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【50道综合题·专项集训】浙教版数学七年级下册第3章 整式的乘除
1．如题图，某公园内有一块长为，宽为的长方形地块，计划在中间留一块长为、宽为的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
（1）求绿化的面积；
（2）若，，绿化成本为，则完成绿化共需要多少元？
2．为着力打造天蓝地绿水净、宜居宜业宜游的绿都郑州，完成2023年12月31日前的新建绿地任务，郑州加快推进生态郑州、美丽郑州建设．如图，现新建一块长为，宽为的长方形绿地，并在绿地中间修建横向和纵向宽度都为a的道路，将空地分成四块大小不同区域．
（1）求绿地（空白部分）的面积；（用含a、b的式子表示）
（2）若，，求绿地（空白部分）的面积．
3．某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．
（1）用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；
（2）当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；
（3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）．
4．计算下列各题：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
5．
（1）填空：
① ＝ ；
② ＝ ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
6．
（1）计算：20012-1999×2003；
（2）计算：
（3）已知：xm=3，xn=2，求x2m-3n的值．
7．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1 ，
图2 ，
图3 ．
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．
8．
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）已知，，求的值．
（4）解方程：
9．如图，某乡镇有一块长为米，宽为米的长方形耕地，当地镇响应退耕还林政策，决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地，退耕还林．
（1）求退耕还林的面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简）
（2）当，时，求退耕还林的面积．（结果用科学记数法表示）
10．已知： ，求下列代数式的值：
（1）
（2）
11．已知多项式，．
（1）化简：；
（2）当，时，求的值．
12．
（1）已知10m=4，10n=5，求10m+n的值．
（2）如果a+3b=4，求3a×27b的值．
13．如图
（1）如图，是用4个全等的长方形拼成一个“回形”的正方形，试将图中阴影部分面积用两种方法表示可得一个等式，这个等式为 ；
（2）若 ， ，利用（1）中的等式，求 的值.
14．计算：
（1）（﹣x2y5） （xy）3；
（2）4a（a﹣b+1）．
15．计算
（1）|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（ ）﹣1
（2）（﹣a2）3﹣6a2 a4
（3）3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1）
（4）（m4）2+m5 m3+（﹣m）4 m4．
16．如图1所示是一个长2m，宽2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分为四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.
（1）用两种方法表示图2中阴影部分的面积.
（2）观察图2，请你写出代数式 ， ， 之间的等量关系式.
（3）根据(2)中的结论，若 ， ，求 的值.
17．化简与求值：
（1）已知当 时，代数式 值为 ，求代数式 的值．
（2）已知 ，代数式 的值．
（3）若多项式 是关于 ， 的四次二项式，求代数式 的值．
18．
（1）计算(π-3)0+|-2|-()-1
（2）先化简，再求值：(5m+4)(5m-4)-5m(5m-6)，其中m=
19．图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形．
（1）图2中间空白的部分的面积是 ；
（2）观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式 ；
（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若，，求的值．
20．如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2).
（1）图2中的阴影部分面积为： ；（用a、b的代数式表示）
（2）观察图2，请你写出（a+b）2、 (a-b)2、 ab之间的等量关系是 ；
（3）利用（2）中的结论，若x+y=5 ，xy= ，求(x-y)2的值 ；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式 ；
（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、 BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正
方形CBFG，连接EG、
BG、 BE，当BC=1时，△BEG的面积记为S1，当BC=2时，△BEG的面积记为S2，......，以此类推，当BC=n时，△BEG的面积记为Sn，则S2020-S2019的值为 .
21．已知x＝2﹣ ，y＝2+ ，求下列代数式的值
（1）x2+2xy+y2；
（2）
22．先化简，再求值：
（1）x﹣2（x+2y）+3（2y﹣x），其中x=﹣2，y=1．
（2）已知2a2﹣[ （ab﹣4a2）+8ab]﹣ ab，其中a=﹣ ，b= ，求代数式的值．
23．（1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值.
（3）如图，有A型、B型、C型三种不同类型的纸板，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为a，宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形.若想用这些纸板拼成一个长方形，使其面积为 .
完成下列各题：
①填空 = ；
②请问需要A型纸板、B型纸板、C型纸板各多少张？试说明理由.
24．综合题如图1，在边长为a的正方形中
（1）画出两个长方形阴影，则阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的长是 ，宽是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）；
（4）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
25．在学习“乘法公式“时，育红中学七（1）班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段 和 ，把大正方形分成四部分（如图所示）.
观察发现
（1）请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系： .
（2）请你作一个图形验证： .
（3）若 ，如图中阴影部分的面积和为13，求 的值.
26．已知1cm3的氢气质量约为0.00009g.请用科学记数法表示下列计算结果.
