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二元一次方程组 单元同步精练与测试
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．对于实数，定义新运算“ ”： （是常数）．已知，，那么的值是（ ）
A．17 B．14 C． D．
3．已知x、y满足方程组，则x﹣y＝（ ）
A．﹣3 B．3 C．2 D．0
4． 如图，宽为的长方形图案由10个形状、大小完全相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．关于二元一次方程，下列说法正确的是（ ）
A．对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应
B．只要任意给出一个x的值，就能确定y的值，所以此方程的解为任何实数
C．若需满足x、y都为正整数，则此方程恰有两个解
D．它可与二元一次方程组成一个二元一次方程组
7．若(a+b)2011=-1，a-b=1，则a2011+b2011的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
8．用代入法解方程组 时 ，将①代入②得（ ）
A．x-4x+3=6 B．x-4x+6=6 C．x-2x+3=6 D．x-4x-3=6
9．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）。
A．25 B．24 C．33 D．34
10．如果 ，其中xyz≠0，那么x：y：z=（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．2：3：1 D．3：2：1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y为 ．
12．下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则下列结论：
①当增大时，随之诚小；②当时，的最小值是3.5；③取任何实数时，；④时，.这四个结论中正确的是 （填序号）
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 …
13．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ．
14．已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则 .
15．关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常数），b=a+1，c=b+1，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为 .
16． 已知关于 的方程组 给出下列结论：① 是方程组的解；②无论 取何值， 的值都不可能互为相反数；③ 当 时， 方程组的解也是方程 的解； ④ 都为自然数的解有 4 对．其中正确的有
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程组
（1）
（2） ．
18．亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
19．
（1）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的值；
（2）在（1）的条件下，求出方程组的解．
20．在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
（1）求a，b，c的值；
（2）当x=-2时，求y的值.
21．某物流公司现有31吨货物运往某地，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，使每辆车都装满货物，恰好一次运完.已知每种型号车的载重量和租金如下表：
车型 A B
载重量（吨/辆） 3 4
租金（元/辆） 1000 1200
（1）请你帮该物流公司设计租车方案；
（2）请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
22．某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区，如图（1），要求两个大棚之间有间隔4m的路，设计方案如图（2），已知每个大棚的周长为44m.
（1）求每个大棚的长和宽各是多少？
（2）现有两种大棚造价的方案，方案一是每平方米60元，超过100平方米优惠500元，方案二是每平方米70元，超过100平方米优惠总价的20%，试问选择哪种方案更优惠？
23．体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元.
篮球 排球
进价（元/个） 80 50
售价（元/个） 95 60
求：
（1）购进篮球和排球各多少个？
（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
24．某地区2020年进出口总额为520亿元.2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额．
（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y
（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？
25．仔细阅读下面解方程组的方法,然后解决有关问题:解方程组 时，如果直接消元，那将会很繁琐，若采用下面的解法,则会简单很多.
解：①-②，得：2x+2y=2，即x+y=1③
③×16，得：16x+16y=16④
②-④，得：x=-1
将x=-1
代入③得：y=2
∴原方程组的解为：
（1）请你采用上述方法解方程组：
（2）请你采用上述方法解关于x，y的方程组 ，其中 ．
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二元一次方程组 单元同步精练与测试
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A.是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B.是二元一次方程，故本选项符合题意；
C.是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D.是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据含有两个未知数，两个未知数的最高次数都是1的整式方程，是二元一次方程；再对各选项逐一判断.
2．对于实数，定义新运算“ ”： （是常数）．已知，，那么的值是（ ）
A．17 B．14 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，，
∴，
∴，
故选：C ．
【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算法则，以及二元一次方程组的计算，根据题设中新定义新运算的规律，列出相应的方程组，求得的值，再将的值，代入计算，即可求解．
3．已知x、y满足方程组，则x﹣y＝（ ）
A．﹣3 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【解析】【解答】解：，
①－②得：．
故答案为：B．
【分析】两方程左右两边分别相减即可得出答案．
4． 如图，宽为的长方形图案由10个形状、大小完全相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设小长方形的宽为cm，长为cm，
根据题意得，解得，
所以一个小长方形的面积为．
故答案为：C．
【分析】基本关系：大长方形的长=2个小长方形的长=一个小长方形的长+4个小长方形的宽，大长方形的宽=一个小长方形的长+一个小长方形的宽=50，据此列方程组求得即可．
5．已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵方程组的解是，
∴方程组的解满足关系式，
解得，，
故答案为：C.
