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二元一次方程组 单元同步检测培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二元一次方程组的解是，则括号内的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x，y的二元一次方程的正整数解的组数有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4．已知方程组，则
A．26 B．13 C．39 D．20
5．如图， 8个一样大小的长方形，可以拼成一个大的长方形如图1，也可以拼成如图2那样的正方形，中间恰好是边长为3cm的小正方形，则每个小长方形的面积为
A．96cm2 B．108cm2 C．127cm2 D．135cm2
6． 有甲、乙、丙三种商品， 如果购买 3 件甲商品、 2 件乙商品、 1 件丙商品共需 315 元， 购买 1 件甲商品、 2 件乙商品、 3 件丙商品共需 285 元， 那么购买甲、乙、丙三种商品各 1 件共需（ ）
A．50 元 B．100 元 C．150 元 D．200 元
7． 当方程组 可直接用加减法消去 时， 的关系应该为（ ）
A．相等 B．绝对值相等 C．互为相反数 D．互为倒数
8．用代入法解方程组 下面的变形正确的是( )
A． B． C． D．
9．对于代数式ax+b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，-1，-3.若其中有一个是错误的，则错误的结果是（ ）
A．3 B．2 C．-1 D．-3
10．某车间每天能生产甲种零件120个或者乙种零件100个.3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，要在27天内生产最多的成套产品，问甲、乙两种零件各生产几天？设甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．将方程变形成用的代数式表示，则 ．
12．方程组是关于的二元一次方程组，则的值是
13．一本书上写着方程组的解是其中的值被墨渍盖住了，不过仍能求出
14．若是方程的一个解﹐则 ．
15．已知是二元一次方程组的解，则 ．
16．若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．方程组的解满足2x－ky＝10（k是常数）.
（1）求k的值；
（2）求出关于x，y的方程(k－1)x＋2y＝13的正整数解.
18．已知是二元一次方程的一个解．
（1）则
（2）试直接写出二元一次方程的所有正整数解．
19．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．
（1）打折前，买一件A商品和一件B商品各需多少元？
（2）打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花了多少钱？
20．某农业科学研究院对A、B两种玉米进行实验种植，已知去年两种玉米分别种植10亩，B种玉米的平均亩产量比A种玉米的平均亩产量高，且在两种玉米的市场销售价格均为2.4元/的情况下，全部售出这两种玉米后总收入为21600元．
（1）求A，B两种玉米去年的平均亩产量；
（2）在保持种植面积不变的情况下，预计今年A，B两种玉米的平均亩产量将比去年平均亩产量分别增加和，且总产量将比去年总产量增加280千克，求a的值．
21．
（1）请补充完成框图中解方程组的过程，将序号答案填到横线上．
① ；② ；③ ；④ ．
（2）上面框图所表示的解方程组的方法是 ．
22．小王家购买了一套经济适用房，他家准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
（1）写出用含、的代数式表示地面总面积；
（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？
23．解方程组
解：设，
原方程组可以化为
解得
即：此种解方程组的方法叫换元法.
（1）运用上述方法解下列方程组；
（2）已知关于x，y的方程组的解为，求关于m、n的方程组的解.
24．某班级学生打算购入多肉植物为教室增添绿色气息．该班学生在市场上了解到甲、乙两种多肉的价格和大小都比较合适，现有如下信息：
（1）求甲、乙两种多肉每个分别是多少元
（2）若该班同学购买多肉共花费120元，设甲、乙两种多肉分别购买m个，n个（，）．
①用含m的代数式表示n．
②若m，n均为偶数，求出所有满足条件的购买方案，并指出哪种购买方案总数量最多．
25．某校准备组织七年级学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；现有学生400人，计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满.
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可运送多少学生？
（2）请你帮学校设计出所有的租车方案.
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二元一次方程组 单元同步检测培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、x2+y=5，最高次数为2，不是二元一次方程，A选项不符合题意；
B、y=-1，含有分式，不是二元一次方程，B选项不符合题意；
C、2x-3y=0，是二元一次方程，C选项符合题意；
A、x+y+z=3，含有三个未知数，不是二元一次方程，D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二元一次方程定义，即只含有两个未知数，且未知数次数都为1的整式方程，据此逐项判断即可得出正确答案.
2．已知二元一次方程组的解是，则括号内的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：将方程组的解依次代入方程，对于A，3-4×(-2)=11，故不符合题意；对于B，-2≠3-1明显错误，不符合题意；对于C，3≠-2×2+5，不符合题意；对于D，-2×2-3×3=-13，符合题意.
