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二元一次方程组 单元综合巩固提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（ ）
A．3x+y B．x﹣5y＝12 C．2xy+y＝0 D．﹣y＝1
2．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图， 10 块相同的长方形墙砖拼成一个长方形， 设长方形墙砖的长和宽分别为 和 ， 则依题意列方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
4． 从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路． 如果保持上坡速度为 ， 平路速度为 ， 下坡速度为 ， 那么从甲地到乙地需 ， 从乙地到甲地需 ．问： 从甲地到乙地全程是多少千米？ 小亮将这个实际问题转化为二元一次方程组问题． 设未知数 ， 已经列出一个方程为 ， 那么另一个方程正确的是 ( )
A． B． C． D．
5．某足球比赛的记分规则是： 胜一场得 3 分， 平一场得 1 分， 负一场得 0 分． 若一个队踢了 14 场， 负了 5 场， 共得 19 分， 则这个队胜了( )
A．6 场 B．5 场 C．4 场 D．3 场
6．关于 的方程组 的解中 的值比 的值的相反数大 2 ， 则 为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
7．若方程组(k为常数)的解中，x，y互为相反数，则k的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．41
8．运用加减法解方程组较简单的方法是（ ）
A．先消去x，再解
B．先消去z，再解
C．先消去y，再解
D．三个方程相加得8x-2y+4x=11，再解
9．为了奖励学习进步的同学，某班准备购买甲、乙、丙三种不同的笔记本作为奖品，其单价分别为2元、3元、4元，购买这些笔记本需要花60元；经过协商，每种笔记本单价下降0.5元，只花了49元，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．乙种笔记本比甲种笔记本少4本
B．甲种笔记本比丙种笔记本多6本
C．乙种笔记本比丙种笔记本多8本
D．甲种笔记本与乙种笔记本共12本
10．若方程■是二元一次方程，■是被污染的x的系数，则推断■的值 （ ）
A．不可能是2 B．不可能是1 C．不可能是0 D．不可能是-1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，，用含的代数式表示，可得 ．
12．若 是方程 的一个解， 则
13． 已知关于 的方程组 无论 取何值， 的值都是一个定值， 则这个定值为 .
14．无论实数a取何值，关于x，y的二元一次方程 都有一个相同的解，则这个相同的解是 .
15．已知 ， 满足方程组 ，则x+y= ．
16．两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在木桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的总长度的 ，另一根露出水面的长度是它的总长度的 ，两根铁棒长度之和为 ，此时木桶中水的深度是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解.
（1）求这两个方程组的解；
（2）求代数式的值.
18．某市热带植物园的门票价格规定如下表所列.某校七年级（1）、（2）两个班学生共103人去该园参观， 其中七（1）班人数不少于30人且不多于50人. 经预算，若两班都以班为单位分别购票，则总共付1950元.
购票人数 1～50人 51～100人 100人以上
每人门票价 20元 18元 15元
（1）若两班学生合在一起作为一个团体购票，则最多可以节省门票多少元？
（2）求两班各有多少名学生？
19．如图，这是Excel工作表的一部分，字母A－E依次表示列，数1－5依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n．
A B C D E
1
x
2
a
3 w
4
y
5
（1）若a＝8，x＝12，y＝9，求m，n的值．
（2）若w＝0，求x与a的数量关系．
20．解方程组 时，小强正确解得 ，而小刚只看错了c，解得
（1）小刚把C错看成了什么数？并求出原方程组中的c值.
（2）求a，b的值.