（1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量；
（2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍．
27．如图1是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边，两个小正方形的边长分别是a、b．
（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图2）．用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：
方法一： ；
方法二： ；（直接把答案填写在答题卡的横线上）
（2）观察图2，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系： ．（直接把答案填写在答题卡的横线上）
（3）请利用（2）中等量关系解决问题：若图1中一个三角形面积是6，图2的大正方形面积是64，求的值．
28．若a+b＝5，ab＝3，求：
（1）求a2+b2的值；
（2）求a﹣b的值．
29．计算下列各式，然后回答问题
（1）(x+4)(x+3)=
(x+4)(x-3)=
(x-4)(x+3)=
(x-4)(x-3)=
（2）有上面各式总结规律：一般地，(x+p)(x+q)=
（3）运用上述规律，直接写出下式的结果：(x-199)(x+201)=
30．若 的积中不含x项与 项
（1）求p、q的值；
（2）求代数式 的值
31．先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中，．
32．
（1）化简：
（2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务
先化简，再求值：，其中，．
解：原式 第一步
第二步
． 第三步
当，时，原式．第四步
任务：
①第一步运算用到了乘法公式 ▲ （写出1种即可）；
②以上步骤第 ▲ 步出现了错误，错误的原因是 ▲ ；
③请写出正确的解答过程．
33．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值.
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝(a+b)2﹣2ab＝(﹣4)2﹣2×3＝10.
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求(a+b)(a2﹣b2)的值.
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，(a﹣b) c＝﹣12，求(a﹣b)2+c2的值.
34．已知计算 时得到的关于x的二次三项式中的一次项系数是-19．
（1）求m的值；
（2）根据（1）所求得的m的值，计算： ．
35．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
（1）观察图2，请直接写出代数式，，之间的等量关系；
（2）根据（1）中的等量关系，若，，则的值为 ；
（3）已知，求的值．
36．已知x+y=2，xy=﹣1，求下列代数式的值：
（1）5x2+5y2；
（2）（x﹣y）2．
37．在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题： ．王建由于把第一个多项式中的“ ”抄成了“ ”，得到的结果为 ；李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为 ．
（1）求正确的a，b的值；
（2）计算这道乘法题的正确结果．
38．
（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）已知 ，求代数式 的值．
39．观察下列一组等式的化简，然后解答后面的问题：
＝ ＝ ﹣1；
＝ ＝ ﹣ ；
＝ ＝ ﹣ ＝2﹣ ；
（1）从上述化简中找出规律 ＝ （n为正整数）；
（2）比较 ﹣ 与 ﹣ 的大小；
（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：
（ + + +…+ ）（ +1）
40．求下列各式的值．
（1）已知am=2，an=3，求a3m+2n的值；
（2）已知x3=m，x5=n，试用含m，n的代数式表示x14．
41．[阅读材料]我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，内种纸片两张拼成了如图（b）所示的一个大正方形．
（1）理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
（2）拓展升华：利用上面的等式解决下列问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
42．热爱数学的小明在家中发现了一根铁丝，他先把该铁丝做成如图甲的长方形，再把该铁丝做成如图乙的长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2.
（1）请计算甲，乙长方形的面积差.
（2）若把该铁丝做成一个正方形，该正方形的面积为S3. 已知S1+S2=32S3，求S3的值.
43．已 ，求：
（1） ；
（2） .
44．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）图b中，大正方形的边长是 ．阴影部分小正方形的边长是 ；
（2）观察图b，写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的一个等量关系，并说明理由．
45．已知，，
（1）求代数式的值；
（2）求代数式的值．
46．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．
（1）上述操作能验证的公式是 ；
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝▲ ；
②计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1- ）．
47．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x 2x 3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为 ．
（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为 ．
（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020= ．
48．乘法公式的探究及应用.
（1）如图，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
① ，②
49．如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形（其中a，b均为正数，且a＞b），沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同小长方形，然后按图2方式拼成一个大正方形.
（1）你认为图2中大正方形的边长为 ；小正方形（阴影部分）的边长为 .（用含a、b的代数式表示）
（2）仔细观察图2，请你写出下列三个代数式：（a﹣b）2，（a+b）2，ab所表示的图形面积之间的相等关系，并选取适合a、b的数值加以验证.
（3）已知a+b=4，ab=3.求代数式a﹣b的值.
50．先化简，再求值：
（1），其中，.
（2）已知，化简，并求值.