【分析】根据换元法得到，求出x，y的值解题．
6．关于二元一次方程，下列说法正确的是（ ）
A．对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应
B．只要任意给出一个x的值，就能确定y的值，所以此方程的解为任何实数
C．若需满足x、y都为正整数，则此方程恰有两个解
D．它可与二元一次方程组成一个二元一次方程组
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，
，即：对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应，故本选项说法正确；
B、只要任意给出一个的值，就能确定的值，所以此方程的解有无穷多个，故本选项说法错误；
C、二元一次方程正整数解为，只有1个，故本选项说法错误；
D、它可与二元一次方程组成一个三元一次方程，故本选项说法错误．
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程的解的定义、正整数解得定义、二元一次方程组的定义、逐项判断解题．
7．若(a+b)2011=-1，a-b=1，则a2011+b2011的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】D
【解析】【解答】解：因为(a+b)2011=-1，a-b=1，
所以 ，
解得 ，
所以a2011+b2011=-1，
故答案为：D.
【分析】根据-1的奇数次幂等于-1得出方程a+b=-1，从而与方程a-b=1组成方程组，求解得出a,b的值，再代入代数式，按有理数的混合运算法则即可算出答案.
8．用代入法解方程组 时 ，将①代入②得（ ）
A．x-4x+3=6 B．x-4x+6=6 C．x-2x+3=6 D．x-4x-3=6
【答案】B
【解析】【解答】解：①代入②得，x-2（2x-3）=6，
即x-4x+6=6.
故答案为：B.
【分析】根据代入消元法，把②中的y换成2x-3即可.
9．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）。
A．25 B．24 C．33 D．34
【答案】A
【解析】【解答】解：设这个四位数为abcd，则abcd+dcba=10769；
则b+c=16；又据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，
则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，
可得：d=8，
又∵a+d=8+1+a=10，
∴a=1，
综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9，
所以该四位数的数字之和为25．
故选A．
【分析】设这个四位数为abcd，则，可以发现（b+c）和的个位为6，b+c=16；据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，则d=8，又a+d=8+1+a=10，则a=1；综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9．
10．如果 ，其中xyz≠0，那么x：y：z=（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．2：3：1 D．3：2：1
【答案】C
【解析】【解答】解：已知 ，
①×2﹣②得，7y﹣21z=0，
∴y=3z，
代入①得，x=8z﹣6z=2z，
∴x：y：z=2z：3z：z=2：3：1．故答案为：C．
【分析】先把z看做已知数，求得y=3z，x=2z，再把它们代入到x：y：z中，求出比值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
移项，得4y=3x-5，
系数化为1，得．
故答案为：.
【分析】首先将含y的项移到方程的一边，其它的项移到方程的另一边，然后再在方程两边同时除以未知数y的系数将y的系数化为1即可.
12．下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则下列结论：
①当增大时，随之诚小；②当时，的最小值是3.5；③取任何实数时，；④时，.这四个结论中正确的是 （填序号）
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 …
【答案】①④
【解析】【解答】解：从表格中的数据可得出当增大时，随之减小，因此①正确，符合题意；
由①知随增大而减小，当时，得到最小值为，因此有时，的最小值是3，因此②错误，不符合题意；
当时，，因此③错误，不符合题意；
由①知随增大而减小，当时取得最大值为，因此有时，，因此④正确，符合题意．
故答案为：①④．
【分析】根据表格数据得到函数的变化趋势，据此判断①；根据变化趋势即可判断②和④，由于x未给定取值范围，结合①可解答．
13．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ．
【答案】2024
【解析】【解答】解：将代入得：
，
，
故答案为：2024.