故答案为：D .
【分析】依次将方程组的解代入选项中的方程中直接验证，即可得结果.
3．关于x，y的二元一次方程的正整数解的组数有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【解析】【解答】解：穷举当x=1时，y=4；当x=2，y=1；而当x=3时，y=-2(不符合题意)，只有2组结果.
故答案为：B.
【分析】直接对x、y进行穷举即可得到结果.
4．已知方程组，则
A．26 B．13 C．39 D．20
【答案】B
【解析】【解答】解：，
①+②，可得6x+3y=39，
∴2x+y=39÷3=13．
故答案为：B.
【分析】观察方程组中两个方程系数的特点，直接将两个方程相加，再在所得方程的两边同时除以3即可求解.
5．如图， 8个一样大小的长方形，可以拼成一个大的长方形如图1，也可以拼成如图2那样的正方形，中间恰好是边长为3cm的小正方形，则每个小长方形的面积为
A．96cm2 B．108cm2 C．127cm2 D．135cm2
【答案】D
【解析】【解答】解：设每个小正方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：，
解得：，
∴xy=15×9=135cm2.
答： 每个小长方形的面积为135cm2.
【分析】设每个小正方形的长为xcm，宽为ycm，由图1中长方形的长相等，图2中2小矩形的宽=小矩形的长+3，列出方程组并解之，再利用长方形的面积公式计算即可.
6． 有甲、乙、丙三种商品， 如果购买 3 件甲商品、 2 件乙商品、 1 件丙商品共需 315 元， 购买 1 件甲商品、 2 件乙商品、 3 件丙商品共需 285 元， 那么购买甲、乙、丙三种商品各 1 件共需（ ）
A．50 元 B．100 元 C．150 元 D．200 元
【答案】C
【解析】【解答】解：设一件甲商品x元，乙商品y元，丙商品z元，
根据题意可知，，
得3x+4y+4z=600，
即x+y+z=150；
∴购买甲、乙、丙三种商品各 1 件共需150元.
故答案为：C.
【分析】设一件甲商品x元，乙商品y元，丙商品z元，根据“ 购买3件甲商品、 2件乙商品、 1件丙商品共需315元 ”列出方程3x+2y+z=315，根据“ 购买1件甲商品、 2件乙商品、 3件丙商品共需285元 ”列出方程x+2y+3z=285，再将两方程直接相加后整理可得答案.
7． 当方程组 可直接用加减法消去 时， 的关系应该为（ ）
A．相等 B．绝对值相等 C．互为相反数 D．互为倒数
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 可直接用加减法消去，
∴两个方程中字母x的系数可能互为相反数，即a+b=0，也可能相等，即a-b=0，
∴ 的关系应该为绝对值相等.
故答案为：B.
【分析】根据方程组可直接用加减法消去，得到两个方程中字母x的系数可能互为相反数也可能相等，即可得到 的关系应该为绝对值相等.
8．用代入法解方程组 下面的变形正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：将x=2y+1代入2y-3x=1得2y-3(2y+1)=1，去括号得2y-6y-3=1.
故答案为：A.
【分析】将x=2y+1代入2y-3x=1并去括号即可.
9．对于代数式ax+b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，-1，-3.若其中有一个是错误的，则错误的结果是（ ）
A．3 B．2 C．-1 D．-3
【答案】B
【解析】【解答】解：设y=ax+b，把x=3，y=3；x=2，y=2；x=1，y=-1；x=0，y=-3分别代入y=ax+b，得3a+b=3；2a+b=2；a+b=-1；0+b=-3.分别组方程组得：
；
解得：
；
解得：
解得：
∵四个结果中只有一个是错误的，
∴错误的结果是2
故答案为：B.
【分析】把x的四个值分别代入ax+b，会得到四个不同的方程。然后分别用两个组方程组解出，看有一个方程组的解与其他的不同，说明这个结果是错误的.
10．某车间每天能生产甲种零件120个或者乙种零件100个.3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，要在27天内生产最多的成套产品，问甲、乙两种零件各生产几天？设甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知：
甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，则甲种零件有 ，乙种零件有 ，
3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，则 ，即
故答案为：B.
【分析】 设甲种零件生产x天，乙种零件生产y天， 根据总时间为27天， 3个甲种零件与2个乙种零件配成一套， 列出二元一次方程组求解即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．将方程变形成用的代数式表示，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解： 已知
则y=2x-7
故答案为：2x-7
【分析】根据等式的基本性质改写即可。
12．方程组是关于的二元一次方程组，则的值是
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵ 方程组是关于的二元一次方程组，
∴a-1≠0，b-5=0，，
∴b=5，a=-1，
∴.