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【50道综合题·专项集训】浙教版数学七年级下册第3章 整式的乘除
1．如题图，某公园内有一块长为，宽为的长方形地块，计划在中间留一块长为、宽为的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
（1）求绿化的面积；
（2）若，，绿化成本为，则完成绿化共需要多少元？
【答案】（1）平方米
（2）11520元
2．为着力打造天蓝地绿水净、宜居宜业宜游的绿都郑州，完成2023年12月31日前的新建绿地任务，郑州加快推进生态郑州、美丽郑州建设．如图，现新建一块长为，宽为的长方形绿地，并在绿地中间修建横向和纵向宽度都为a的道路，将空地分成四块大小不同区域．
（1）求绿地（空白部分）的面积；（用含a、b的式子表示）
（2）若，，求绿地（空白部分）的面积．
【答案】（1）
（2）
3．某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．
（1）用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；
（2）当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；
（3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）．
【答案】（1），；
（2）420平方米，930平方米；
（3）88500元
4．计算下列各题：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】【解答】解：（1） ；
故答案为：x3；
（2） ；
故答案为：a2b2；
（3） ；
故答案为：m6；
（4） .
故答案为： x4.
【分析】（1）同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，依此计算即可；
（2）积的乘方等于乘方的积，依此计算即可；
（3）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，依此计算即可；
（4）同底数幂的相除，底数不变，指数相减，依此计算即可.
5．
（1）填空：
① ＝ ；
② ＝ ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）；
（2）解：
当 时，原式 ．
【解析】【解答】解：（1）①
=
；
②
=
= ；
【分析】（1）①利用单项式乘单项式的计算方法求解即可；②利用单项式除单项式的计算方法求解即可；
（2）先利用整式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
6．
（1）计算：20012-1999×2003；
（2）计算：
（3）已知：xm=3，xn=2，求x2m-3n的值．
【答案】（1）解： 原式=20012- (2001-2)×(2001+2)
= 20012 - 20012+4
=4
（2）解： =-1=
（3）解： ∵xm=3，xn=2
∴x2m-3n=(xm)2÷(xn)3
=32÷23=
【解析】【分析】（1）将原式变形为20012- (2001-2)×(2001+2) ，利用平方差公式计算即可；
（2）根据0指数幂和负指数幂的性质计算即可；
（3）将 x2m-3n变形为(xm)2÷(xn)3 ，将 xm=3，xn=2代入计算即可。
7．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1 ，
图2 ，
图3 ．
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．
【答案】（1）解：（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2；（a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2； （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）解：由题意可知，阴影部分的面积＝大正方形面积﹣4×小长方形面积，
大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab，
则
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（3）解：由（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝32﹣4×（﹣10）＝49，
∴x﹣y＝±7．
【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积求解即可；
（2）先求出大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab， 再计算求解即可；
（3）根据 x+y＝3，xy＝﹣10 计算求解即可。
8．
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）已知，，求的值．
（4）解方程：
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（4）解： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）原式可变形为[(a+2b)+c][(a+2b)-c]，利用平方差公式可得(a+2b)2-c2，然后由完全平方公式进行计算；
（2）原式可变形为[(x+y)+z]2，然后利用完全平方公式进行计算；
（3）根据完全平方公式可得(m-n)2=m2-2mn+n2=8，(m+n)2=m2+2mn+n2=2，两式相加并化简即可得到m2+n2的值；
（4）根据平方差公式、单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则可得5x=5，求解可得x的值.
9．如图，某乡镇有一块长为米，宽为米的长方形耕地，当地镇响应退耕还林政策，决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地，退耕还林．
（1）求退耕还林的面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简）
（2）当，时，求退耕还林的面积．（结果用科学记数法表示）
【答案】（1）平方米
（2）退耕还林的面积平方米
10．已知： ，求下列代数式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=4-2+1
=3
【解析】【分析】（1）利用平方差公式因式分解之后，再将x、y的值代入求值即可.
（2）利用完全平方差公式，之后再将x、y的值代入求值即可.
11．已知多项式，．
（1）化简：；
（2）当，时，求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：当
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据 ，计算求解即可；
（2）将 ，代入计算求解即可。
12．
（1）已知10m=4，10n=5，求10m+n的值．
（2）如果a+3b=4，求3a×27b的值．
【答案】（1）解：10m+n=10m 10n=5×4=20
（2）解：3a×27b=3a×33b=3a+3b=34=81
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．
13．如图
（1）如图，是用4个全等的长方形拼成一个“回形”的正方形，试将图中阴影部分面积用两种方法表示可得一个等式，这个等式为 ；
（2）若 ， ，利用（1）中的等式，求 的值.
【答案】（1）
（2）解：∵ ；
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
答： .
【解析】【分析】（1）根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于4个长方形的面积求解即可；（2）把两式相减，即可求出 的值.
