(共20张PPT)
（浙教版）七年级
下
3.4.1 乘法公式
整式的乘除
第三章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.掌握平方差公式
2.会运用平方差公式进行多项式的乘法运算
3.会运用平方差公式进行简便计算
知识回顾
多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+n)(b+m)=
ab
+nb
+am
+nm
新知讲解
计算下列各题:
(a+2)(a-2)=______________________
(3-x)(3+x)=_______________________
(3) (2m+n)(2m-n)=_____________________
即：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
新知讲解
(a+b)(a-b)=a2-b2
即：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差
平方差公式
提示：这里的字母a，b可以是数，或是单项式，
甚至是更复杂的代数式
问：比较等号两边的代数式，它们在系数和字母方面各有什么特点？
新知讲解
新长方形的面积为：_______________
原图形实际面积为：________________
b
a
a
b
a-b
b
b
a
b
深化定义
（a+b)(a-b） a （相同项） b （相反项） a2-b2 最后结果
(b+3)(b-3) b2-32 b2-9
(a+3b)(a-3b)
(1-5b)(1+5b)
(-x+2)(-x-2)
(-2x-3)(-2x+3)
b
3
a
a -(3b)
1
5b
1 -(5b)
1-25b
-x
2
(-x) -2
x -4
-2x
3
(-2x) -3
a -9b
4x -9
3b
填
一
填
问题：利用平方差公式计算的关键是____________________
怎样确定a与b__________________________________
准确确定a和b
符号相同的项是a,符号相反的项是b
深化定义
下列式子中哪些可以用平方差公式运算
⑴ (2x-3y)(2x+3y) ⑵
⑶ (2+a)(a-2) ⑷ (3a+2b)(3a-2b)
⑸ (-4k+3)(-4k-3) ⑹ (1-x)(-x-1)
⑺ (-x-1)(x+1) ⑻ (x+3)(x-2)
可以
不可以
可以
可以
可以
可以
可以
不可以
典例精析
例1 运用平方差公式进行计算
（1）（2）
典例精析
例2 用平方差公式计算
（1）103×97 （2）59.8×60.2
（1）解：103×97 =（100+3)(100-3)=1002-32=10000-9=9991
（2）解：59.8×60.2=(60-0.2)(60+0.2)=602-0.22
=3600-0.04=3599.96
课堂练习
提示1：运用平方差公式时，要
紧扣公式的特征， 找出相同
项和相反项，然后应用公式；
提示2：对于不符合平方差公式标准者，要利用各个运算律，变成标准形式后，再用公式。
1.例题变式 (3x+5)(3x-5)
变式1-1 (3x+5y)(3x-5y)
变式1-2 (3x-5y)(3x+5y)
变式1-3 (3x+5y)(-5y+ 3x)
变式1-4 (5y +3x)(-5y+ 3x)
变式1-5 (-3x+5y)(-3x-5y)
课堂练习
2.(浙江杭州中考) (1+y)(1-y)=( )
A.1+y2 B.-1-y2 C.1-y2 D.-1+y2
3. 若a2-b2=4, 则(a+b)2(a-b)2的值是( )
A.24 B.16 C.8 D.4
4. (2023浙江温州龙湾期中) 若x2-y2=44, x-y=11, 则x+y= .
5. 为了美化城市, 经统一规划, 将一正方形草坪的一组对边增加4 m, 另一组对边缩短4 m, 则改造后的长方形草坪的面积比原来的面积 ( )
A.增加8 m2 B.增加16 m2 C.减少16 m2 D.保持不变
C
B
4
C
课堂练习
6. 解方程: (2a+1)(2a-1)-4a(a-1) = 7.
解：(2a+1)(2a-1)-4a(a-1) = 7
(2a)2-1-4a2+4a=7
4a=8
a=2
课堂总结
本节课你学到了什么
1、试用语言表述平方差公式 (a+b)(a b)=a2 b2。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
2、应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；
对于不符合平方差公式标准形式者，…………
板书设计
平方差公式 (a+b)(a b)=a2 b2
找出相等的“项”和符号相反的“项”
1.(浙江杭州下城期中)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是( )
A. B. (-m-n)(m+n)
C. (m-2)(m+2) D. (m-n)(n-m)
2. 利用平方差公式计算(3a-2)(-3a-2)的结果是( )
A. 4-9a2 B.9a2-4 C.9a2-2 D.9a2+4
3.计算 1102-109×111=___________
作业布置
C
A
1
作业布置
5. 如图, 大正方形的边长为a, 小正方形的边长为b, 大正方形与小正方形的面积之差是60, 求阴影部分的面积.
4.若(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63, a+b的值是___________.
S阴影 = S△AEC+S△AED=AE×BC+AE×BD
=AE×(BC+BD)=AE×CD
∵AE=a-b, CD=a+b,S=(a2-b2)=30
±4
Thanks!