【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，先将x和y的值，代入方程，得到，将其整体代入代数式，进行计算，即可得到答案.
14．已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则 .
【答案】-1
【解析】【解答】解： ，
解得：，
∴，
∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，
∴k+1=0，
∴k=-1.
故答案为：-1.
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组，然后把x、y的值代入代数式中，因为该代数式的值与a值无关，则含a项的系数之和等于0，一次建立关于k的方程求解，即可解答.
15．关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常数），b=a+1，c=b+1，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵ax+by=c，b=a+1，c=b+1，
∴ax+ay+y=a+2
∵对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解
∴令a=0，则y=2；把y=2代入ax+ay+y=a+2
得：ax=-a，
∴x=-1，
∴公共解为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件可得ax+ay+y=a+2，令a=0，则y=2，把y=2代入ax+ay+y=a+2中可得x的值，据此解答.
16． 已知关于 的方程组 给出下列结论：① 是方程组的解；②无论 取何值， 的值都不可能互为相反数；③ 当 时， 方程组的解也是方程 的解； ④ 都为自然数的解有 4 对．其中正确的有
【答案】②③④
【解析】【解答】
A、①-②得：8y=4-4a
解得：③，再把③代入②得：，当a=5时，x=5，但y=-2，故A错误
B、由（1）知：，因此x+y=，故B正确
C、由（1）知：当a=1时，x=3，y=0，正是的解，故C正确
D、由题意知：
又∵x，y都是自然数
∴a为整数，故a取-5，-4，-3，-2，-1，0，1
∵当a取-4，-2，0时，不满足条件
∴a取-5，-3，-1，1.
故D正确.
故答案为②③④.
【分析】先解出方程组的解，再依次根据ABCD四个选项依次判定即可，而对于D答案，x，y都是自然数，从找到a的取值，再意义验证即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程组
（1）
（2） ．
【答案】（1）解： ，
化简得： ，
②﹣①得：x=5，
把x=5代入①得：y=5，
∴
（2）解： ，
化简得： ，
①﹣②得：25y=10，
y= ，
把y= 代入①5x+15× =6，
x=0，
∴
【解析】【分析】利用加减法解二元一次方程组．
18．亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
【答案】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，
由题意得 解得：
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
（2）解：设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，由题意得
，∴，
答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ，再解方程组即可；
（2）先求出 ，再求解即可。
19．
（1）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的值；
（2）在（1）的条件下，求出方程组的解．
【答案】（1）解：
①－②，得，
，
∵，
∴，
解得：．
（2）解：∵，原方程组为，
①×2－②，得，
，解得：，
将代入①得，，
解得：，
∴这个方程组的解是．
【解析】【分析】 (1)、 解方程组，整体替换求得a.
(2)、把代入方程组，用加减消元法求得方程组的解.
20．在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=4；当x=2时，y=4；当x=1时，y=2.
（1）求a，b，c的值；
（2）当x=-2时，求y的值.
【答案】（1）解：由已知，得 ，解得
（2）解：由（1）得y=x2-x+2，
当x=-2时，y=4+2+2=8.
【解析】【分析】(1) 根据y=ax2+bx+c ，根据题意得出关于a，b，c的三元一次方程组求解即可；
(2)利用(1)的结果得出 y=x2-x+2， 把x=-2代入等式中计算，即可求出结果.
21．某物流公司现有31吨货物运往某地，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，使每辆车都装满货物，恰好一次运完.已知每种型号车的载重量和租金如下表：
车型 A B
载重量（吨/辆） 3 4
租金（元/辆） 1000 1200
（1）请你帮该物流公司设计租车方案；
（2）请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
【答案】（1）解：∵根据题意，得3a+4b=31，∴a=
∵a，b为正整数，∴ 或 或
∴有3种租车方案：①A型车9辆，B型车1辆；②A型车5辆B型车4辆；③A型车1辆，B型车7辆.
（2）解：方案①需租金：9×1000+1200=10200（元）
方案②需租金：5×1000+4×1200=9800（元）
方案③需租金：1×1000+7×1200=9400（元）
∵10200>9800>9400，
∴最省钱的方案是租用A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为9400元.