21．河大附中初一年级有350名同学去春游，已知2辆A型车和1辆B型车可以载学生100人；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人．
（1）A、B型车每辆可分别载学生多少人？
（2）若租一辆A需要100元，一辆B需120元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少．
22．解下列方程组：
（1）
（2）
23．某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润＝售价﹣进价），这两种服装的进价、标价如下表所示：
类型价格 A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？
24．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97200元．
（1）求化工厂从A地购买这批原料及利用这批原料生产的产品各多少吨？
（2）计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
25．据统计资料，甲 乙两种农作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长为200m，宽100m的长方形土地分为两部分，分别种植这两种农作物，使甲 乙两种农作物的总产量的比是3：10．
（1）若将原长方形土地分成两部分，其中一种分为长方形，请你设计一种分割方案，在图中画出，并通过计算说明；
（2）若将原长方形土地分成两部分，其中一种分为三角形，请你设计一种分割方案，在图中画出，并通过计算说明．
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二元一次方程组 单元综合巩固提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（ ）
A．3x+y B．x﹣5y＝12 C．2xy+y＝0 D．﹣y＝1
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 3x+y 是代数式，不是方程，故不符合题意；
B、x﹣5y＝12是关于x，y的二元一次方程， 故符合题意；
C、2xy+y＝0是关于x，y的二元二次方程， 故不符合题意；
D、﹣y＝1是分式方程， 故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】含有两个未知数，且未知数项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程，据此判断即可.
2．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得
，
故答案为：C．
【分析】 设共有x人，y辆车， 根据题意列出方程组即可。
3．如图， 10 块相同的长方形墙砖拼成一个长方形， 设长方形墙砖的长和宽分别为 和 ， 则依题意列方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意可得：
即
故答案为：C.
【分析】根据题意可得：大长方形的长可以表示为2x，也可以表示为x+3y ，故有2x=x+3y；大长方形的宽可以表示为x+2y，故有x+2y=75.联立即可得到方程组.
4． 从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路． 如果保持上坡速度为 ， 平路速度为 ， 下坡速度为 ， 那么从甲地到乙地需 ， 从乙地到甲地需 ．问： 从甲地到乙地全程是多少千米？ 小亮将这个实际问题转化为二元一次方程组问题． 设未知数 ， 已经列出一个方程为 ， 那么另一个方程正确的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意可得上坡的路程为x，平路为y，
故另一个方程为：；
故答案为：D.
【分析】先根据题中方程判断出上坡的路程为x，平路为y，结合从乙地到甲地需42min，列方程即可.
5．某足球比赛的记分规则是： 胜一场得 3 分， 平一场得 1 分， 负一场得 0 分． 若一个队踢了 14 场， 负了 5 场， 共得 19 分， 则这个队胜了( )
A．6 场 B．5 场 C．4 场 D．3 场
【答案】B
【解析】【解答】解：设该队胜了x场，平了y场，则根据条件可得：
，
①-②得2x=10，解得x=5.
即该队胜了5场.
故答案为：B.
【分析】 首先理解题意找出题中的等量关系：平场得分+胜场得分=19分，平场数+胜场数=9场，根据此列方程组，求解即可.
6．关于 的方程组 的解中 的值比 的值的相反数大 2 ， 则 为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 的值比 的值的相反数大 2 ，
∴x-（-y）=x+y=2，
联立，
解得，
把代入kx-（k-1）y=-8，得4k+2（k-1）=-8
解得k=-1.
故答案为：C.
【分析】根据“ 的值比 的值的相反数大 2 ”可得x+y=2，联立4x+3y=10为方程组并解之，再将其代入kx-（k-1）y=-8中求出k值即可.
7．若方程组(k为常数)的解中，x，y互为相反数，则k的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．41
【答案】B
【解析】【解答】解：∵方程组(k为常数)的解中，x，y互为相反数 ，
∴x+y=0，
∴组方程组得：
解得：
把代入方程2x+y=1-3k，得：
k=1.
故答案为：B.
【分析】由已知题中给出的信息可知：x+y=0，再组方程组，解出x、y值，代入方程①，求出K值即可.
8．运用加减法解方程组较简单的方法是（ ）
A．先消去x，再解
B．先消去z，再解
C．先消去y，再解
D．三个方程相加得8x-2y+4x=11，再解
【答案】C
【解析】【解答】解：∵
由方程②×3+③，得
11x+7z=29，④.