14．计算：
（1）（﹣x2y5） （xy）3；
（2）4a（a﹣b+1）．
【答案】（1）解：（﹣x2y5） （xy）3
=﹣x2y5 x3y3
=﹣x5y8
（2）解：4a（a﹣b+1）．
=4a2﹣4ab+4a
【解析】【分析】（1）根据积的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可；（2）根据单项式乘以多项式进行计算即可．
15．计算
（1）|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（ ）﹣1
（2）（﹣a2）3﹣6a2 a4
（3）3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1）
（4）（m4）2+m5 m3+（﹣m）4 m4．
【答案】（1）解：|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（ ）﹣1
=1﹣8+1﹣3
=﹣9
（2）解：（﹣a2）3﹣6a2 a4
=﹣a6﹣6a6
=﹣7a6
（3）解：3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1）
=3x﹣2x+2﹣3x﹣3
=﹣2x﹣1
（4）解：（m4）2+m5 m3+（﹣m）4 m4
=m8+m8+m8
=3m8
【解析】【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及结合零指数幂的性质和负整数指数幂的性质化简求出答案；（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简求出答案；（3）直接利用单项式乘以多项式运算法则化简求出答案；（4）直接利用幂的乘方运算法则化简求出答案．
16．如图1所示是一个长2m，宽2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分为四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.
（1）用两种方法表示图2中阴影部分的面积.
（2）观察图2，请你写出代数式 ， ， 之间的等量关系式.
（3）根据(2)中的结论，若 ， ，求 的值.
【答案】（1）解： 或
（2）解：
（3）解：
【解析】【分析】（1）观察图形可知：阴影部分的面积有两种表示方法，①阴影部分是一个正方形，且边长为（m-n），由正方形的面积=边长2可求解；②阴影部分的面积=边长为（m+n）的正方形的面积-4个长和宽分别为m、n的长方形的面积；
（2）由（1）中的阴影部分的面积的两种表示方法可求解；
（3）由(x-y)2=(x+y)2-4xy先求出(x-y)2的值，再开平方即可.
17．化简与求值：
（1）已知当 时，代数式 值为 ，求代数式 的值．
（2）已知 ，代数式 的值．
（3）若多项式 是关于 ， 的四次二项式，求代数式 的值．
【答案】（1）解：∵ 时，可得 ， ，
将 代入 中可得
（2）解：∵ ，
∴ ， ， ，
解得： ， ， ，
原式 ，
当 ， ， 时，原式
（3）解： ，
∵原式为四次二项式，
∴ ，
∴ ， ，
∴原式 ．
【解析】【分析】（1）由题意把x=-1代入代数式整理可得3b 2a=10，整体代入代数式9b 6a+2即可求解；
（2）将已知等式移项后，根据绝对值、平方、算术平方根的非负性可求得a、b、c的值，将所求代数式化简后，把求得的a、b、c的值代入计算即可求解；
（3）根据四次二项式的意义可求得m、n的值，并将m、n的值代入所求代数式计算即可求解。
18．
（1）计算(π-3)0+|-2|-()-1
（2）先化简，再求值：(5m+4)(5m-4)-5m(5m-6)，其中m=
【答案】（1）解：原式=1+（2-）-3
=-
（2）解：原式=
=30m-16
当时， 原式
【解析】【分析】（1）先算乘方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
（2）利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项，然后将m的值代入化简后的代数式进行计算.
19．图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形．
（1）图2中间空白的部分的面积是 ；
（2）观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式 ；
（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：(1)由图形可知：空白部分的面积．
(2)由图（2）可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，
∴．
【分析】（1）根据题意求出即可作答；
（2）根据大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，求解即可；
（3）先求出 ， 再求解即可。
20．如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2).
（1）图2中的阴影部分面积为： ；（用a、b的代数式表示）
（2）观察图2，请你写出（a+b）2、 (a-b)2、 ab之间的等量关系是 ；
（3）利用（2）中的结论，若x+y=5 ，xy= ，求(x-y)2的值 ；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式 ；
（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、 BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正
方形CBFG，连接EG、
BG、 BE，当BC=1时，△BEG的面积记为S1，当BC=2时，△BEG的面积记为S2，......，以此类推，当BC=n时，△BEG的面积记为Sn，则S2020-S2019的值为 .
【答案】（1）
（2）
（3）16
（4）
（5）2019.5
【解析】【解答】解：（1）∵阴影部分是个边长为 的正方形，
∴该阴影部分面积= ，
故答案为： ；
（2）∵大正方形是由四个矩形与中间的小正方形组成，
∴ ，
即： ，
故答案为： ；
（3）由（2）可得： ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为：16；
（4）∵该大矩形由三个边长为a的正方形、四个边长分别为 的矩形和一个边长为b的正方形组成，
∴ ，
故答案为： ；
（5）如图，连接EC，
∵四边形ACDE与四边形GCBF皆为正方形，EC、GB皆为对角线，
∴∠ECA=∠GBC=45°，
∴EC∥GB，
∴△BEG的边BG上的高与△BGC的边BG上的高相等，
∴△BEG的面积=△BGC的面积，
当BC=n时，△BEG的面积记为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】（1）由图形可得：阴影部分是边长为(b-a)的正方形，然后根据正方形的面积公式计算即可；
（2）大正方形是由四个矩形与中间的小正方形组成，然后根据正方形、矩形的面积公式解答即可；
（3）由（2）可得：(x-y)2=(x+y)2-4xy，然后将已知条件代入计算即可；
（4）由图形可得：大矩形由三个边长为a的正方形、四个长为a、宽为b的矩形和一个边长为b的正方形组成的，然后根据矩形、正方形的面积公式解答即可；
（5）连接EC，易得△BEG的面积=△BGC的面积，当BC=n时，△BEG的面积记为Sn=n2，然后表示出Sn-1，两式相减即可求出结论.
