第2章 二元一次方程组 单元检测基础过关卷（含解析）

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第2章 二元一次方程组 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
2．关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（　　）
A．3x﹣x﹣5＝8 B．3x+x﹣5＝8 C．3x+x+5＝8 D．3x﹣x+5＝8
3．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×5+②×2
C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
4．二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
5．和都是方程ax﹣y＝b的解，则a﹣b的值是（　　）
A．﹣3 B．2 C．3 D．7
6．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
7．已知方程组的解是，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
8．代数式kx+b中，当x取值分别为﹣1，0，1，2时，对应代数式的值如表：
x … ﹣1 0 1 2 …
kx+b … ﹣1 1 3 5 …
则2k+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
9．已知方程组，则x+y+z的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当3x+y＝81时，a＝2．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则（m+n）2＝ 　 　．
12．解二元一次方程组的最优方法是　 　的方法．（选填“代入”或“加减”）
13．若+|2x﹣y+3|＝0，则x﹣2y的值为　 　．
14．对于有理数x，y定义新运算：x*y＝ax+by﹣5，其中a，b为常数已知1*2＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣2，则a﹣b＝　 　．
15．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则a＝ 　 　，b＝ 　 　．
16．用5种不同正方形拼成如图所示的无缝隙、不重叠的长方形，若中间小正方形的边长为1，则正方形B的边长是 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成下列问题．
解方程组：
解：①×2，得：2x﹣4y＝8③， …………第一步
③﹣②，得：﹣7y＝7， …………第二步
解得：y＝﹣1． …………第三步
把y＝﹣1代入①，得：x﹣2×（﹣1）＝4， …………第四步
解得：x＝2． …………第五步
∴原方程组的解为． …………第六步
（1）这种解二元一次方程组的方法是 　 　（填“代入消元法”或“加减消元法”），
以上求解步骤中，小林同学从第 　 　步开始出现错误；
（2）写出此题正确的解答过程．
18．解方程组：
（1）（用代入法）； （2）（用加减法）．
19．解方程组：
（1）； （2）； （3）．
20．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
（2）请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
21．已知方程组与有相同的解，求m、n的值．
22．规定＝ad﹣bc，如＝2×0﹣3×（﹣1）＝3．
（1）＝﹣3，求x的值；
（2）若＝1，＝﹣5，求m﹣n的值．
23．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）．
若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，问竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
24．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1③，③×19．得19x+19y＝19④，
②﹣④，得x＝﹣1，从而可得y＝2，
∴原方程组的解是．
（1）请你仿照上面的解题方法解方程组：；
（2）请直接写出关于x，y的方程组的解．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用二元一次方程组的定义判断即可．
【解析】解：A、该方程组中含有3个未知数，属于三元一次方程组，故本选项不符合题意．
B、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意．
C、该方程组属于二元二次方程组，故本选项不符合题意．
D、该方程组中含有分式方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义，由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
2．关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（　　）
A．3x﹣x﹣5＝8 B．3x+x﹣5＝8 C．3x+x+5＝8 D．3x﹣x+5＝8
【点拨】利用代入消元法进行分析即可．
【解析】解：，
把①代入②得：3x﹣（x+5）＝8，
整理得：3x﹣x﹣5＝8，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握．
3．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×5+②×2
C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
【点拨】观察方程组中x与y的系数特点，利用加减消元法判断即可．
【解析】解：要消去y可以将①×5+②×3，故选项A不合题意，C合题意；
要消去x，可以将①×3﹣②×2，故选项B、D不合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用代入法进行求解即可．
【解析】解：，
把①代入②得：3x＝1+2（2﹣x），
解得x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2﹣1＝1，
故原方程组的解是：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
5．和都是方程ax﹣y＝b的解，则a﹣b的值是（　　）
A．﹣3 B．2 C．3 D．7
【点拨】把和代入方程ax﹣y＝b得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入a﹣b进行计算即可．
