第四章因式分解单元测试A卷浙教版（含解析）2024—2025学年七年级下册

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第四章因式分解单元测试A卷浙教版2024—2025学年七年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．x2+4x+10＝（x+2）2+6
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x
2．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y2+1 D．﹣x2+4y2
3．把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　）
A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5
4．已知一个正方形的面积是x2﹣4x+4（x＜2），则这个正方形的边长是（　　）
A．2﹣x B．x﹣2 C．4﹣x D．x﹣4
5．若x2+2（a+4）x+25是完全平方式，则a的值（　　）
A．1 B．﹣9 C．1或﹣9 D．5
6．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（　　）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）
C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1
7．已知多项式2x3﹣x2+m分解因式后有一个因式是x+1，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
8．已知（m+2n）2+2m+4n+1＝0，则（m+2n）2024的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为 　 　（用含a，b的式子表示）．
10．有四张卡片，每张卡片上分别写了一个代数式：①a2+2ab+b2；②﹣x2+6x﹣10；③；④2a3b﹣5ab+3．甲、乙、丙、丁四位同学每人拿到一张卡片并作如下描述：
甲：我拿到的是个四次三项式；
乙：不管字母取何值，我拿到的这个式子的值总是负数；
丙：我拿到的式子的值为整数时，字母有6个不同的值；
丁：我拿到的式子可以写成一个整式的平方．
请问甲、乙、丙、丁对应的卡片序号分别是 　 　．
11．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为　 　．
12．若y2﹣4y+4＝0，则xy的值为　 　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．因式分解：
（1）（a2+1）2﹣4a2； （2）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1．
14．如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值：
（1）a2b﹣ab2；
（2）3a3b﹣6a2b2+3ab3．
15．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为（a+2b）（3a+b）的矩形，则需要A种纸片 　 　张，B种纸片 　 　张，C种纸片 　 　张；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 　 　；
（3）根据得出的等量关系，解决如下问题：
已知（2025﹣x）2+（x﹣2023）2＝3，求（2025﹣x）（x﹣2023）的值．
16．在数学课外活动中，待定系数法是分解因式的重要方法．根据已知条件和要求，先设出问题的多项式的表达形式，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数的方法叫待定系数法．例如：分解因式x2﹣y2+5x+3y+4．
解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），不妨设x2﹣y2+5x+3y+4＝（x+y+a）（x﹣y+b），
则x2﹣y2+5x+3y+4＝x2﹣y2+（b+a）x+（b﹣a）y+ab，
∴，
∴．
（1）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab的值是 　 　；
（2）分解因式：
①4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3；
②x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2；
（3）若多项式x2﹣（3+a）x+4a﹣2能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值．
17．“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式．如图（1），通过观察大长方形面积，可得：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．
（1）如图（2），通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式；
（2）现有若干张如图（3）的三种纸片，A是边长为a的正方形，B是边长为b的正方形，C是长为a，宽为b的长方形．若要无缝无重叠拼出一个长为（2a+b），宽为（3a+2b）的长方形，设需要A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，直接写出x+y+z的值；
（3）图（4）是由图（3）中的两张A型纸片和两张B型纸片排成的一个正方形，其中两张A型纸片有重叠（图中阴影部分），直接写出阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）；
（4）若图（2）也是由图（3）中的三种纸片拼成的，且图（2）中的阴影部分面积为17，图（4）中的阴影部分面积为8，求图（2）整个正方形的面积．
18．对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d），我们规定：（a，b）*（c，d）＝a2+c2﹣bd．例如：（1，2）*（3，4）＝12+32﹣2×4＝2．
（1）求（﹣3，2）*（2，﹣1）的值；
（2）若（x，kx）*（3y，﹣y）是一个完全平方式，则k＝　 　；
（3）若2x+y＝10，且（3x+y，2x2+3y2）*（x﹣3y，3）＝80，求xy的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A A C D A C
1．【解答】解：A、是多项式相乘，错误；
B、右边不是积的形式；错误；
C、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，正确；
D、右边不是积的形式；错误；
故选：C．
2．【解答】解：A．原式不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意；
B．原式不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意；
C．原式不能运用平方差公式进行因式分解，故本选项不符合题意；
D．原式＝（2y+x）（2y﹣x），故本选项符合题意．
故选：D．