21．已知x＝2﹣ ，y＝2+ ，求下列代数式的值
（1）x2+2xy+y2；
（2）
【答案】（1）解：原式＝（x+y）2
＝（2﹣ +2+ ）2
＝42
＝16
（2）解：原式＝
＝
＝
＝
＝6．
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式，将式子进行化简，代入x和y的值求出答案即可。
（2）将式子通分，根据通分的结果，代入x和y的值进行计算即可。
22．先化简，再求值：
（1）x﹣2（x+2y）+3（2y﹣x），其中x=﹣2，y=1．
（2）已知2a2﹣[ （ab﹣4a2）+8ab]﹣ ab，其中a=﹣ ，b= ，求代数式的值．
【答案】（1）解：x﹣2（x+2y）+3（2y﹣x）
当 ， 时，
原式
（2）解：2a2﹣[ （ab﹣4a2）+8ab]﹣ ab
，
当a= ，b= 时，
原式 ．
【解析】【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值；（2）原式去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
23．（1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值.
（3）如图，有A型、B型、C型三种不同类型的纸板，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为a，宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形.若想用这些纸板拼成一个长方形，使其面积为 .
完成下列各题：
①填空 = ；
②请问需要A型纸板、B型纸板、C型纸板各多少张？试说明理由.
【答案】（1）解：a2＋b2 3ab＝（a b）2 ab＝4 5＝ 1；
（2）解：∵a2 a 1＝0，
∴a2 a＝1，
∴a3 2a2＋3＝a3 a2 a2＋3，
＝a（a2 a） a2＋3，
＝a a2＋3，
＝ （a2 a）＋3，
＝ 1＋3，
＝2；
（3）解：① ；
②需要A型纸板1张、B型纸板3张、C型纸板2张.
【解析】【解答】解：（3）①（a＋b）（a＋2b）＝a2＋2ab＋ab＋2b2＝a2＋3ab＋2b2，
【分析】（1）利用配方法将代数式转化为（a b）2 ab，再整体代入求值.
（2）利用方程可得到a2 a＝1， 再将代数式转化为a（a2 a） a2＋3，再整体代入求值即可.
24．综合题如图1，在边长为a的正方形中
（1）画出两个长方形阴影，则阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的长是 ，宽是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）；
（4）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
【答案】（1）a2﹣b2
（2）a+b；a﹣b；（a+b）（a﹣b）
（3）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
（4）解：①10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=100﹣0.09=99.91；
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）=[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]=（2m）2﹣（n﹣p）2=4m2﹣n2+2np﹣p2．
【解析】解：（1）∵大正方形的面积=a2，小正方形的面积=b2，
∴阴影部分的面积为：a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；（2）将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的长是a+b，宽是a﹣b，面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）因而得到乘法公式是a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；
【分析】（1）第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2-b2；
（2）第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b）的长方形，面积是（a+b）（a-b）；
（3）根据这两个图形的阴影部分的面积相等即可得到结论；
（4）根据平方差公式即可得到结论．
25．在学习“乘法公式“时，育红中学七（1）班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段 和 ，把大正方形分成四部分（如图所示）.
观察发现
（1）请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系： .
（2）请你作一个图形验证： .
（3）若 ，如图中阴影部分的面积和为13，求 的值.
【答案】（1） 类比操作
（2）略
延伸运用
（3）解：由题意可知， ， ，
.
，
，
.
【解析】【分析】（1）第一种方法为：大正方形面积=边长的平方，第二种表示方法为：两个小正方形的面积+两个长方形的面积.（2）根据多项式画出图形，即可解答．（3）由题意可知， ， ，将 化简得 ，两边同时平方，将 代入计算即可.
26．已知1cm3的氢气质量约为0.00009g.请用科学记数法表示下列计算结果.
