猪蹄模型—浙教版数学七下解题模型专项训练
一、选择题
1．如图，若a∥b，则∠1的大小为( ).
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；猪蹄模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点A作DA∥a，
∵a∥b，
∴b∥DA，
∴∠BAD=∠B=30°，∠DAC=∠C=40°，
∴∠1=∠BAD+∠DAC=30°+40°=70°，
故答案为：B.
【分析】过点A作DA∥a，根据平行的传递性得b∥DA，然后由两直线平行，内错角相等得∠BAD=∠B=30°，∠DAC=∠C=40°，即可求解.
2．（2024·富阳模拟）如图，将一块含有的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点作，
．
故答案为：C．
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，，由，得，即可得到答案．
3．如图， 的直角顶点 在直线 上． 若 ， 则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过B作BD∥a，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠CBD=∠2=25°，∠1=∠ABD，
∵∠ACB=90°，∠A=43°，
∴∠ABC=90°-∠A=47°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=47°-25°=22°
∴∠1=22°．
故答案为：B.
【分析】过B作BD∥a，得到BD∥b，推出∠CBD=∠2=25°，∠1=∠ABD，由直角三角形的性质得到∠ABC=90°-∠A=47°，因此∠ABD=∠ABC-∠CBD=22°，即可得到∠1=22°。
4．如图， 为 之间的一点， 已知 ， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点P作PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠1=∠3=35°，∠2=∠4=25°，
∴∠BPC=∠3+∠4=∠1+∠2=35°+25°=60°．
故答案为：B.
【分析】过点P作PN∥AB，根据平行公理的推论得到PN∥CD，再根据平行线的性质解答即可。
5．如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，点G在直线CD上，∠EFG的平分线FH交直线CD于点H，∠AEF 的平分线EM和∠CGF的平分线GM相交于点M.若∠BEF=130°，∠FHC=15°，则∠M的度数为（ ）
A．65° B．55° C．50° D．45°
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：如图，延长EF交CD于点P，作，
，
，，
，
，
平分，
，
，
分别平分，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质求得的度数，再通过三角形外角定理计算出的度数，接着有角平分线的定义得到的度数，进而求得的度数，作，易得，利用平行线的性质求得的度数.
6．如图， 已知 分别平分 和， 且交于点， 则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】解：过点 作， 如图，
整理得 ．
故选：C.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质及角平分线的概念即可推理分析目标角的度数，不熟练的情况可以通过设二元进行关系表示更为直观.
7．①如图 1 所示， ， 则 ； ②如图 2 所示， ， 则 ； ③如图 3 所示， ， 则 ； ④如图 4 所示， ， 则 ． 以上结论正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过图1、2、3的点E作直线EF平行AB，过图4点P作PF∥AB，如下图；
∵AB∥CD∥EF
∴∠A+∠E+∠C=360°，①错误；
∵AB∥CD∥EF
∴∠E=∠A+∠C，②正确；
∵AB∥CD∥EF
∴∠A+∠E-∠1=180°，③正确；
∵AB∥CD
∴∠A=∠C+∠P，④正确；
∴②③④正确，正确的个数为3个
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解题即可.
二、填空题
8．（2024七下·杭州期中）如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为 ．
【答案】54°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：
∵AE平分∠DAF，
∴设∠EAF=∠DAE=x，
又∵AD⊥PQ，，，
∴∠AFD=90°-∠DAF=90°-2x，∠ACB=，∠ACD=90°-∠CAE-∠DAE=45°-x，
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACD=+(45°-x)=，
又∵AB∥PQ，
∴∠MBC=∠BCQ=，
又∵BC平分∠ABM，
∴∠ABM=2∠MBC=3x+90°，
∴∠ABN=180°-∠ABM=90°-3x，
如图，过点A作AG∥MN，
∵MN∥PQ，
∴AG∥PQ，
∴∠BAG=∠ABN=90°-3x，∠FAG=∠AFD=90°-2x，
又∵AB⊥AF，
∴∠BAF=∠ABN+∠AFD=(90°-3x)+(90°-2x)=90°，解得x=18°，
∴∠AFD=90°-2x=90°-36°=54°，
故填：54°.
