3.1 同底数幂的乘法-2024-2025学年浙教版七年级下册 同步分层作业（含解析）

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3.1 同底数幂的乘法 同步分层作业
1．计算a5 a2的结果是（　　）
A．a5 B．a6 C．a7 D．a10
2．下列计算正确的是（　　）
A．a4 a3＝a B．a4 a3＝a7 C．a4 a3＝a12 D．a4 a3＝a64
3．计算（﹣xy4）3的结果是（　　）
A．﹣x3y7 B．﹣xy12 C．x3y12 D．﹣x3y12
4．下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣a＝2a2 B．a3 a2＝a6 C．（ab）2＝ab2 D．（﹣a3）2＝a6
5．计算：＝（　　）
A． B． C． D．
6．计算：（﹣2m4）3＝（　　）
A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12
7．下列计算正确的是（　　）
A．（2a2）3＝8a5 B．（﹣a2b）2＝﹣a4b2 C．（﹣a3）2＝﹣a5 D．22a2﹣3a2＝a2
8．计算：﹣a2 （﹣a）2＝　　．
9．计算：﹣（3a3b）2＝ 　　．
10．计算：＝　　．
11．计算：
（1）﹣x3 x4； （2）﹣a （﹣a）4； （3）﹣y3 （﹣y）2； （4）﹣（﹣a）5 （﹣a）．
12．计算：
（1）（ab）4； （2）（﹣3b）3； （3）（）4；
（4）﹣（xy）5； （5）（7ab）2； （6）（﹣4ab）3．
13．计算：a3 a a4+（﹣2a4）2+（a2）4．
14．计算：
（1）a3 a5+（a2）4+（2a4）2；
（2）（﹣2x2）3+x2 x4﹣（﹣3x3）2．
15．已知am＝6，an＝3，则am+n的值为（　　）
A．9 B．18 C．3 D．2
16．已知x+y﹣3＝0，则3x 3y的值是（　　）
A．9 B．27 C． D．
17．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
18．计算：（x﹣y）3 （y﹣x）4＝ 　 　.（结果用幂的形式表示）
19．计算：
（1）（﹣x2） x4+（﹣x2）3；
（2）（a﹣b）2 （b﹣a）3 （a﹣b）．
20．计算：（1）（﹣22）3 （2）（﹣x3）2（﹣x2）3 （3）
（4）（a2n﹣2）2 （an+1）3 （5）（﹣x5）4+（﹣x4）5
（6）（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3 （7）（m﹣n）2（n﹣m）2（n﹣m）3
（8）x3 xn﹣1﹣xn﹣2 x4+xn+2 （9）﹣a2 （﹣a）2 （﹣a）2k （﹣a）2k+1
（10）﹣（3x2y2）﹣（﹣3x）2 （﹣y）4 （x2y）2．
21．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）若3x×9x×27x＝312，求x的值．
（2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
22．已知a＝255，b＝344，c＝433，d＝522，将这四个数按从大到小的顺序排列起来，正确的是（　　）
A．a＞b＞c＞d B．c＞d＞a＞b C．b＞c＞a＞d D．d＞c＞b＞a
23．已知2a＝4，2b＝12，2c＝6，那么a、b、c之间满足的关系是（　　）
A．2a+c＝2b+1 B．2a+c＝22b C．a：b：c＝1：3：2 D．2ac＝22b
24．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以1og5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　）
①log61＝0；②log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）；③若log4（a+14）＝4，则a＝50；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
25．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．
例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：
设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，
故3m 3n＝3m+n＝3×5＝15，
则 （3，15）＝m+n，
即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）．
（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　　； （5，1）＝　　； （3，27）＝　　．
（2）计算 （5，2）+（5，7）＝　 　，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．
26．定义一种幂的新运算：xa xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）求22 23的值；
（2）若2p＝3，2q＝5，3q＝7，求2p 2q的值；
（3）若运算9 9t的结果为810，则t的值是多少？
答案与解析
1．计算a5 a2的结果是（　　）
A．a5 B．a6 C．a7 D．a10
【点拨】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得出正确答案．
【解析】解：a5 a2＝a5+2＝a7．
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法，熟知运算法则是计算关键．
2．下列计算正确的是（　　）
A．a4 a3＝a B．a4 a3＝a7 C．a4 a3＝a12 D．a4 a3＝a64
【点拨】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算即可作出判断．
【解析】解：A、a4 a3＝a7，故此选项不符合题意；
B、a4 a3＝a7，故此选项符合题意；
C、a4 a3＝a7，故此选项不符合题意；
D、a4 a3＝a7，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．计算（﹣xy4）3的结果是（　　）
A．﹣x3y7 B．﹣xy12 C．x3y12 D．﹣x3y12
【点拨】根据积的乘方运算法则和幂乘方运算法则进行计算即可．
