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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 5.5.1分式方程
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级下册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.理解分式方程的概念； 2.掌握分式方程的解法．
课前学习任务
复习引入 复习导入 老师13年前的年龄与13年后的年龄的比值等于 ,同学们,你能用列方程的方法求得老师现在的年龄吗 若设老师现在的年龄为 x 岁, 则可得到一个什么方程？ 议一议： 与有什么联系和区别. 与右边已学过的方程对比, 左边的两个方程有什么新的特征 像这样只含分式，或只含分式和整式， 并且分母里含有未知数的方程.
课上学习任务
【学习任务一】 像这样只含分式，或只含分式和整式， 并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程的特征是：(1)含有分母；(2)分母里含有未知数．分式方程和整式方程的区别在于分母中是否含有未知数． 辩一辩： 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 分式方程：（2）和（4); 整式方程：（1）和（3）. 【学习任务二】 该如何解分式方程 呢 类比解一元一次方程的去分母,我们可以将分式方程中的分母去掉,就可以转化成整式方程来解. 解: 方程的两边同乘以公分母2(x＋13), 化简,得整式方程 2(x－13)=x＋13 解整式方程,得x=39. 把x=39代入原方程 左边==右边 ∴ 原方程的根是x = 39. 【学习任务三】 例1 解分式方程： 例2 解方程： ． 【习任务四】课堂练习 必做题： 1．下列关于x，y的方程：①＝；②＝；③－＝－1；④＝，其中分式方程是 ( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 选做题： 2. 解方程：（1）＋＝2 （2）＝ 【综合拓展类作业】 3．关于x的分式方程＝无解，求m的值. 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各分式方程去分母，正确的是( ) A.＝＋1去分母得x＋5＝(x－5)(x－4)＋1 B.＝＋1去分母得x＝1＋5－4x C.＝去分母得3(x－1)＝5(x＋4) D.－＝去分母得(x－2)2－x＋2＝x(x＋2) 选做题： 【综合拓展类作业】 (1)若方程的增根为x＝1，求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值．
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学 科 数学 年 级 七下 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第五章
课标要求 1.使学生理解并掌握分式的概念、性质及运算方法。2.培养学生运用分式知识解决实际问题的能力 .
内容分析 本单元主要包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算以及分式方程的应用。重点在于理解分式的基本性质，难点在于分式的化简与运算，尤其是涉及复杂分式的处理.
学情分析 分式单元是继整式之后对代数式的深化学习，作为连接代数式与函数、方程的重要桥梁，为后续学习反比例函数、分式方程等奠定基础。其核心在于通过实际问题情境，帮助学生理解分式模型的意义，并掌握分式运算及应用.
单元目标 教学目标使学生理解分式的概念，掌握分式的基本性质，学会分式的加减乘除运算，能够解决涉及分式的实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：分式的概念、基本性质（如约分、通分）。分式的乘除法运算规则。分式方程的解法.教学难点：用分式解决实际问题，特别是识别和运用问题中的隐藏等量关系和比例关系.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 教材特点：1.注重知识的衔接与铺垫 与整式知识的衔接：分式是在学生学习了整式运算、因式分解等知识的基础上进行的，教材通过类比分数的性质和运算，引导学生学习分式。为后续学习奠定基础：本单元的学习为学生后续学习函数（如反比例函数）、方程等知识起到了重要的奠基作用。2.强调实际应用与模型思想从实际问题引入：教材通过丰富的实际问题情境，如保护区灰熊数量的计算、火车提速等，引导学生抽象出分式的概念，体会分式来源于实际生活。