（1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量；
（2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍．
【答案】（1）解：8000000×0.00009=7.2×102 (g)
（2）解：45÷0.00009=500000=5×105，故这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的5×105倍
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘法法则列式计算，再利用科学记数法表示即可。
（2）利用有理数除法法则求出答案即可。
27．如图1是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边，两个小正方形的边长分别是a、b．
（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图2）．用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：
方法一： ；
方法二： ；（直接把答案填写在答题卡的横线上）
（2）观察图2，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系： ．（直接把答案填写在答题卡的横线上）
（3）请利用（2）中等量关系解决问题：若图1中一个三角形面积是6，图2的大正方形面积是64，求的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）解： ∵，，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）方法一：；
方法二：；
故答案为：（a+b）2；a2+2ab+b2；
（2）
【分析】（1）根据所给的图形求解即可；
（2）根据图形求解即可；
（3）根据题意先求出2ab=24， 再求解即可。
28．若a+b＝5，ab＝3，求：
（1）求a2+b2的值；
（2）求a﹣b的值．
【答案】（1）解：∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25，
∴a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣6＝19
（2）解：∵a2+b2＝19，ab＝3，
∴a2+b2﹣2ab＝13，
∴（a﹣b）2＝13，
∴a﹣b＝± ．
【解析】【分析】（1）将a+b＝5左右两边同时平方，再计算求出a2+b2即可；（2）利用完全平方公式的计算求解即可。
29．计算下列各式，然后回答问题
（1）(x+4)(x+3)=
(x+4)(x-3)=
(x-4)(x+3)=
(x-4)(x-3)=
（2）有上面各式总结规律：一般地，(x+p)(x+q)=
（3）运用上述规律，直接写出下式的结果：(x-199)(x+201)=
【答案】（1）解：x2+7x+12；x2+x-12；x2-x-12；x2-7x+12
（2）x2+（p+q）x+pq
（3）
【解析】【解答】解：（1）(x+4)(x+3)=x2+7x+12；
(x+4)(x-3)=x2+x-12；
(x-4)(x+3)=x2-x-12；
(x-4)(x-3)=x2-7x+12；
（2）解：（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq；
（3）解：(x-199)(x+201)=
【分析】利用多项式乘以多项式的法则计算出一次项系数为1与一个常数项构成的两个一次二项式的积，观察其结果规律，积是一个二次三项式，二次项的系数为1，一次项的系数是常数项的和，常数项是多项式中两个常数项的积．根据规律就可以解决所有问题.
30．若 的积中不含x项与 项
（1）求p、q的值；
（2）求代数式 的值
【答案】（1）解：
=
=
又∵式子展开式中不含x2项和x项，
∴ ，
解得， ，
（2）解：当 ， 时，
【解析】【分析】（1） 利用多项式乘以多项式将原式展开，并整理为 ，由 式子展开式中不含x2项和x项 ，可得 ， ，据此求出p、q的值即可；
（2）将p、q的值代入，然后利用积的乘方的逆用进行计算即可.
31．先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中，．
【答案】（1）解：
，
当时，原式；
（2）解：
，
当，时，原式．
【解析】【分析】（1）根据积的乘方、幂的乘方法则可得原式=2y·y6-8y9÷2y2，然后根据单项式与单项式的除法法则以及合并同类项法则对其进行化简，再将y的值代入计算即可；
（2）根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则以及多项式与单项式的除法法则对原式进行化简，然后将x、y的值代入计算即可.
32．
（1）化简：
（2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务
先化简，再求值：，其中，．
解：原式 第一步
第二步
． 第三步
当，时，原式．第四步
任务：
①第一步运算用到了乘法公式 ▲ （写出1种即可）；
②以上步骤第 ▲ 步出现了错误，错误的原因是 ▲ ；
③请写出正确的解答过程．
【答案】（1）解：原式
（2）解：①第一步运算用到了乘法公式或；
故答案为：或．
②以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误；
故答案为：一；去括号时符号错误．
③
当，时，原式．
【解析】【分析】（1）利用多项式乘单项式法则计算求解即可；
（2）①根据所给的整式，观察求解即可；
②去括号时注意符号问题；
③利用整式的混合运算法则计算求解即可。
33．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值.
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝(a+b)2﹣2ab＝(﹣4)2﹣2×3＝10.
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求(a+b)(a2﹣b2)的值.
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，(a﹣b) c＝﹣12，求(a﹣b)2+c2的值.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
.
【解析】【分析】(1)根据平方差公式和完全平方公式把(a＋b)(a2－b2)变形为 ，采用整体代入法求解；(2)根据完全平分公式把(a－b)2＋c2变形为 ，即可解答.