故答案为：-1.
【分析】利用二元一次方程组的定义求解即可.
13．一本书上写着方程组的解是其中的值被墨渍盖住了，不过仍能求出
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵ 方程组的解是
∴0.5＋y=1，
解得y=0.5，
则将x=0.5、y=0.5代入x+py=0可得0.5＋0.5p=0，
解得p=-1.
故答案为：-1.
【分析】将x=0.5代入x+y=1可求出y的值，进而代入x+py=0求出p即可.
14．若是方程的一个解﹐则 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解﹐
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】根据方程解的定义将代入方程得到，然后将待求式子含字母的部分你用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
15．已知是二元一次方程组的解，则 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：
得：
将代入①中得：，
解得：，
该方程组的解为：，
，，
，
故答案为：．
【分析】由题意，用加减消元法解二元一次方程组求出、的值，再代入所求代数式计算即可求解．
16．若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
又元一次方程组
与
有相同的解
∴
解得，
故答案为：
【分析】根据题意可得
，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．方程组的解满足2x－ky＝10（k是常数）.
（1）求k的值；
（2）求出关于x，y的方程(k－1)x＋2y＝13的正整数解.
【答案】（1）解：，
把①×2得：③，
用②+③得：，解得，
把代入①，解得，
∴方程组的解为：，
将代入得：，
解得：；
（2）解：把代入方程得：
，即，
∵x、y都是正整数，
∴，
∴，
当时，；
当时，；
∴关于x，y的方程的正整数解为或.
【解析】【分析】（1）利用第一个方程的2倍加上第二个方程可求出x的值，将x的值代入第一个方程中求出y的值，据此可得方程组的解，然后将x、y的值代入2x-ky=10中进行计算可得k的值；
（2）将k的值代入(k-1)x+2y=13中可得x、y的关系式，表示出y，由x、y均为正整数可得x、y的值，据此可得方程的正整数解.
18．已知是二元一次方程的一个解．
（1）则
（2）试直接写出二元一次方程的所有正整数解．
【答案】（1）5
（2）解：所有正整数解为：，．
【解析】【解答】（1）将代入二元一次方程2x+y=a中可得：，a=5；故答案为：5
（2）把a=5代入方程2x+y=a中可得：2x+y=5，所以可列出所有正整数解为：，．
【分析】（1）将代入求出a的值即可；
（2）利用二元一次方程的解法求解即可。
19．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．
（1）打折前，买一件A商品和一件B商品各需多少元？
（2）打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花了多少钱？
【答案】（1）解：设打折前，买一件A商品x元，一件B商品y元
解得：
答：打折前，买一件A商品需16元，一件B商品需4元．
（2）解：（元）
答：打折后，买500件A商品和500件B商品，比不打折少花了400元．
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求解即可；
（2）根据 打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元， 再求解即可。
20．某农业科学研究院对A、B两种玉米进行实验种植，已知去年两种玉米分别种植10亩，B种玉米的平均亩产量比A种玉米的平均亩产量高，且在两种玉米的市场销售价格均为2.4元/的情况下，全部售出这两种玉米后总收入为21600元．
（1）求A，B两种玉米去年的平均亩产量；
（2）在保持种植面积不变的情况下，预计今年A，B两种玉米的平均亩产量将比去年平均亩产量分别增加和，且总产量将比去年总产量增加280千克，求a的值．
【答案】（1）解：设A，B两种玉米去年的平均亩产量分别为和，
根据题意，得： ，
解方程组得： ，
答：A，B两种玉米去年的平均亩产量分别为400kg和500kg；
（2）解：根据题意，得：
= ，
解得：．
【解析】【分析】（1）设A，B两种玉米去年的平均亩产量分别为xkg和ykg，根据B种玉米的平均亩产量比A种玉米的平均亩产量高100kg可得y-x=100；根据总收入为21600元可得2.4×10(x+y)=21600，联立求解即可；
（2）根据A的种植亩数×A种玉米去年的平均亩产量×(1+a%)+B的种植亩数×B种玉米去年的平均亩产量×(1+2a%)可表示出今年的总产量，去年的总产量为10×(400+500)，然后根据总产量将比去年总产量增加280千克列出关于a的方程，求解即可.