【分析】由已知条件的角度关系，根据角度较小且含多个角度直接关联，可直接设∠EAF=∠DAE=x，利用已知条件信息及平行线的性质逐一表示各个角度，为求出目标角的度数，在表示的基础上进一步利用“猪蹄模型”得出等量关系解之即可.
9．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
【答案】32°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，
∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，
∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD，
∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD，
∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，
∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°，
∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG，
∴，，
∴，
∵∠KHF=∠HFD=20°，
∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°，
∵MP∥AB，AB∥KH，
∴MP∥KH，
∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK，
∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32°.
故答案为：32°.
【分析】过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据平行公理的推论得GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，然后根据平行线的性质得∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，进而利用锯齿模型求得∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD=104°.接下来根据角平分线的定义得，，从而得，进一步求出∠AEM+∠MHK=32°，最后再根据平行线的性质，利用猪蹄模型得∠AEM+∠MHK=∠EMH=32°.
10． 如图， 已知 ， 记 ， 则
【答案】
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点E作EH平行AB，如下图：
∵AB∥CD，EH∥AB
∴AB∥EH∥CD
∴∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF
∴∠AEC=∠AEH+∠HEC=∠EAB+∠ECD=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD
同理，可得∠AFC=∠BAF+∠DCF ；
∵∠EAF=∠BAF，∠ECF=∠DCF
∴∠AEC=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD=∠EAF+∠BAF+∠DCF+∠FCD=∠BAF+∠DCF
=（∠BAF+∠FCD）=∠AFC
∵∠AEC=m∠AFC
∴m=
故答案为：.
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得AB∥EH∥CD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF；根据角的运算和等量代换原则，可得∠AEC=∠AFC，进而可得m的值.
11．（2024七下·宁波期中） 如图，已知，和分别平分和，若，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：延长DE交AB于点N，延长BF交CD于点M，如图所示：
∴∠NBE+∠BNE=∠BED，∠MDF+∠DMF=∠BFD.
∵和分别平分和，
∴∠NBF=2∠NBE，∠MDE=2∠MDF.
∵AB∥CD，
∴∠BNE=∠MDE，∠NBF=∠DMF.
∵
∴2(∠NBE+∠BNE)－(∠MDF+∠DMF)
∴∠CDE=∠MDE=34°.
故答案为：
【分析】根据三角形外角性质可得∠NBE+∠BNE=∠BED，∠MDF+∠DMF=∠BFD.根据平行线的性质可得∠BNE=∠MDE，∠NBF=∠DMF.根据角平分线的性质得∠NBF=2∠NBE，∠MDE=2∠MDF.最后代入 ，并进行等量代换，即可得到关于∠MDE的方程，求解即可.
三、解答题
12．如图 1， 已知直线 ， 点 分别在直线 与 上， 点 为两平行线间一点．
（1） 求证： ①；
②．
（2） 利用 (1) 的结论解答：
① 如图 2， 分别平分 ， ， 请你直接写出 与 的数量关系．
② 如图 分别平分 ， ， 若 ， 求 的度数．
【答案】（1）证明：①如图，过点 作 ，
则 ．
即 ．
②∵CD∥MN∥EF，
∴∠APN=∠CAP，∠BPN=∠EBP，
又∵∠ABP+∠APN+∠BPN=360°，
∴.
（2）解：①．
② 由 (1) 得 分别平分 ，
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】（2）解：①由（1）可知，∠P=∠DAP+∠FBP，
同理可证，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，
又∵ 分别平分 ， ，
∴，
∴，
即.