34．已知计算 时得到的关于x的二次三项式中的一次项系数是-19．
（1）求m的值；
（2）根据（1）所求得的m的值，计算： ．
【答案】（1）解：
∵二次三项式中的一次项系数是
∴
解得
（2）解：将 代入得
根据完全平方公式可得：
【解析】【分析】（1）先求出 ，再计算求解即可；
（2）将m的值代入计算求解即可。
35．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
（1）观察图2，请直接写出代数式，，之间的等量关系；
（2）根据（1）中的等量关系，若，，则的值为 ；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）解：图中阴影部分是边长为的正方形，因此阴影部分面积为；
图中阴影部分面积也可以看作从边长为的正方形面积减去个长为，宽为的长方形面积，即，
因此有；
（2）
（3）解：设，，则，，
∴
，
答：的值为．
【解析】【解答】解：（2）由（1）得，
∴，
故答案为：
【分析】（1）先根据题意得到图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积也可以看作从边长为的正方形面积减去个长为，宽为的长方形面积，即，进而即可求解；
（2）根据（1）中的等式代入数值即可求解；
（3）设，，则，，进而结合题意计算即可求解。
36．已知x+y=2，xy=﹣1，求下列代数式的值：
（1）5x2+5y2；
（2）（x﹣y）2．
【答案】（1）解：∵x+y=2，xy=﹣1，
∴5x2+5y2=5（x2+y2）=5[（x+y） 2﹣2xy]=5×[22﹣2×（﹣1）]=30
（2）解：∵x+y=2，xy=﹣1，
∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=22﹣4×（﹣1）=4+4=8
【解析】【分析】（1）原式提取5，利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值．
37．在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题： ．王建由于把第一个多项式中的“ ”抄成了“ ”，得到的结果为 ；李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为 ．
（1）求正确的a，b的值；
（2）计算这道乘法题的正确结果．
【答案】（1）解：根据王建的解法得：
，
∴①
根据李楠的解法的：
，
∴②
联立①②得方程组解得：
（2）解：这道题的正确解法是： ．
【解析】【分析】（1）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；（2）根据多项式乘以多项式法则求出答案即可．
38．
（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）已知 ，求代数式 的值．
【答案】（1）解：
当 ，
原式
（2）解：
，
原式
【解析】【分析】（1）先化简，再将x和y的值代入计算求解即可；
（2）先化简代数式，再将 ， 代入计算求解即可。
39．观察下列一组等式的化简，然后解答后面的问题：
＝ ＝ ﹣1；
＝ ＝ ﹣ ；
＝ ＝ ﹣ ＝2﹣ ；
（1）从上述化简中找出规律 ＝ （n为正整数）；
（2）比较 ﹣ 与 ﹣ 的大小；
（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：
（ + + +…+ ）（ +1）
【答案】（1） ﹣
（2）解： ﹣ ＝ ， ﹣ ＝ ，
所以 ﹣ ＜ ﹣
（3）解：（ + + +…+ ）（ +1）
＝（ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）（ +1）
＝（ ﹣1）（ +1）
＝2019﹣1
＝2018．
【解析】【解答】（1） ＝ ﹣ （n为正整数）
【分析】（1）根据题目化简的规律即可得到答案；
（2）根据题目中得到的结论，反向利用，进行大小的比较；
（3）根据题意，利用分母有理化将式子进行化简合并，利用平方差公式进行计算即可。
40．求下列各式的值．
（1）已知am=2，an=3，求a3m+2n的值；
（2）已知x3=m，x5=n，试用含m，n的代数式表示x14．
【答案】（1）解：∵am=2，an=3，
∴a3m+2n=a3m a2n=（am）3 （an）2=23×32=；
（2）解：∵x3=m，x5=n，
∴x14=（x3）3 x5=m3n．
【解析】【分析】（1）由am=2，an=3，代入计算即可；
（2）x3=m，x5=n，由（1）代入计算即可。
41．[阅读材料]我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，内种纸片两张拼成了如图（b）所示的一个大正方形．
（1）理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
（2）拓展升华：利用上面的等式解决下列问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）理解应用：；
（2）拓展升华：①；②2
42．热爱数学的小明在家中发现了一根铁丝，他先把该铁丝做成如图甲的长方形，再把该铁丝做成如图乙的长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2.
（1）请计算甲，乙长方形的面积差.
（2）若把该铁丝做成一个正方形，该正方形的面积为S3. 已知S1+S2=32S3，求S3的值.
【答案】（1）解：S1=(m+2)(m+4)=m2+6m+8
由题意得，图乙的长为(m+2)(m+4)－(m+1)=m+5
S2=(m+1)(m+5)=m2+6m+5
S1－S2=(m2+6m+8)－(m2+6m+5)=3
（2）解：由题意得正方形的边长为 ， S3=(m+3)2=m2+6m+9
由S1+S2=32S3得
S3=(m+3)2=m2+6m+9=1+9=10
【解析】【分析】（1）利用长方形的面积=长×宽，列式，再利用多项式乘以多项式的法则先去括号，再合并同类项，分别求出S1和S2；然后求出S1-S2，先去括号，再合并同类项.
（2）利用把该铁丝做成一个正方形，可得到此正方形的边长，即可表示出S3，再根据 S1+S2=32S3 ，代入可得到关于m的方程，即可求出m2+6m的值，然后求出S3的值.