然后由①④组方程组，得：
再解此方程组，得出方程组的解.
故答案为：C.
【分析】通过观察分析发现，方程①不含字母y，②、③中字母y的系数有倍数关系，消y，比较简便.所以选择答案C.
9．为了奖励学习进步的同学，某班准备购买甲、乙、丙三种不同的笔记本作为奖品，其单价分别为2元、3元、4元，购买这些笔记本需要花60元；经过协商，每种笔记本单价下降0.5元，只花了49元，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．乙种笔记本比甲种笔记本少4本
B．甲种笔记本比丙种笔记本多6本
C．乙种笔记本比丙种笔记本多8本
D．甲种笔记本与乙种笔记本共12本
【答案】B
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种不同的笔记本的数量分别为x本、y本、z本，依题意得：
①-②得：x+y+z=22，③，
③×3-①得，x-z=6，
∴甲种笔记本比丙种笔记本多6本.
故答案为：B.
【分析】根据题意设未知数，根据单价分别为2元、3元、4元时购买这些笔记本需要花60元和每种笔记本单价下降0.5元共花49元，分别列方程，组成方程组，再观察分析，看哪个答案正确即可.
10．若方程■是二元一次方程，■是被污染的x的系数，则推断■的值 （ ）
A．不可能是2 B．不可能是1 C．不可能是0 D．不可能是-1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵被污染的x的系数如果是1，那么移项合并同类项后，就没有了两个未知数，就不是二元一次方程了，
∴被污染的数不可能是1.
故答案为：B.
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，，用含的代数式表示，可得 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵x=3-t，y=2t-1，
∴y=2(3-x)-1=-2x+5.
故答案为：-2x+5.
【分析】由x=3-t可得t=3-x，代入y=2t-1中进行化简即可.
12．若 是方程 的一个解， 则
【答案】4
【解析】【解答】解：代入解到方程中，有-2×2+3a=8，解得a=4.
故答案为：4.
【分析】直接代入解，得到关于a的一元一次方程并求解即可.
13． 已知关于 的方程组 无论 取何值， 的值都是一个定值， 则这个定值为 .
【答案】7
【解析】【解答】解：
①×3－②得：x+9y=7.
故答案为：7.
【分析】可以①×3－②，得x+9y=7，问题可解决；也可分别表示出x和y，再计算x+9y的值.
14．无论实数a取何值，关于x，y的二元一次方程 都有一个相同的解，则这个相同的解是 .
【答案】
【解析】【解答】解：方程 整理得：
整理得：
由无论实数a取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，
得到
解得： ，
故答案为： .
【分析】将原方程转化为（2x+y+1）a+x-y+2=0，根据无论实数a取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值即可.
15．已知 ， 满足方程组 ，则x+y= ．
【答案】3
【解析】【解答】解： ，
①+②得：3x+3y＝9，
则x+y＝3．
故填3．
【分析】利用加减消元法求出x、y的值，再代入计算即可。
16．两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在木桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的总长度的 ，另一根露出水面的长度是它的总长度的 ，两根铁棒长度之和为 ，此时木桶中水的深度是 ．
【答案】80
【解析】【解答】设较长铁棒的长度为 ，较短铁棒的长度为 .
根据题意得： ，
解得： ，
∴木桶中水的深度为 ．
故答案为：80
【分析】设较长铁棒的长度为 ，较短铁棒的长度为 .根据题意列出方程，解之即可。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解.
（1）求这两个方程组的解；
（2）求代数式的值.
【答案】（1）解：由题意得：
，
①+②得：，
，
把代入①得：，
，
，
∴这两个方程组的解是：；
（2）解：把代入可得：
，
③④得：，
，
把代入③得：，
，
所以：，
.
【解析】【分析】（1）根据两方程组有相同的解，可将两个方程组中的第一个方程联立得新方程组，再利用加减消元法解方程组即得结论；
（2）将（1）求出的方程组的解 代入ax-by=-4与bx-ay=-8中，可得关于a、b的方程组，解之即得a、b值，再代入计算即可.