3．【解答】解：原式＝5（a﹣b）﹣m（a﹣b）＝（a﹣b）（5﹣m），
另一个因式是（5﹣m），
故选：A．
4．【解答】解：由完全平方公式可得x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
x＜2，
∴正方形边长为：2﹣x，
故选：A．
5．【解答】解：∵x2+2（a+4）x+25是一个完全平方式，
∴a+4＝±5，
解得：a＝﹣9或a＝1，
故选：C．
6．【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意；
B、x（x﹣2）+（2﹣x）＝（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意；
C、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故C选项不合题意；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，故D选项符合题意．
故选：D．
7．【解答】解：∵多项式2x3﹣x2+m分解因式后有一个因式是x+1，
∴当x＝﹣1时，多项式2x3﹣x2+m的值为0，
即2×（﹣1）3﹣（﹣1）2+m＝0，
解得：m＝3，
故选：A．
8．【解答】解：原方程整理得：（m+2n）2+2（m+2n）+1＝0，
（m+2n+1）2＝0，
∴m+2n＝﹣1，
∴（m+2n）2024＝（﹣1）2024＝1．
故选：C．
二、填空题
9．【解答】解：∵用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，
∴这个大正方形的面积＝a2+4b2+4ab＝（a+2b）2，
∴这个大正方形的边长为：a+2b．
故答案为：a+2b．
10．【解答】解：①a2+2ab+b2＝（a+b）2，是一个整式的平方；
②﹣x2+6x﹣10
＝﹣（x2﹣6x+9）﹣1
＝﹣（x﹣3）2﹣1，
∵（x﹣3）2≥0，
∴﹣（x﹣3）2﹣1＜0，
∴不管字母取何值，﹣x2+6x﹣10的值总是负数；
③为整数时，x+1＝±1或x+1＝±2或x+1＝±4，
∴x＝0或﹣2或1或﹣3或3或﹣5，x有6个不同的取值；
④2a3b﹣5ab+3是四次三项式，
故答案为：④②③①．
11．【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴k＝﹣4，b＝3，
则k+b＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1
12．【解答】解：∵y2﹣4y+4＝0，
∴（y﹣2）2＝0，
∴，
解得：，
∴xy的值为：4．
故答案为：4．
三、解答题
13．【解答】解：（1）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2；
（2）原式＝[3（2x﹣1）﹣1]2
＝（6x﹣4）2
＝4（3x﹣2）2．
14．【解答】解：（1）根据题意得a﹣b＝1，ab＝12，
当a﹣b＝1，ab＝12时，
原式＝ab（a﹣b）
＝12×1
＝12；
（2）当a﹣b＝1，ab＝12时，
原式＝3ab（a2﹣2ab+b2）
＝3ab（a﹣b）2
＝3×12×12
＝36．
15．【解答】解：（1）（a+2b）（3a+b）＝3a2+7ab+2b2，则需要A种纸片3张，B种纸片2张，C种纸片7张；
故答案为：3；2；7；
（2）（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（3）设a＝2025﹣x，b＝x﹣2023，则a+b＝2，
∵（2025﹣x）2+（x﹣2023）2＝3，
∴a2+b2＝3，
∴（a+b）2﹣2ab＝3，
∴22﹣2ab＝3，
∴ab．
∴（2025﹣x）（x﹣2023）．
16．【解答】解：（1）∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，
∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10，
∴，解得：，
∴ab＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
（2）①∵4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），
不妨假设4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝（2x+y+a）（2x﹣y+b），
则4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝4x2+2（a+b）x﹣y2+（b﹣a）y+ab，
∴，解得：，
∴4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）；
（2）∵x2﹣3xy﹣4y2＝（x﹣4y）（x+y），
不妨假设x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2＝（x﹣4y+a）（x+y+b），
则x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2＝x2﹣3xy﹣4y2+（a+b）x+（a﹣4b）y+ab，
∴，解得：，
∴x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2＝（x﹣4y+1）（x+y﹣2）；
（3）不妨假设x2﹣（3+a）x+4a﹣2＝（x﹣m）（x﹣n），
则x2﹣（3+a）x+4a﹣2＝x2﹣（m+n）x+mn，
∴，
①×4﹣②，得：4m+4n﹣mn＝14，
∴（m﹣4）（﹣n+4）＝﹣2，
∵m，n都是整数，
∴m﹣4，﹣n+4也都是整数，
又∵﹣2＝﹣1×2＝﹣2×1，
∴或或或，
∴或或或，
∴m+n＝5或m+n＝11，
∴3+a＝5或3+a＝11，
解得：a＝2或8．
故答案为：2或8．
17．【解答】解：（1）∵大正方形的面积等于两个阴影部分的面积加上两个长方形的面积，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵（2a+b）（3a+2b）＝6a2+7ab+2b2，
∴需要A型纸片6张，B型纸片2张，C型纸片7张，
即：x＝6，y＝2，z＝7，
∴x+y+z＝6+2+7＝15；
（3）；
（4）由题意，得：（a﹣b）2＝8，a2+b2＝17，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝17﹣2ab＝8，
∴2ab＝17﹣8＝9，
∴a2+b2+2ab＝17+9＝26；
即：整个正方形的面积为26．
18．【解答】解：（1）（﹣3，2）*（2，﹣1）
＝（﹣3）2+22﹣2×（﹣1）
＝9+4+2
＝15；
（2）（x，kx）*（3y，﹣y）
＝x2+（3y）2+kxy
＝x2+9y2+kxy，
由于结果是一个完全平方式，
∴k＝±6，
故答案为：±6；
（3）∵（3x+y，2x2+3y2）*（x﹣3y，3）＝80，
∴（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2）＝80，
即9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2＝80，
∴4x2+y2＝80，
∴（2x+y）2﹣4xy＝80，
当2x+y＝10时，
即100﹣4xy＝80，
∴xy＝5．
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