21．
（1）请补充完成框图中解方程组的过程，将序号答案填到横线上．
① ；② ；③ ；④ ．
（2）上面框图所表示的解方程组的方法是 ．
【答案】（1）1-2x；1-2x；1；1
（2）代入消元法
【解析】【解答】（1）由2x+y=1，可得y=-2x+1①，再将①代入3x-2y=5可得3x+2（1-2x）=5，求得x=1③，再将③代入①，求出y=-1；（2）代入消元法。
故答案为：（1）①1-2x；②1-2x；③1；④-1；（2）代入消元法。
【分析】利用代入消元法求解二元一次方程组即可。
22．小王家购买了一套经济适用房，他家准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
（1）写出用含、的代数式表示地面总面积；
（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？
【答案】（1）解：地面总面积为：6x＋2y＋3×4+2×3=（6x＋2y＋18）2；
（2）解：由题意，得
解之，得
∴地面总面积为：6x＋2y＋18＝6×4＋2×＋18＝45（2）．
∵铺12地砖的平均费用为80元
∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）．
【解析】【分析】（1）根据题中图形表示出地面总面积即可；
（2）根据客厅面积比卫生间面积多21平方米，且地面总面积是卫生间面积的15倍，列出方程组，求出方程组的解得出x、y的值，代入计算即可得出答案。
23．解方程组
解：设，
原方程组可以化为
解得
即：此种解方程组的方法叫换元法.
（1）运用上述方法解下列方程组；
（2）已知关于x，y的方程组的解为，求关于m、n的方程组的解.
【答案】（1）解：设，，
∴原方程组可变为：，
解这个方程组得，
即，
所以；
（2）解：由题意得，，
解得：.
【解析】【分析】（1）观察方程组中含未知数的特点：可知设 ，， 可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，然后回代，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.
（2）将m-2和n+3看着整体，可得到m-2=6，n+3=7，解方程求出m，n的值.
24．某班级学生打算购入多肉植物为教室增添绿色气息．该班学生在市场上了解到甲、乙两种多肉的价格和大小都比较合适，现有如下信息：
（1）求甲、乙两种多肉每个分别是多少元
（2）若该班同学购买多肉共花费120元，设甲、乙两种多肉分别购买m个，n个（，）．
①用含m的代数式表示n．
②若m，n均为偶数，求出所有满足条件的购买方案，并指出哪种购买方案总数量最多．
【答案】（1）解：设甲种多肉的单价为x元/个，乙种多肉的单价为y元/个，
由题意，得：，
整理，解得：，
答：甲种多肉的单价为6元/个，乙种多肉的单价为8元/个．
（2）解：①设甲、乙两种多肉分别购买m个，n个（m≥1，n≥1），
由题意，得：，
整理，得n=15-m；
②由①可知：n=15-m，
∵m，n均为偶数，且m≥1，n≥1
∴m=12，n=6或m=4，n=12，
即购买甲12个，乙6个或购买甲4个，乙12个，
∴购买总数量最多的方案为甲种多肉为12个，乙种多肉为6个．
【解析】【分析】（1）设甲种多肉的单价为x元/个，乙种多肉的单价为y元/个，由“购买5个甲和1个乙需38元”和“购买2个甲和3个乙共需36元”可列方程组，解之即可求得甲种多肉和乙种多肉的单价；
（2）①由（1）可知种多肉的单价为6元/个，乙种多肉的单价为8元/个，则购买甲、乙多肉共花费120元，即6m+8n=120，整理得n=15-m；②由①可知：n=15-m，根据m和n均为大于1偶数，可得m=12，n=6或m=4，n=12时符合题意，即购买甲12个，乙6个或购买甲4个，乙12个，其中购买总数量最多的方案为甲种多肉为12个，乙种多肉为6个．
25．某校准备组织七年级学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；现有学生400人，计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满.
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可运送多少学生？
（2）请你帮学校设计出所有的租车方案.
【答案】（1）解：设1辆小客车一次可送学生x人，1辆大客车都坐满后一次可送y名学生，
由题意，得，
解得，
即.
答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生；
（2）解：设租小客车a辆，大客车b辆，由题意，得：，
可变形为.
∵每辆汽车恰好都坐满，且a、b的值均为非负整数，
∴a、b可取，，，
∴租车方案有3种，①小客车20辆，大客车0辆；②小客车11辆，大客车4辆：③小客车2辆，大客车8辆.
【解析】【分析】（1）设1辆小客车一次可送学生x人，1辆大客车都坐满后一次可送y名学生，根据“用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人”列出方程组并解之即可；
（2）设租小客车a辆，大客车b辆，由题意得， 求出a、b的非负整数解即可.
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