【解析】【分析】(1)根据总运量为31吨建立关于a、b的二元一次方程，结合a、b为正整数，找出符合条件的方案即可；
(2)根据(1)的方案，分别计算三种方案的租金，再比较租金的大小，即可得出最省钱的方案.
22．某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区，如图（1），要求两个大棚之间有间隔4m的路，设计方案如图（2），已知每个大棚的周长为44m.
（1）求每个大棚的长和宽各是多少？
（2）现有两种大棚造价的方案，方案一是每平方米60元，超过100平方米优惠500元，方案二是每平方米70元，超过100平方米优惠总价的20%，试问选择哪种方案更优惠？
【答案】（1）解：设大棚的宽为a米，长为b米，根据题意可得：
，解得： ，
答：大棚的宽为14米，长为8米。
（2）解：大棚的面积为：2×14×8=224(平方米)，
若按照方案一计算，大棚的造价为：224×60 500=12940(元)，
若按照方案二计算，大棚的造价为：224×70(1 20%)=12544(元)
显然：12544<12940，所以选择方案二更好。
【解析】【分析】（1） 设大棚的宽为a米，长为b米， 根据每个大棚的周长为44米，由矩形的周长计算方法即可列出方程a+b=22；长方形场地的长表示为（2a+4）米，根据 一块长比宽多6m 列出第二个方程2a+4-b=6，两方程组成方程组，求解即可；
（2）根据矩形的面积计算方法算出两个大棚的面积，然后分别算出两种方案需要的钱数，再比大小即可。
23．体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元.
篮球 排球
进价（元/个） 80 50
售价（元/个） 95 60
求：
（1）购进篮球和排球各多少个？
（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
【答案】（1）解：设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得：
解得： ，
答：购进篮球12个，购进排球8个；
（2）解：设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，由题意得：
6×（60﹣50）=（95﹣80）a，
解得：a=4，
答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等.
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：购进篮球的数量+排球的数量=20；购进篮球的数量×每一个篮球的利润+排球的数量×每一个排球的利润=260；设未知数，列方程组，解方程组可求解。
（2）此题的等量关系为：6×每一个排球的利润=一个篮球的利润×篮球的数量，设未知数，列方程求解即可。
24．某地区2020年进出口总额为520亿元.2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额．
（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y
（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？
【答案】（1）解：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y 1.25x+1.3y
故答案为：1.25x+1.3y；
（2）解：根据题意1.25x+1.3y=520+140，
∴，
解得：，
2021年进口额1.25x=亿元，2021年出口额是亿元．
【解析】【分析】（1）根据进出口总额＝进口额＋出口额，计算求解即可；
（2）根据2021年进出口总额比2020年增加了140亿元， 列方程组求出 ， 再解方程组求解即可。
25．仔细阅读下面解方程组的方法,然后解决有关问题:解方程组 时，如果直接消元，那将会很繁琐，若采用下面的解法,则会简单很多.
解：①-②，得：2x+2y=2，即x+y=1③
③×16，得：16x+16y=16④
②-④，得：x=-1
将x=-1
代入③得：y=2
∴原方程组的解为：
（1）请你采用上述方法解方程组：
（2）请你采用上述方法解关于x，y的方程组 ，其中 ．
【答案】（1）解：
①-②，得：6x+6y=12，即x+y=2 ③，
③×2010，得：2010x+2010y=4020④，
④-②，得：y=404，
将y=404代入③得：x=-402，
∴方程组的解为：
（2）解：
①-②，得：(m-n)x+(m-n)y=m-n，
∵m≠n，
∴x+y=1 ③，
③×(n+3)，得：(n+3)x+(n+3)y=n+3④，
④-②，得：y=3，
将y=3代入③得：x=-2，
∴方程组的解为
【解析】【分析】（1）先把两式相减得出x+y的值，再把x+y的值与2010相乘，再用加减消元法求出x的值，用代入消元法求出y的值即可；（2）先把两式相减得出(m-n)x+(m-n)y=m-n，的值，再用加减消元法求出x的值，用代入消元法求出y的值即可．
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