2
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级下 学期 春季
课题 3.4.1 乘法公式——平方差公式
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级下册 出版社： 浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.掌握平方差公式 2.会运用平方差公式进行多项式的乘法运算 3.会运用平方差公式进行简便计算
课前学习任务
预习平方差公式 2.复习多项式乘多项式的乘法法则
课上学习任务
【学习任务一】课堂导入 多项式与多项式相乘的法则:_____________________________________________ 【学习任务二】 1.开展项目活动一：计算下列各题 追问1：(a+2)(a-2)=__________ 追问2： (3-x)(3+x)=___________ 追问3： (2m+n)(2m-n)=_________ 项目化活动2 追问1：新长方形的面积为：_______________ 追问2：原图形实际面积为：________________ 【学习任务三】深化定义 思考1：填空 问题：利用平方差公式计算的关键是__________ ，怎样确定a与b________________ 判断哪些可以用平方差公式运算 ⑴ (2x-3y)(2x+3y) （2） ⑶ (2+a)(a-2) ⑷ (3a+2b)(3a-2b) ⑸ (-4k+3)(-4k-3) ⑹ (1-x)(-x-1) ⑺ (-x-1)(x+1) ⑻ (x+3)(x-2) 【学习任务四】典例精析 例1运用平方差公式进行计算 例2 用平方差公式计算 （1）103×97 （2）59.8×60.2 总结： 。 【学习任务五】课堂练习 1.例题变式 (3x+5)(3x-5) 变式1-1 (3x+5y)(3x-5y) 变式1-2 (3x-5y)(3x+5y) 变式1-3 (3x+5y)(-5y+ 3x) 变式1-4 (5y +3x)(-5y+ 3x) 变式1-5 (-3x+5y)(-3x-5y) 2.(1+y)(1-y)=( ) A.1+y2 B.-1-y2 C.1-y2 D.-1+y2 3.若a2-b2=4,则(a+b)2(a-b)2的值是( ) A.24 B.16 C.8 D.4 4.(2023浙江温州龙湾期中)若x2-y2=44,x-y=11,则x+y= . 5.为了美化城市,经统一规划,将一正方形草坪的一组对边增加4 m,另一组对边缩短4 m,则改造后的长方形草坪的面积比原来的面积( ) A.增加8 m2 B.增加16 m2 C.减少16 m2 D.保持不变 6. 解方程: (2a+1)(2a-1)-4a(a-1) = 7. 【学习任务六】作业布置 1.(2023浙江杭州下城期中)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是( ) A. B.(-m-n)(m+n) C.(m-2)(m+2) D.(m-n)(n-m) 2.利用平方差公式计算(3a-2)(-3a-2)的结果是( ) A.4-9a2 B.9a2-4 C.9a2-2 D.9a2+4 3.计算 1102-109×111=___________ 4.若(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63, a+b的值是___________. 5.如图, 大正方形的边长为a, 小正方形的边长为b, 大正方形与小正方形的面积之差是60, 求阴影部分的面积.
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分课时教学设计
《3.4 乘法公式》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是浙教版初中数学七年级下册第三章第四节《乘法公式》中的内容，本节主要学习平方差公式(a+b)(ab)=a 2-b 2，它是整式乘法中的重要公式之一通过公式的推导和应用，学生可以简化整式乘法运算，并为后续学习因式分解奠定基础。同时它也是“多项式乘多项式”的特殊形式,也是后续学习“因式分解”中“公式法”的重要基础。掌握本节内容对提高学生的代数运算能力和逻辑推理能力具有重要意义。
学习者分析 七年级学生已学习“多项式乘多项式”的运算法则，但对复杂运算(如含负号的乘法)易出现符号错误、漏项等问题。虽然具备初步的代数运算能力，但对公式的推导过程理解不深，难以灵活应用公式。且抽象概括能力不足，从具体实例归纳公式存在困难。
教学目标 1.掌握平方差公式 2.会运用平方差公式进行多项式的乘法运算 3.会运用平方差公式进行简便计算
教学重点 平方差公式
教学难点 构图解释平方差公式