解决实际问题：在分式方程部分，教材通过大量实际问题的例题和练习，引导学生运用分式方程解决生活中的问题，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的重要数学模型。3.重视数学思想方法的渗透 类比思想：教材通过类比分数的基本性质、四则运算法则，引导学生探究分式的基本性质和运算法则，帮助学生更好地理解和掌握分式知识。转化思想：在分式方程的解法中，强调将分式方程转化为整式方程的化归思想，培养学生运用转化思想解决问题的能力。4.关注学生的认知规律逐步深入的教学设计：内容安排由浅入深，从分式的概念、基本性质到分式的运算、分式方程，逐步引导学生深入学习。丰富的教学方法：采用自主探索、小组合作交流、案例分析等多种教学方法，激发学生的学习积极性和主动性。5.知识体系完整且结构清晰完整的知识结构：本单元包括分式的概念、基本性质、四则运算、分式方程等内容，形成了一个完整的知识体系。 明确的课时安排：教材对每一部分内容都有明确的课时安排，如分式1课时、分式的基本性质2课时、分式的乘除1课时等，便于教师教学和学生学习。（三）教学设计思路建议： 一、分式概念的引入策略1. 从生活情境出发，建立分式模型 案例：设计“网购折扣计算”问题，如“某商品原价 a元，降价 x% 后售价为多少？”引导学生列出分式，体会分式表示实际量的必要性。 对比观察：呈现代数式，让学生通过结构对比（分母是否含字母）自主归纳分式定义。2. 利用数式类比，强化条件理解 类比分数：通过提问“分数 中分母能否为零？”引出分式有意义条件。 陷阱题辨析：如“当 x为何值时，有意义？”（注意约分后分母可能隐藏的条件）。 二、分式运算的教学技巧1. 分层突破运算难点 基础巩固：先训练单项分式化简，再逐步过渡到混合运算。 口诀辅助：总结“通分三步骤”（找最简公分母→分子变形→合并），“约分两原则”（先因式分解→约去公因式）。2. 错误预防与纠正 典型错误示例： 错误约分：未分解因式）； 忽略分母约束：解分式方程后不验根。 纠错活动：设计“分式门诊”环节，让学生扮演“医生”诊断错题并“开药方”。三、分式方程的难点突破1. 增根问题的直观理解 实验法：解方程，将得到的根代入原方程验证；再故意修改方程为，得到增根，让学生观察分母为零时的矛盾现象。 生活类比：比喻“验根”如同“网购前检查商品是否下架”，避免无效操作。2. 分步训练强化规范 板书示范：分步骤书写解题过程（去分母→解整式方程→检验→结论），强调格式严谨性。 变式训练：设计含参数的分式方程，讨论参数对增根的影响。四、实际应用的教学设计1. 情境化问题链 案例：设计“快递配送问题”情境链： 问题1：甲快递员每小时派送 a件，乙每小时派送 b件，甲完成100件需多少小时？ 问题2：若乙提前1小时工作，甲需多久才能追上乙的派件量？ 问题3：若 a = b，上述追赶问题是否成立？分析实际意义。 2. 跨学科整合 科学联系：结合物理中的“平均速度”计算（如往返路程的分式模型），或化学中的“浓度混合问题”。
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数5.1分式15.2.1分式的基本性质15.2.2 分式的基本性质15.3 分式的乘除15.4.1分式的加减15.4.2分式的加减15.5.1分式方程15.5.2分式方程1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1分式1.理解分式的概念及分式有意义的条件；2.会用分式表示简单实际问题中的数量关系．1.理解分式的概念及分式有意义的条件. 2.会用分式表示简单实际问题中的数量关系.任务一：通过创设情景引出问题，理解分式的概念及分式有意义的条件.任务二：例题精讲，会用分式表示简单实际问题中的数量关系.5.2分式的基本性质（1）1．掌握分式的基本性质；2.理解约分的概念，并能对分式约分.1.理解约分的概念，并能对分式约分.2.理解分式的基本性质时，要深刻理解“同”、“同一个” 的含义.任务一： 出示目标，用类比分数的方法学习分式的基本性质与约分.任务二：探究新知，理解分式的基本性质时，要深刻理解“同”、“同一个” 的含义.任务3：例题精讲，增强学生自己解决问题的能力.5.2分式的基本性质（2）1.能运用分式的基本性质进行多项式的除法．把除法运算化成分式的运算，利用分式的基本性质化简.1.能运用分式的基本性质进行多项式的除法．2.通过分解因式、约分等把分式化简，用整式或最简分式表示所求的商.任务1：让学生明白若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式.任务2：利用分式的基本性质，对分式进行化简求值.5.3 分式的乘除1．