【解析】解：把和代入方程ax﹣y＝b得：，
把②代入①得：a＝5，
∴a﹣b＝5﹣2＝3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的定义．
6．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程x+5＝y，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案．
【解析】解：由题意得，，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，列出方程组．
7．已知方程组的解是，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．
【解析】解：∵方程组的解是，
∴方程组，即，解是，
整理得：．
故选：C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．代数式kx+b中，当x取值分别为﹣1，0，1，2时，对应代数式的值如表：
x … ﹣1 0 1 2 …
kx+b … ﹣1 1 3 5 …
则2k+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
【点拨】根据题意列得二元一次方程组，解得k，b的值后代入2k+b中计算即可．
【解析】解：由题意可得，
解得：，
则2k+b＝2×2+1＝5，
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，结合已知条件求得k，b的值是解题的关键．
9．已知方程组，则x+y+z的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【点拨】把三个方程相加，进行计算即可解答．
【解析】解：，
①+②+③得：
2x+2y+2z＝3+（﹣6）+9，
∴x+y+z＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
10．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当3x+y＝81时，a＝2．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④
【点拨】解二元一次方程组的基本思路是消元，②中可以不用求解方程组的解，而是直接求出x+y的值，这样比较简便．利用加减消元法消去a，得：x+2y＝3，故①③正确；当a＝﹣2时，代入方程组计算得：x+y＝0，故②正确；解出方程组的解，根据条件得x+y＝4，把方程组的解代入得a＝2，故④正确．
【解析】解：，
①×3+②得：4x+8y＝12，
∴x+2y＝3，
∴不论a取何值，方程组总有一组解，
故①③正确；
当a＝﹣2时，方程组为：，
①+②得：2x+2y＝0，
∴x+y＝0，
∴x，y的值互为相反数，
故②正确；
，
解得：，
∵3x+y＝81＝34，
∴x+y＝4，
∴2a+1+1﹣a＝4，
∴a＝2，
故④正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确记忆相关知识点是解题关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则（m+n）2＝ 　1或25　．
【点拨】利用二元一次方程的定义，可列出关于m，n的不等式及方程，解之可得出m，n的值，再将其代入（m+n）2中，即可求出结论．
【解析】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得：．
当m＝2，n＝3时，（m+n）2＝（2+3）2＝25；
当m＝2，n＝﹣3时，（m+n）2＝（2﹣3）2＝1．
故答案为：1或25．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，牢记“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程”是解题的关键．
12．解二元一次方程组的最优方法是　代入　的方法．（选填“代入”或“加减”）
【点拨】根据“代入法”，“加减法”的意义进行判断即可．
【解析】解：解二元一次方程组的最优方法是代入法，
故答案为：代入．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
13．若+|2x﹣y+3|＝0，则x﹣2y的值为　﹣3　．
【点拨】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
②﹣①得：x﹣2y＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．
14．对于有理数x，y定义新运算：x*y＝ax+by﹣5，其中a，b为常数已知1*2＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣2，则a﹣b＝　﹣1　．
【点拨】利用题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a﹣b的值．
【解析】解：根据题意得：1*2＝a+2b﹣5＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣3a+3b﹣5＝﹣2，
整理得：，
①+②得：3b＝﹣3，即b＝﹣1，
把b＝﹣1代入②得：a＝﹣2，
则a﹣b＝﹣2+1＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则a＝ 　4　，b＝ 　　．
【点拨】先解方程组，求出x，y，再把x，y代入方程组得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b即可．
【解析】解：，
①×3得：9x﹣3y＝3③，
③﹣②得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2，
∴方程组的解为：，
∵关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，
∴关于x，y的方程组的解也为，
把代入方程组得：，
①+②得：a＝4，
把a＝4代入①得：，
∴，
故答案为：4，．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义和利用加减消元与代入消元法解二元一次方程组．
16．用5种不同正方形拼成如图所示的无缝隙、不重叠的长方形，若中间小正方形的边长为1，则正方形B的边长是 　7　．
【点拨】根据给定的长方形可得二元一次方程组，解方程组即可．
【解析】解：设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y，
根据题意，得，
解方程组得，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，通过观察长方形中各边长之间的关系列出方程组是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成下列问题．