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识回顾教师活动1： 多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加 学生活动1： 回顾公式并熟练书写活动意图说明：知识回顾为本节课打下基础环节二：新知讲解教师活动2： 计算下列各题: （1）(a+2)(a-2)=____a2-4_________ （2）(3-x)(3+x)=___9-x2___________ (3)(2m+n)(2m-n)=___4m2-n2__________ 即：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 提示：这里的字母a，b可以是数，或是单项式，甚至是更复杂的代数式 图形解释： 新长方形的面积为：_______________ 原图形实际面积为：________________学生活动2： 一起计算并总结平方差公式活动意图说明：有利于学生参与探索，感受数学学习的过程，体会数形结合的思想。环节三：深化定义教师活动3： 1.填空 问题：利用平方差公式计算的关键是__________ 怎样确定a与b________________ 判断哪些可以用平方差公式运算 ⑴ (2x-3y)(2x+3y) ⑶ (2+a)(a-2) ⑷ (3a+2b)(3a-2b) ⑸ (-4k+3)(-4k-3) ⑹ (1-x)(-x-1) ⑺ (-x-1)(x+1) ⑻ (x+3)(x-2)学生活动3： 跟着师的分析一起填空，学会判断活动意图说明：加深平方差公式的印象，并熟练掌握环节四：典例精析教师活动4： 例1运用平方差公式进行计算 学生活动4： 计算活动意图说明：及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑并落实新知与方法，增强学生运算能力。
板书设计 平方差公式 (a+b)(a b)=a2 b2 找出相等的“项”和符号相反的“项”
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.例题变式 (3x+5)(3x-5) 变式1-1 (3x+5y)(3x-5y) 变式1-2 (3x-5y)(3x+5y) 变式1-3 (3x+5y)(-5y+ 3x) 变式1-4 (5y +3x)(-5y+ 3x) 变式1-5 (-3x+5y)(-3x-5y) 2.(1+y)(1-y)=( ) A.1+y2 B.-1-y2 C.1-y2 D.-1+y2 3.若a2-b2=4,则(a+b)2(a-b)2的值是( ) A.24 B.16 C.8 D.4 选做题： 4.(2023浙江温州龙湾期中)若x2-y2=44,x-y=11,则x+y= . 5.为了美化城市,经统一规划,将一正方形草坪的一组对边增加4 m,另一组对边缩短4 m,则改造后的长方形草坪的面积比原来的面积( ) A.增加8 m2 B.增加16 m2 C.减少16 m2 D.保持不变 【综合拓展类作业】 6. 解方程: (2a+1)(2a-1)-4a(a-1) = 7.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.(2023浙江杭州下城期中)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是( ) A. B.(-m-n)(m+n) C.(m-2)(m+2) D.(m-n)(n-m) 2.利用平方差公式计算(3a-2)(-3a-2)的结果是( ) A.4-9a2 B.9a2-4 C.9a2-2 D.9a2+4 3.计算 1102-109×111=___________ 选做题： 4.若(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63, a+b的值是___________. 【综合拓展类作业】 5.如图, 大正方形的边长为a, 小正方形的边长为b, 大正方形与小正方形的面积之差是60, 求阴影部分的面积.
教学反思 要鼓励学生研究和发现公式的特点，理解平方差公式只是多项式乘以多项式的一类特例，并联想是否还有其他特例(为后继学习作准备)，认识了这一点，让学生用代数推理的办法验证自己的猜想也是有益的。
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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第三章
课标要求 1）了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)2）理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)。3）理解乘法公式(a +b)(a -b)= a2 -b ,(a±b) = a2±2ab +b2,了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。4）能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)。
内容分析 本章的主要内容有幂的运算法则、整式的乘法和整式的除法,在七年级上册，学生已经学习过整式的加减通过本章的学习,学生基本上学完了整式的四则运算,整式的四则运算在整个“数与代数”领域中有着重要的地位.因式分解、分式等概念都是在整式概念的基础上建立起来的,分解因式以整式的乘法为依据,分式的运算最终都归结为整式的运算,整式的运算是学生继续学习数学的重要基础和工具,另外,整式的运算在生活和生产实际中也有许多直接的应用.