43．已 ，求：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：由题意可知 ，
；
（2）解：由题意可知
.
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式进行变形求解即可；（2）直接利用完全平方公式去括号，再由（1）代入计算即可.
44．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）图b中，大正方形的边长是 ．阴影部分小正方形的边长是 ；
（2）观察图b，写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的一个等量关系，并说明理由．
【答案】（1）m+n；m n
（2）解：(m n)2 = (m+ n)2 – 4mn
理由如下：右边=( m+ n)2 4 mn
=m2+ 2 mn + n2 4 mn
=m2
2 mn + n2
=(m
n)2
=左边，
所以结论成立.
【解析】【分析】（1）根据图形可得大正方形的边长是m+n，阴影部分小正方形的边长是m-n；
（2）利用阴影部分的面积可得 (m n)2 = (m+ n)2 – 4mn，然后将右边或左边的式子进行整理变形，即可得出结论.
45．已知，，
（1）求代数式的值；
（2）求代数式的值．
【答案】（1）解：∵，
∴
又∵，
∴，
∴．
（2）解：
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式可得，再结合，求出即可；
（2）将代数式变形为，再将数据代入计算即可。
46．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．
（1）上述操作能验证的公式是 ；
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝▲ ；
②计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1- ）．
【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）解：①4；
②原式＝
＝
＝
＝ ．
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为边长为a，边长为b的面积差，即a2﹣b2，
图2长方形的长为a+b，宽为a﹣b，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
又∵2a+b＝6，
∴2a﹣b＝24÷6＝4，
故答案为：4；
【分析】(1)图1的阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，然后根据两图的面积相等列等式即可；
(2)①根据(1)的结论，进行验证即可求解；
② 根据(1)的结论，将原式变形为 ： ，然后将每个括号内进行通分，再约分化简，即可得出结果.
47．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x 2x 3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为 ．
（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为 ．
（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020= ．
【答案】（1）-11
（2）63.5
（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：
1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0
∴a=-3．
（4）2021．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：
．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．
所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有 x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
48．乘法公式的探究及应用.
（1）如图，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
① ，②
【答案】（1）a2﹣b2
（2）a﹣b；a+b；（a+b）（a﹣b）
（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
（4）解：①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
=[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]
=4m2﹣（n﹣p）2
=4m2﹣n2﹣p2+2np．
②10.3×9.7
=（10+0.3）（10﹣0.3）
=100﹣0.09
=99.91；
【解析】【解答】解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：a2﹣b2；
⑵它的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；
⑶根据题意得出：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；
【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；
（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
（3）建立等式就可得出；
（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．
49．如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形（其中a，b均为正数，且a＞b），沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同小长方形，然后按图2方式拼成一个大正方形.
（1）你认为图2中大正方形的边长为 ；小正方形（阴影部分）的边长为 .（用含a、b的代数式表示）
（2）仔细观察图2，请你写出下列三个代数式：（a﹣b）2，（a+b）2，ab所表示的图形面积之间的相等关系，并选取适合a、b的数值加以验证.
（3）已知a+b=4，ab=3.求代数式a﹣b的值.
【答案】（1）a+b；a﹣b
（2）解：（a+b）2=（a﹣b）2+4ab.
例如：当a=5，b=2时，
（a+b）2=（5+2）2=49
（a﹣b）2=（5﹣2）2=9
4ab=4×5×2=40
因为49=40+9，
所以（a+b）2=（a﹣b）2+4ab.
（3）解：∵a+b=4，
（a+b）2=16，
∵（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，ab=3，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=16﹣4×3=4，
∴a﹣b=2或a﹣b=﹣2，
∵a＞b，
∴a﹣b=2.
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
大正方形的边长为a+b；
小正方形（阴影部分）的边长为a﹣b；
故答案为：a+b，a﹣b；
【分析】(1 )观察图形可知大正方形的边长等于小矩形的长与宽的和，小正方形的边长等于小矩形的长与宽的差；
(2)观察图形可知大正方形的面积(a+b)2减去阴影部分的正方形的面积(a-b)2等于四块小长方形的面积4ab，即(a+b) 2 =(a-b) 2+4ab；
（3）根据（2）的结论可以求出（a-b)2的值，再开方并检验即可得出答案.
50．先化简，再求值：
（1），其中，.
（2）已知，化简，并求值.
【答案】（1）解：
当，时，；
（2）解：
∵
∴，
∴，b=5
当a=32，b=5时，；
当a= 32，b=5时，；
即代数式的值为 18或14
【解析】【分析】（1）利用单项式乘以多项式的法则及完全平方公式分别去括号，再合并同类项化简，接着将a、b值代入计算即可；
（2）利用平方差公式、完全平方公式将原式展开、再合并即可化简，由求出a、b值，再代入计算即可.
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