【分析】（1）为利用已知平行条件，通过过拐点P作已知直线的平行线即可直接使用平行线的性质完成角度推理得证①②；
（2）根据（1）中结论结合角平分线的角度关系进一步推理，不熟练的情况可以通过设二元直接表示得出目标与条件角直接的关系即可得证①并求出角度②.
四、实践探究题
13．（2024七下·吴兴期中）已知，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）
证明：过点G作直线，
又，
， ▲
∴∠D=_▲_， ▲
，
▲
．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系并说明理由．
（3）（应用拓展）如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝20°，∠H＝30°，求∠DGA的度数．
【答案】（1）证明：过点G作直线，
又，
（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠D=∠DGM，（两直线平行，内错角相等）
，
∴∠A=∠AGM，
．
（2）解：，理由如下，
如图2，过点作直线，则，
，
，
，
．
（3）解：如图3，过点作直线，过点作直线，
∴，，
，
，，
，，
，，
，，
，
平分∠GAB，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【分析】（1）根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”得MN∥CD，然后根据平行线的性质得∠D=∠DGM，∠A=∠AGM；
（2）过点G作直线MN∥AB，根据平行线的性质得∠A=∠MGA，接下来根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”得MN∥CD，进一步根据平行线的性质得∠D=∠MGD，最后证得∠AGD=∠A-∠D；
（3）过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，根据平行线的性质得∠MGA=∠GAB，∠PHA=∠HAB，再根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”得MN∥CD，PQ∥CD，接下来根据平行线的性质得∠MGD=∠GDC，∠PHD=∠HDC，进一步利用角之间的关系得到∠DGA=∠GAB-∠GDC，∠DHA=∠HAB-∠HDC，从而求出∠HAB=50°，然后根据角平分线的定义得∠GAB=2∠HAB=100°.利用”∠GDH=2∠HDC“求出∠GDH的值，从而求得∠GDC=60°，最后即可求出∠DGA的度数.
1 / 1猪蹄模型—浙教版数学七下解题模型专项训练
一、选择题
1．如图，若a∥b，则∠1的大小为( ).
A．60° B．70° C．80° D．90°
2．（2024·富阳模拟）如图，将一块含有的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为( )
A． B． C． D．
3．如图， 的直角顶点 在直线 上． 若 ， 则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 为 之间的一点， 已知 ， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，点G在直线CD上，∠EFG的平分线FH交直线CD于点H，∠AEF 的平分线EM和∠CGF的平分线GM相交于点M.若∠BEF=130°，∠FHC=15°，则∠M的度数为（ ）
A．65° B．55° C．50° D．45°
6．如图， 已知 分别平分 和， 且交于点， 则 （ ）
A． B．
C． D．
7．①如图 1 所示， ， 则 ； ②如图 2 所示， ， 则 ； ③如图 3 所示， ， 则 ； ④如图 4 所示， ， 则 ． 以上结论正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
二、填空题
8．（2024七下·杭州期中）如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为 ．
9．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
10． 如图， 已知 ， 记 ， 则
11．（2024七下·宁波期中） 如图，已知，和分别平分和，若，则 ．
三、解答题
12．如图 1， 已知直线 ， 点 分别在直线 与 上， 点 为两平行线间一点．
（1） 求证： ①；
②．
（2） 利用 (1) 的结论解答：
① 如图 2， 分别平分 ， ， 请你直接写出 与 的数量关系．
② 如图 分别平分 ， ， 若 ， 求 的度数．
四、实践探究题
13．（2024七下·吴兴期中）已知，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）
证明：过点G作直线，
又，
， ▲
∴∠D=_▲_， ▲
，
▲
．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系并说明理由．
（3）（应用拓展）如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝20°，∠H＝30°，求∠DGA的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；猪蹄模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点A作DA∥a，
∵a∥b，
∴b∥DA，
∴∠BAD=∠B=30°，∠DAC=∠C=40°，
∴∠1=∠BAD+∠DAC=30°+40°=70°，
故答案为：B.