学情分析 在七年级上册，学生已经学习了整式的加、减运算，在这个过程中，初步体会了代数式运算在解决“具有一般性”的问题中的作用。本单元的知识在学习整式乘法法则的过程中，教科书特别注重借助几何图形理解法则，进一步体会整式运算的意义，发展学生的符号意识。
单元目标 （一）教学目标理解多项式乘以多项式、多项式乘以单项式、单项式乘以单项式的运算法则，并能运用这些法则进行简便计算。理解多项式除以单项式的运算法则，掌握整式的除法运算，解决实际问题中的整式除法问题。能够运用整式的乘除法则，解决实际问题，如面积、体积等计算问题。（二）教学重点、难点教学重点：整式的乘法和除法是进一步学习因式分解、分式及其运算等代数式知识教学难点:多项式乘多项式运算，零指数幂和负整数指数幂的概念
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1同底数幂的乘法33.2单项式的乘法13.3多项式的乘法23.4乘法公式23.5整式的化简13.6同底数幂的除法23.7整式的除法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1.1 同底数幂的乘法1.进一步了解正整数指数幂的意义，了解同底数幂相乘是出于解决实际问题的需要。2.理解同底数幂相乘的法则。3.会运用同底数幂的乘法法则进行同底数幂相乘，并解决简单的实际问题.1.进一步了解正整数指数幂的意义，了解同底数幂相乘是出于解决实际问题的需要。2.理解同底数幂相乘的法则。3.会运用同底数幂的乘法法则进行同底数幂相乘，并解决简单的实际问题.任务1.生活实例引入课题任务2. 出示例题3.1.2同底数幂的乘法理解幂的乘方法则会运用幂的乘方法则计算幂的乘方会综合运用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则进行简单的混合运算理解幂的乘方法则2.会运用幂的乘方法则计算幂的乘方3会综合运用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则进行简单的混合运算活动1：知识回顾活动2：例题3.1.3同底数幂的乘法理解积的乘方法则会计算积的乘方会进行简单的幂的混合运算1.理解积的乘方法则2.会计算积的乘方3.会进行简单的幂的混合运算活动1：知识回顾活动2：例题3.2 单项式的乘法1.掌握单项式与单项式相乘的法则2.掌握单项式与多项式相乘的法则1.掌握单项式与单项式相乘的法则2.掌握单项式与多项式相乘的法则任务1. 生活实例引入课题任务2. 出示例题活动3：合作学习活动4：例题3.3.1 多项式的乘法1.掌握多项式与多项式相乘的法则2.会运用单项式和单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则化简整式1.掌握多项式与多项式相乘的法则2.会运用单项式和单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则化简整式任务1. 生活实例引入课题任务2. 出示例题3.3.2多项式的乘法进一步掌握多项式与多项式相乘的法则.会运用多项式、单项式的加、减乘运算化简整式了解多项式的升幂排列和降幂排列1.进一步掌握多项式与多项式相乘的法则.2.会运用多项式、单项式的加、减乘运算化简整式3.了解多项式的升幂排列和降幂排列任务1. 例题3.4.1 乘法公式1.掌握平方差公式2.会运用平方差公式进行多项式的乘法运算3.会运用平方差公式进行简便计算1.掌握平方差公式2.会运用平方差公式进行多项式的乘法运算3.会运用平方差公式进行简便计算任务1. 从生活实例到课题任务2. 出示例题3.4.2 乘法公式 1.掌握完全平方公式2.会用完全平方公式进行多项式的乘法运算 1.掌握完全平方公式2.会用完全平方公式进行多项式的乘法运算任务1. 从生活实例到课题任务2. 出示例题3.5 整式的化简掌握整式的加、减、乘、乘方混合运算的运算顺序会利用加、减、乘、乘方混合运算将整式化简会利用加、减、乘、乘方运算解决简单的实际问题1.掌握整式的加、减、乘、乘方混合运算的运算顺序2.会利用加、减、乘、乘方混合运算将整式化简3.会利用加、减、乘、乘方运算解决简单的实际问题任何1：从生活实例到课题任务2. 出示例题3.6.1 同底数幂的除法1.理解同底数幂相除的法则2. 会用同底数幂相除的法则进行同底数幂相除的运算1.理解同底数幂相除的法则2. 会用同底数幂相除的法则进行同底数幂相除的运算任何1：从生活实例到课题任务2. 出示例题3.6.2 同底数幂的除法1.了解零指数幂的概念2.了解负整数指数幂的概念3.用科学记数法表示绝对值较小的数4.了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂1.了解零指数幂的概念2.了解负整数指数幂的概念3.用科学记数法表示绝对值较小的数4.了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂任何1：合作学习任务2. 出示例题3.7 整式的除法1.掌握单项式除以单项式的运算法则2.掌握多项式除以单项式的运算法则3.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式，以及简单的乘除混合运算1.掌握单项式除以单项式的运算法则2.掌握多项式除以单项式的运算法则3.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式，以及简单的乘除混合运算任何1：从生活实例到课题任务2. 出示例题
《整式的乘除》单元教学
3.1.1 同底数幂的乘法
活动2：例题
活动1：生活实例引入课题
3.1.3 同底数幂的乘法
整式的乘除
3.4.1 乘法公式
活动1：例 题
3.5 整式的化简
活动2：例题
3.3.1 多项式的乘法
活动1：从生活实例到课题
活动2：例 题
3.1.2 同底数幂的乘法
活动1：知识回顾
活动2：例题
3.2 单项式的乘法
活动1：生活实例引入课题
活动2：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：例题
活动1：知识回顾
活动3：合作学习
活动4：例题
3.3.2 多项式的乘法
3.4.2 乘法公式
活动1：生活实例引入课题
活动2：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：例题
3.6.1 同底数幂的除法
活动1：生活实例引入课题
活动2：例题
3.6.2 同底数幂的除法
活动1：合作学习
活动2：例题
3.7 整式的除法
活动1：生活实例引入课题
活动2：例题
整式的乘除
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
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