理解并掌握分式的乘除法法则，能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题。2.经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程，培养类比的探究能力，加深对从特殊到一般数学的思想认识．?1.理解并掌握分式的乘除法法则.2.能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题.任务1：学生思考教师提出的问题，列出算式，初步了解什么是分式的乘除.任务2：例题精讲，训练学生能够清晰有条理的表达自己的思考过程，能解决一些与分式乘除有关的实际问题.5.4.1分式的加减1.掌握同分母分式加减法法则及运算； 2.能进行分式的加减乘除混合运算.1.掌握同分母分式加减法法则及运算．2.能进行分式的加减乘除混合运算．任务1：类比同分母分数的加减法学习分式的加减法．任务2：巩固例题，运用问题探究的方法尝试解决问题，能进行分式的加减乘除混合运算．5.4.2分式的加减1.掌握异分母分式加减法法则及运算； 2.能进行分式的加减乘除混合运算．1.掌握异分母分式加减法法则及运算.2.能进行分式的加减乘除混合运算.任务1：导入新课、创设思维情，类比异分母分数的加减法学习分式的加减法.任务2：巩固例题，进一步理解和掌握分式的加减乘除混合运算.5.5.1分式方程1.理解分式方程的概念；2.掌握分式方程的解法.1.掌握分式方程的解法.2.增根的意义及写法.任务1：类比解一元一次方程的去分母,我们可以将分式方程中的分母去掉,就可以转化成整.任务2：巩固例题，进一步理解和掌握掌握分式方程的解法．5.5.2分式方程1.掌握分式方程的简单应用；2.会进行简单的公式变形.1.掌握分式方程的简单应用，会进行简单的公式变形.2.掌握列分式方程解应用题的方程和步骤，渗透方程思想.任务1：通过列分式方程解应用题，进一步掌握列方程解应用题的方程和步骤，渗透方程思想.任务2：巩固例题，掌握分式方程的简单应用.
第5章《 分式》单元教学设计
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分课时教学设计
第7课时《5.5.1分式方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 掌握类比解一元一次方程的去分母,我们可以将分式方程中的分母去掉,就可以转化成整式方程来解.
学习者分析 掌握解分式方程的一般步骤：1、在方程的两边都乘以公分母，约去分母，转化成整式方程.2、解这个整式方程.3、 把整式方程的根代入公分母.
教学目标 1.理解分式方程的概念； 2.掌握分式方程的解法．
教学重点 掌握分式方程的解法．
教学难点 增根的意义及写法．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课 . 师13年前的年龄与13年后的年龄的比值等于 ,同学们,你能用列方程的方法求得老师现在的年龄吗 若设老师现在的年龄为 x 岁, 则可得到一个什么方程？ 议一议： 与有什么联系和区别. 与右边已学过的方程对比, 左边的两个方程有什么新的特征 像这样只含分式，或只含分式和整式， 并且分母里含有未知数的方程. 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题. ?掌握只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数 的方程叫做分式方程． 带着问题参与新课. 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，理解学生思考，进行探索.类比解一元一次方程的去分母,我们可以将分式方程中的分母去掉,就可以转化成整式方程来解．环节二：新知探究 像这样只含分式，或只含分式和整式， 并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程的特征是：(1)含有分母；(2)分母里含有未知数．分式方程和整式方程的区别在于分母中是否含有未知数． 辩一辩： 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 分式方程：（2）和（4); 整式方程：（1）和（3）. 该如何解分式方程 呢 类比解一元一次方程的去分母,我们可以将分式方程中的分母去掉,就可以转化成整式方程来解. 解: 方程的两边同乘以公分母2(x＋13), 化简,得整式方程 2(x－13)=x＋13 解整式方程,得x=39. 把x=39代入原方程 左边==右边 ∴ 原方程的根是x = 39. 