【分析】过点A作DA∥a，根据平行的传递性得b∥DA，然后由两直线平行，内错角相等得∠BAD=∠B=30°，∠DAC=∠C=40°，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点作，
．
故答案为：C．
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，，由，得，即可得到答案．
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过B作BD∥a，
∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠CBD=∠2=25°，∠1=∠ABD，
∵∠ACB=90°，∠A=43°，
∴∠ABC=90°-∠A=47°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=47°-25°=22°
∴∠1=22°．
故答案为：B.
【分析】过B作BD∥a，得到BD∥b，推出∠CBD=∠2=25°，∠1=∠ABD，由直角三角形的性质得到∠ABC=90°-∠A=47°，因此∠ABD=∠ABC-∠CBD=22°，即可得到∠1=22°。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点P作PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠1=∠3=35°，∠2=∠4=25°，
∴∠BPC=∠3+∠4=∠1+∠2=35°+25°=60°．
故答案为：B.
【分析】过点P作PN∥AB，根据平行公理的推论得到PN∥CD，再根据平行线的性质解答即可。
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：如图，延长EF交CD于点P，作，
，
，，
，
，
平分，
，
，
分别平分，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质求得的度数，再通过三角形外角定理计算出的度数，接着有角平分线的定义得到的度数，进而求得的度数，作，易得，利用平行线的性质求得的度数.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】解：过点 作， 如图，
整理得 ．
故选：C.
【分析】为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质及角平分线的概念即可推理分析目标角的度数，不熟练的情况可以通过设二元进行关系表示更为直观.
7．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过图1、2、3的点E作直线EF平行AB，过图4点P作PF∥AB，如下图；
∵AB∥CD∥EF
∴∠A+∠E+∠C=360°，①错误；
∵AB∥CD∥EF
∴∠E=∠A+∠C，②正确；
∵AB∥CD∥EF
∴∠A+∠E-∠1=180°，③正确；
∵AB∥CD
∴∠A=∠C+∠P，④正确；
∴②③④正确，正确的个数为3个
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解题即可.
8．【答案】54°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：
∵AE平分∠DAF，
∴设∠EAF=∠DAE=x，
又∵AD⊥PQ，，，
∴∠AFD=90°-∠DAF=90°-2x，∠ACB=，∠ACD=90°-∠CAE-∠DAE=45°-x，
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACD=+(45°-x)=，
又∵AB∥PQ，
∴∠MBC=∠BCQ=，
又∵BC平分∠ABM，
∴∠ABM=2∠MBC=3x+90°，
∴∠ABN=180°-∠ABM=90°-3x，
如图，过点A作AG∥MN，
∵MN∥PQ，
∴AG∥PQ，
∴∠BAG=∠ABN=90°-3x，∠FAG=∠AFD=90°-2x，
又∵AB⊥AF，
∴∠BAF=∠ABN+∠AFD=(90°-3x)+(90°-2x)=90°，解得x=18°，
∴∠AFD=90°-2x=90°-36°=54°，
故填：54°.
【分析】由已知条件的角度关系，根据角度较小且含多个角度直接关联，可直接设∠EAF=∠DAE=x，利用已知条件信息及平行线的性质逐一表示各个角度，为求出目标角的度数，在表示的基础上进一步利用“猪蹄模型”得出等量关系解之即可.
9．【答案】32°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，
∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，
∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD，
∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD，
∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，
∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°，
∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG，
∴，，
∴，
∵∠KHF=∠HFD=20°，
∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°，
∵MP∥AB，AB∥KH，
∴MP∥KH，
∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK，
∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32°.
故答案为：32°.
【分析】过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据平行公理的推论得GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，然后根据平行线的性质得∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，进而利用锯齿模型求得∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD=104°.接下来根据角平分线的定义得，，从而得，进一步求出∠AEM+∠MHK=32°，最后再根据平行线的性质，利用猪蹄模型得∠AEM+∠MHK=∠EMH=32°.