解方程组：
解：①×2，得：2x﹣4y＝8③， …………第一步
③﹣②，得：﹣7y＝7， …………第二步
解得：y＝﹣1． …………第三步
把y＝﹣1代入①，得：x﹣2×（﹣1）＝4， …………第四步
解得：x＝2． …………第五步
∴原方程组的解为． …………第六步
（1）这种解二元一次方程组的方法是 　加减消元法　（填“代入消元法”或“加减消元法”），
以上求解步骤中，小林同学从第 　五　步开始出现错误；
（2）写出此题正确的解答过程．
【点拨】（1）根据加减消元法解方程组的定义及步骤即可求得答案；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【解析】解：（1）由题干中解方程组的方法可得这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，马小虎同学从第五步开始出现错误，
故答案为：加减消元；五；
（2）①×2，
得：2x﹣4y＝8 ③，
③﹣②，得：﹣y＝7，
解得：y＝﹣7，
把y＝﹣7代入①，得：x﹣2×（﹣7）＝4，
解得：x＝﹣10．
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
18．解方程组：
（1）（用代入法）； （2）（用加减法）．
【点拨】（1）先根据①得到y＝x+2③，再把③代入②中求出y，进而求出x即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【解析】解：（1），
由①得：y＝x+2③，
把③代入②得：4（x+2）+2x＝14，解得x＝1，
把x＝1代入③得：y＝3，
∴方程组的解为；
（2），
②﹣①×2得：y＝﹣3，
把y＝﹣3代入①得：2x﹣3＝3，解得x＝3，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
19．解方程组：
（1）； （2）； （3）．
【点拨】运用消元法解方程即可．
【解析】解：（1）；
①+②得：4x＝20，
得x＝5，
将x＝5代入①得y＝1，
方程组的解为：．
（2）；
②×3得：3x+9y＝27③，
③﹣①得：11y＝22，
得y＝2，
将y＝2代入②得：x＝3，
方程组的解为：．
（3），
将①代入②得：2z＝6，z＝3，
所以得，
④+⑤得：2x＝6，x＝3，
④﹣⑤得：y＝0，
方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组、解二元一次方程组，解决本题的关键是运用消元法解决问题．
20．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
（2）请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【点拨】（1）甲看错了方程组中的a，把代入①，②，乙看错了方程组中的b，把代入①，②，从而求出a、b正确的值和错误的值；
（2）把a＝﹣2，b＝2代入原方程组，然后用加减消元法解出方程组的解．
【解析】解：（1），
把代入①，②得，
﹣3×4﹣b×（﹣1）＝﹣4，
∴b＝8，
﹣3a+5×（﹣1）＝10．
∴a＝﹣5；
把代入①、②得，
5a+5×4＝10，
∴a＝﹣2，
4×5﹣4b＝﹣4，
∴b＝6；
∴甲把a看成了﹣5，乙把b看成了6；
（2）把a＝﹣2，b＝8代入原方程组，
原方程组为，
由②，得2x﹣4y＝﹣2③，
①+③，得y＝8，
把y＝8代入①，得x＝15，
∴原方程组的解：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
21．已知方程组与有相同的解，求m、n的值．
【点拨】根据两个方程组解相同，可先求出x、y的值，再将x、y的值代入其余两个方程即可求出m、n的值．
【解析】解：根据题意，得
解得
把x、y的值代入方程组，
解得
答：m、n的值为、﹣．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是先求出x、y的值．
22．规定＝ad﹣bc，如＝2×0﹣3×（﹣1）＝3．
（1）＝﹣3，求x的值；
（2）若＝1，＝﹣5，求m﹣n的值．
【点拨】（1）根据新定义得出﹣2（x+1）﹣15＝﹣3，再解一元一次方程即可；
（2）根据新定义得出两个二元一次方程，解方程组求得m、n的值，即可求得m﹣n＝2．
【解析】解：（1）∵＝﹣3，
∴﹣2（x+1）﹣15＝﹣3，
∴x＝﹣7；
（2）∵＝1，＝﹣5，
∴，
①×2+②×3得13n＝﹣13．
解得n＝﹣1，
把n＝﹣1代入①得3m﹣2＝1，
解得m＝1，
∴m﹣n＝2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，能根据新定义得出方程或方程组是解此题的关键．
23．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）．
若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，问竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
【点拨】设加工竖式纸箱x个，加工横式纸箱y个，根据两种纸箱每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
【解析】解：设加工竖式纸箱x个，加工横式纸箱y个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸箱200个，加工横式纸箱400个，恰好能将购进的纸板全部用完．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；明确题意，列出二元一次方程组是解题的关键．
24．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1③，③×19．得19x+19y＝19④，
②﹣④，得x＝﹣1，从而可得y＝2，
∴原方程组的解是．
（1）请你仿照上面的解题方法解方程组：；
（2）请直接写出关于x，y的方程组的解．
【点拨】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解析】解：（1），
①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1③，
③×2021，得2021x+2021y＝2021④，
④﹣②，得y＝2，
将y＝2代入③，得x＝﹣1，
∴方程组的解为；
（2），
①﹣②，得（a﹣b）x+（a﹣b）y＝a﹣b，即x+y＝1③，
③×（a+2），得（a+2）x+（a+2）y＝a+2④，
④﹣①，得y＝2，
将y＝2代入③，得x＝﹣1，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
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