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生自主解答，教师适时的进行提示 学生思考， 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，解分式方程的一般步骤：1、在方程的两边都乘以公分母，约去分母，转化成整式方程.2、解这个整式方程.3、 把整式方程的根代入公分母． 环节三：典例精析 三.典例精讲 例1 解分式方程： 解：方程的两边同乘7（2x-3），得7（x+3）=2（2x-3）． 去括号，得7x+21＝4x－6. 移项，合并同类项，得3x＝－27. 解得x＝－9. 把x＝－9代入原方程检验：左边= =右边. 所以x＝－9是原方程的根. 例2 解方程： ． 解：方程的两边同乘（x－3），得2-x=-1-2（x-3）． 化简，得x=3． 把x=3代入原方程检验，结果使原方程中分式的分母的值为0，分式没有意义，所以x=3不是原方程的根，原方程无解． 增根的定义 在去分母,将分式方程转化为整式方程后,通过解整式方程而得出了不适合于原方程的根. 使分母为零的根叫做增根. 思考: (1)所得的增根是不是原分式方程的根 如果不是,那么它是哪个方程的根？ (2)对于解分式方程的检验，可有哪些方法？ 解分式方程的一般步骤：1、在方程的两边都乘以公分母，约去分母，转化成整式方程. 2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的根代入公分母： （1）如果公分母的值不等于0，则整式方程的根是原分式方程的根； （2）如果公分母的值等于0 ，则整式方程的根就不是原分式方程的根，必须舍去. 4、写出原方程的根. 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，掌握分式方程的解法．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列关于x，y的方程：①＝；②＝；③－＝－1；④＝，其中分式方程是 ( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 选做题： 2. 解方程：（1）＋＝2 （2）＝ （1)解：方程两边同时乘(x－2)去分母，得x－1＝2(x－2)， 整理，得x－1＝2x－4， 解得x＝3. 经检验，x＝3是原方程的解， 所以原方程的解为x＝3. （2）解: ＝，去分母，得8＝2(2＋x)，解得x＝2.经检验，x＝2是增根，所以原方程无解． 【综合拓展类作业】 3．关于x的分式方程＝无解，求m的值. 解:去分母整理得到m＝2x，方程无解相当于方程的增根为x＝－1，将x＝－1代入m＝2x，得m＝－2.
课堂总结 1．分式方程的概念 定义：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有__________的方程叫做分式方程． 包括条件：(1)只含分式，或分式和整式； (2)分母中含有未知数． 2．分式方程的解法 基本思路：将分式方程化为整式方程． 方法：“去分母”，即方程两边同乘最简公分母． 增根：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解使原分式方程的分母为零的根叫做增根． 注意：把分式方程化为整式方程的过程中，有可能产生增根，因此解分式方程必须验根． 检验方程：把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母中，看分母的值是否为零，如果不为零则是原方程的解，否则是增根．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题 1．下列各分式方程去分母，正确的是( ) A.＝＋1去分母得x＋5＝(x－5)(x－4)＋1 B.＝＋1去分母得x＝1＋5－4x C.＝去分母得3(x－1)＝5(x＋4) D.－＝去分母得(x－2)2－x＋2＝x(x＋2) 选做题： 【综合拓展类作业】 (1)若方程的增根为x＝1，求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值．
教学反思
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第一章 直角三角形
5.5.1分式方程
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
1.理解分式方程的概念；
2.掌握分式方程的解法．
03
新知讲解
回顾
生活中的数学
老师13年前的年龄与13年后的年龄的比值等于 ,同学们,你能用
列方程的方法求得老师现在的年龄吗
若设老师现在的年龄为 x 岁, 则可得到一个什么方程？
03
新知讲解
议一议
此方程有何特征？
与
有什么联系和区别.