10．【答案】
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点E作EH平行AB，如下图：
∵AB∥CD，EH∥AB
∴AB∥EH∥CD
∴∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF
∴∠AEC=∠AEH+∠HEC=∠EAB+∠ECD=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD
同理，可得∠AFC=∠BAF+∠DCF ；
∵∠EAF=∠BAF，∠ECF=∠DCF
∴∠AEC=∠EAF+∠BAF+∠ECF+∠FCD=∠EAF+∠BAF+∠DCF+∠FCD=∠BAF+∠DCF
=（∠BAF+∠FCD）=∠AFC
∵∠AEC=m∠AFC
∴m=
故答案为：.
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得AB∥EH∥CD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠BAF=∠AEH，∠HEC=∠DCF；根据角的运算和等量代换原则，可得∠AEC=∠AFC，进而可得m的值.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型
【解析】【解答】解：延长DE交AB于点N，延长BF交CD于点M，如图所示：
∴∠NBE+∠BNE=∠BED，∠MDF+∠DMF=∠BFD.
∵和分别平分和，
∴∠NBF=2∠NBE，∠MDE=2∠MDF.
∵AB∥CD，
∴∠BNE=∠MDE，∠NBF=∠DMF.
∵
∴2(∠NBE+∠BNE)－(∠MDF+∠DMF)
∴∠CDE=∠MDE=34°.
故答案为：
【分析】根据三角形外角性质可得∠NBE+∠BNE=∠BED，∠MDF+∠DMF=∠BFD.根据平行线的性质可得∠BNE=∠MDE，∠NBF=∠DMF.根据角平分线的性质得∠NBF=2∠NBE，∠MDE=2∠MDF.最后代入 ，并进行等量代换，即可得到关于∠MDE的方程，求解即可.
12．【答案】（1）证明：①如图，过点 作 ，
则 ．
即 ．
②∵CD∥MN∥EF，
∴∠APN=∠CAP，∠BPN=∠EBP，
又∵∠ABP+∠APN+∠BPN=360°，
∴.
（2）解：①．
② 由 (1) 得 分别平分 ，
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型
【解析】【解答】（2）解：①由（1）可知，∠P=∠DAP+∠FBP，
同理可证，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，
又∵ 分别平分 ， ，
∴，
∴，
即.
【分析】（1）为利用已知平行条件，通过过拐点P作已知直线的平行线即可直接使用平行线的性质完成角度推理得证①②；
（2）根据（1）中结论结合角平分线的角度关系进一步推理，不熟练的情况可以通过设二元直接表示得出目标与条件角直接的关系即可得证①并求出角度②.
13．【答案】（1）证明：过点G作直线，
又，
（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠D=∠DGM，（两直线平行，内错角相等）
，
∴∠A=∠AGM，
．
（2）解：，理由如下，
如图2，过点作直线，则，
，
，
，
．
（3）解：如图3，过点作直线，过点作直线，
∴，，
，
，，
，，
，，
，，
，
平分∠GAB，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【分析】（1）根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”得MN∥CD，然后根据平行线的性质得∠D=∠DGM，∠A=∠AGM；
（2）过点G作直线MN∥AB，根据平行线的性质得∠A=∠MGA，接下来根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”得MN∥CD，进一步根据平行线的性质得∠D=∠MGD，最后证得∠AGD=∠A-∠D；
（3）过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，根据平行线的性质得∠MGA=∠GAB，∠PHA=∠HAB，再根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”得MN∥CD，PQ∥CD，接下来根据平行线的性质得∠MGD=∠GDC，∠PHD=∠HDC，进一步利用角之间的关系得到∠DGA=∠GAB-∠GDC，∠DHA=∠HAB-∠HDC，从而求出∠HAB=50°，然后根据角平分线的定义得∠GAB=2∠HAB=100°.利用”∠GDH=2∠HDC“求出∠GDH的值，从而求得∠GDC=60°，最后即可求出∠DGA的度数.
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