1）图中∠AOC的对顶角为 ，∠BOE的邻补角为 ；
（2）若∠AOC=80°，∠DOE=48°，求∠AOE的度数。
10.如图，若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是（ A ）
A．点D B．点E C．点Q D．点M
第10题图 第11题图
11.如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与∠AOM互为对顶角的是
（ ）。
A．∠MOE B．∠NOB C．∠B′OB D．∠B′ON
12.如图，取两根木条a,b,将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条a,转动木条b,当∠1减小5°时，下列说法正确的是（ ）
A．∠2增大5° B．∠3增大5°
C．∠4减小5° D．∠2与∠4的和增大5°
第12题图 第13题图
13.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝40°，若∠3比∠2的2倍多10°，则∠2的度数为
（ ）。
A．20° B．25° C．30° D．35°
14.一张大饼，切18刀（不叠放），最多可以分成的块数为（ ）块。
A．160 B．172 C．200 D．211
15.平面内8条不重合的直线相交，最多有 个交点。
16.平面内有两两相交的4条直线，如果最多有m个交点，最少有n个交点，那么m-n= 。
17.若n条不同的直线两两相交时，可形成 对对顶角。
18.如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE。若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数。
19.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度数。
20.随着科技的发展，在公共区域内安装“360°智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段，如图1所示，这是某仓库的平面图，点Q是图形内任意一点，点P1是图形内的点，连接P1Q，若线段P1Q总是在图形内或图形上，则称P1是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而P2不是“完美观测点”。如图2，以下各点是完美观测点的是（ D ）
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
21.在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则 。
22.如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF∠AOD。
（1）如图1，若∠AOC＝120°，求∠EOC的度数；
（2）如图2，若∠AOC＝α（60°＜α＜180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，
①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；
②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系。
（3）如图3，0°＜∠AOC＜120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系。
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