18．某市热带植物园的门票价格规定如下表所列.某校七年级（1）、（2）两个班学生共103人去该园参观， 其中七（1）班人数不少于30人且不多于50人. 经预算，若两班都以班为单位分别购票，则总共付1950元.
购票人数 1～50人 51～100人 100人以上
每人门票价 20元 18元 15元
（1）若两班学生合在一起作为一个团体购票，则最多可以节省门票多少元？
（2）求两班各有多少名学生？
【答案】（1）解：最多可以节省：1950-103×15=405（元）；
（2）解：设七年级（1）班有x名学生，七年级（2）班有y名学生，
因为甲班人数不少于30人且不多于50人，
所以依题意，得
解这个方程组，得 ，
答：七年级（1）班有48名学生，七年级（2）班有55名学生.
【解析】【分析】（1）根据100人以上每人的票价为15元，求出103人的总票价，然后利用1950减去总票价可求出节省的钱数；
（2）设七年级（1）班有x名学生，七年级（2）班有y名学生，根据七（1）班人数不少于30人且不多于50人可得七年级（2）班人数不少于60人且不多于73人，根据总人数为103人可得x+y=103，根据总共付1950元 可得20x+18y=1950，联立求解即可.
19．如图，这是Excel工作表的一部分，字母A－E依次表示列，数1－5依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n．
A B C D E
1
x
2
a
3 w
4
y
5
（1）若a＝8，x＝12，y＝9，求m，n的值．
（2）若w＝0，求x与a的数量关系．
【答案】（1）解：由已知得： ，
解得：
（2）解：由已知得： ，
解得：x＝2a
【解析】【分析】(1)根据a与x的位置关系，结合每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n，建立等式8+2n-m=9；同理得等式12+n-2m=8，再联立求解即可；
(2)根据a与w的位置关系，结合每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n，建立等式a+n-2m=0；同理得等式x+n-2m=a，再联立消去参数m、n即可求解.
20．解方程组 时，小强正确解得 ，而小刚只看错了c，解得
（1）小刚把C错看成了什么数？并求出原方程组中的c值.
（2）求a，b的值.
【答案】（1）解：把 代入cx-4y=-2，得
-2c-16=-2，
解得c=-7，
所以小刚把c错看成了-7，
把 代入cx-4y=-2，得
2c-8=-2，
解得c=3，
所以原方程组中的c值是3
（2）解：由题意得，
，
解得 ，
所以a、b的值分别为1，2.
【解析】【分析】（1）把 代入cx-4y=-2求出c，小刚把c错看成的数，把 代入cx-4y=-2求出c，就是原方程组中的c值；（2）根据题意把 和 代入ax+by=6组成方程组，解方程组求出a、b的值.
21．河大附中初一年级有350名同学去春游，已知2辆A型车和1辆B型车可以载学生100人；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人．
（1）A、B型车每辆可分别载学生多少人？
（2）若租一辆A需要100元，一辆B需120元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少．
【答案】（1）解：设A、B型车每辆可分别载学生x，y人，
可得： ，
解得： ，
答：A、B型车每辆可分别载学生30人，40人；
（2）解：设租用A型a辆，B型b辆，
可得：30a+40b＝350，
因为a，b为正整数，所以方程的解为： ， ， ，
方案一：A型1辆，B型8辆，费用：100×1+120×8＝1060元；
方案二：A型5辆，B型5辆，费用：100×5+120×5＝1100元；
方案三：A型9辆，B型2辆，费用：100×9+120×2＝1140元；
所以租用1辆A型8辆B型车花费最少为1060元．
【解析】【分析】（1）根据载客量，可得方程组，根据解方程组，可得答案；（2）根据题意列出方程，可得答案．
22．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解： ①x2+②得：5x=10，x=2，
把x=2代入①得：y=-2，原方程组的解是：
（2）解：原方程组可变为 ①-②得：-4y=16
解得：y=-4
把y=-4代入①得2x-（-4）=16
解得：x=6
原方程组的解为
【解析】【分析】（1）解二元一次方程组，利用消元法，先求得x，再代入求出y值。
（2）解二元一次方程组，利用消元法，先求得y，再代入求出x值。
23．某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润＝售价﹣进价），这两种服装的进价、标价如下表所示：
类型价格 A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？
【答案】（1）解：设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意，得
，
解得： ．
答：A种服装购进50件，B种服装购进30件
（2）解：由题意，得
3800﹣50（100×0.8﹣60）﹣30（160×0.7﹣100）
＝3800﹣1000﹣360
＝2440（元）．
答：服装店比按标价售出少收入2440元．
故答案为（1）A种服装购进50件，B种服装购进30件；（2）服装店比按标价售出少收入2440元.