02
新知导入
与右边已学过的方程对比, 左边的两个方程有什么新的特征
(3)
(4)
(5)
(1)
(2)
方程特征： 像这样只含分式，或只含分式和整式，
并且分母里含有未知数.
03
新知讲解
提炼概念
像这样只含分式，或只含分式和整式，
并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
， ， ， ．
分式方程的特征是：(1)含有分母；(2)分母里含有未知数．分式方程和整式方程的区别在于分母中是否含有未知数．
03
新知讲解
辩一辩： 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
分式方程：（2）和（4); 整式方程：（1）和（3）.
03
新知讲解
该如何解分式方程 呢
类比解一元一次方程的去分母,我们可以将分式方程中的分母去掉,就可以转化成整式方程来解.
解: 方程的两边同乘以公分母2(x＋13),
● ● ●
2(x＋13) · ·2(x＋13)
得
03
新知讲解
化简,得整式方程 2(x－13)=x＋13
解整式方程,得x=39.
把x=39代入原方程
左边=
=右边。
∴ 原方程的根是x = 39.
新课探究
例
例1 解分式方程： ．
解：方程的两边同乘7（2x-3），得7（x+3）=2（2x-3）．
去括号，得7x+21＝4x－6.
移项，合并同类项，得3x＝－27.
解得x＝－9.
把x＝－9代入原方程检验：左边= =右边.
所以x＝－9是原方程的根.
03
新知讲解
例2 解方程： ．
解：方程的两边同乘（x－3），得2-x=-1-2（x-3）．
化简，得x=3．
把x=3代入原方程检验，结果使原方程中分式的分母的值为0，分式没有意义，所以x=3不是原方程的根，原方程无解．
03
新知讲解
增根的定义
在去分母,将分式方程转化为整式方程后,通过解整式方程而得出了不适合于原方程的根.
使分母为零的根叫做增根.
思考:
(1)所得的增根是不是原分式方程的根 如果不是,那么它是哪个方程的根？
(2)对于解分式方程的检验，可有哪些方法？
··· ···
03
新知讲解
1、在方程的两边都乘以公分母，约去分母，转化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的根代入公分母：
（1）如果公分母的值不等于0，则整式方程的根是原分式方程的根；
（2）如果公分母的值等于0 ，则整式方程的根就不是原分式方程的根，必须舍去.
4、写出原方程的根.
解分式方程的一般步骤：
分式方程
整式方程
解整式方程
检 验
转化
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
【解析】 分式方程为①④，故选择B.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
（1)解：方程两边同时乘(x－2)去分母，得x－1＝2(x－2)，
整理，得x－1＝2x－4，解得x＝3.
经检验，x＝3是原方程的解，
所以原方程的解为x＝3.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解:去分母整理得到m＝2x，方程无解相当于方程的增根为x＝－1，将x＝－1代入m＝2x，得m＝－2.
05
课堂小结
增根：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解使原分式方程的分母为零的 根叫做增根．
注意：把分式方程化为整式方程的过程中，有可能产生增根，因此解分式方程必须验根．
检验方程：把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母中，看分母的值是否为零，如果不为零则是原方程的解，否则是增根．
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．下列各分式方程去分母，正确的是( )
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0.
解得x＝0或x＝1.
∵x＝0不可能是整式方程(a＋2)x＝3的根，
∴原分式方程的增根为x＝1.∴(a＋2)×1＝3.解得a＝1.
解：去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
因为x＝1是原方程的增根，所以(a＋2)×1＝3.解得a＝1.
(1)若方程的增根为x＝1，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：①当a＋2＝0时，整式方程(a＋2)x＝3无解．
此时a＝－2.
②当a＋2≠0时，要使原方程无解，则x(x－1)＝0.解得x＝0或x＝1.把x＝0代入整式方程，a的值不存在；把x＝1代入整式方程，得a＝1.
综合①②得a的值为－2或1.
(3)若方程无解，求a的值．
Thanks!
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