【解析】【分析】（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由总价=单价×数量，利润=售价-进价建立方程组求出其解即可；（2）分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润=总利润-打折后A种服装的利润-打折后B中服装的利润，求出其解即可．
24．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97200元．
（1）求化工厂从A地购买这批原料及利用这批原料生产的产品各多少吨？
（2）计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
【答案】（1）解：设工厂从A地购买了x吨原料，利用这批原料生产的产品有y吨，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
答：工厂从A地购买了400吨原料，利用这批原料生产的产品有300吨
（2）解：依题意得：300×8000﹣400×1000﹣15000﹣97200=1887800（元），
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元
【解析】【分析】（1）设工厂从A地购买了x吨原料，利用这批原料生产的产品y吨，利用两个等量关系：A地到长青化工厂的公路里程×1.5x+B地到长青化工厂的公路里程×1.5y=这两次运输共支出公路运输费15000元；A地到长青化工厂的铁路里程×1.2x+B地到长青化工厂的铁路里程×1.2y=这两次运输共支出铁路运输费97200元，列出关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可得到该工厂从A地购买原料的吨数以及制成运往B地的产品的吨数；（2）由第一问求出的原料吨数×每吨1000元求出原料费，再由这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元，两运费相加求出运输费之和，由制成运往B地的产品的吨数×每吨8000元求出销售款，最后由这批产品的销售款﹣原料费﹣运输费的和，即可求出所求的结果．
25．据统计资料，甲 乙两种农作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长为200m，宽100m的长方形土地分为两部分，分别种植这两种农作物，使甲 乙两种农作物的总产量的比是3：10．
（1）若将原长方形土地分成两部分，其中一种分为长方形，请你设计一种分割方案，在图中画出，并通过计算说明；
（2）若将原长方形土地分成两部分，其中一种分为三角形，请你设计一种分割方案，在图中画出，并通过计算说明．
【答案】（1）如图1，把矩形沿EF划分为两个矩形，在矩形ABFE上种植甲种农作物，在矩形EFCD上种植乙种农作物，设AE=xm，DE=ym，
则
化简，得： 解得
分割方案：沿图中线段EF分割，使AE=75m，ED=125m，在矩形ABFE上种植甲种农作物，在矩形EFCD上种植乙种农作物，
；
（2）如图2，把矩形沿AE划分为一个三角形ABE和一个梯形AECD，在三角形ABE上种植甲种农作物，在梯形AECD上种植乙种农作物，设BE=xm，EC=ym，
则
化简，得： 解得
分割方案：沿图中线段AE分割，使BE=150m，EC=50m，在三角形ABE上种植甲种农作物，在梯形AECD上种植乙种农作物．
【解析】【分析】（1）如图1，把矩形沿EF划分为两个矩形，在矩形ABFE上种植甲种农作物，在矩形EFCD上种植乙种农作物，设AE=xm，DE=ym，列出方程求解即可；（2）如图2，把矩形沿AE划分为一个三角形ABE和一个梯形AECD，在三角形ABE上种植甲种农作物，在梯形AECD上种植乙种农作物，设BE=xm，EC=ym，列出方程求解即可．
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