【解析】解：根据积的乘方运算法则和幂乘方运算法则可得：
（﹣xy4）3＝﹣x3（y4）3＝﹣x3y12．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了乘方运算．解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和幂乘方运算法则是，解题的关键．
4．下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣a＝2a2 B．a3 a2＝a6 C．（ab）2＝ab2 D．（﹣a3）2＝a6
【点拨】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A、3a﹣a＝2a，故此选项不符合题意；
B、a3 a2＝a5，故此选项不符合题意；
C、（ab）2＝a2b2，故此选项不符合题意；
D、（﹣a3）2＝a6，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5．计算：＝（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可．
【解析】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．计算：（﹣2m4）3＝（　　）
A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12
【点拨】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解析】解：（﹣2m4）3＝（﹣2）3×（m4）3＝﹣8m12，
故选：D．
【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，正确运用运算法则运算是关键．
7．下列计算正确的是（　　）
A．（2a2）3＝8a5 B．（﹣a2b）2＝﹣a4b2 C．（﹣a3）2＝﹣a5 D．22a2﹣3a2＝a2
【点拨】利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解析】解：A、（2a2）3＝8a6，故A不符合题意；
B、（﹣a2b）2＝a4b2，故B不符合题意；
C、（﹣a3）2＝﹣a6，故C不符合题意；
D、22a2﹣3a2＝a2，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．计算：﹣a2 （﹣a）2＝　﹣a4　．
【点拨】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解析】解：﹣a2 （﹣a）2＝﹣a2 a2＝﹣a4，
故答案为：﹣a4．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟知：同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
9．计算：﹣（3a3b）2＝ 　﹣9a6b2　．
【点拨】根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可．
【解析】解：﹣（3a3b）2＝﹣9a6b2，
故答案为：﹣9a6b2．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．计算：＝　﹣x3y6　．
【点拨】直接根据积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算即可．
【解析】解：＝（﹣）3x3（y2）3＝﹣x3y6．
故答案为：﹣x3y6．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的性质，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键，是基础题．
11．计算：
（1）﹣x3 x4； （2）﹣a （﹣a）4； （3）﹣y3 （﹣y）2； （4）﹣（﹣a）5 （﹣a）．
【点拨】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【解析】解：（1）原式＝﹣x3+4＝﹣x7；
（2）原式＝﹣a a4＝﹣a1+4＝﹣a5；
（3）原式＝﹣y3 y2＝﹣y3+2＝﹣y5；
（4）原式＝﹣（﹣a5） （﹣a）＝﹣a6．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，熟记运算法则是解答本题的关键．am an＝am+n．
12．计算：
（1）（ab）4； （2）（﹣3b）3； （3）（）4；
（4）﹣（xy）5； （5）（7ab）2； （6）（﹣4ab）3．
【点拨】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
【解析】解：（1）原式＝a4b4；
（2）原式＝（﹣3）3 b3＝﹣27b3；
（3）原式＝；
（4）原式＝﹣x5y5；
（5）原式＝72a2b2＝49a2b2；
（6）原式＝（﹣4）3 a3b3＝﹣64a3b3．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
13．计算：a3 a a4+（﹣2a4）2+（a2）4．
【点拨】分别根据同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方法则化简，再合并同类项即可．
【解析】解：a3 a a4+（﹣2a4）2+（a2）4＝a8+4a8+a8＝6a8．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
14．计算：
（1）a3 a5+（a2）4+（2a4）2；
（2）（﹣2x2）3+x2 x4﹣（﹣3x3）2．
【点拨】（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可；
（2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可．
【解析】解：（1）a3 a5+（a2）4+（2a4）2
＝a8+a8+4a8
＝6a8；
（2）（﹣2x2）3+x2 x4﹣（﹣3x3）2
＝﹣8x6+x6﹣9x6
＝﹣16x6．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
15．已知am＝6，an＝3，则am+n的值为（　　）
A．9 B．18 C．3 D．2
【点拨】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解析】解：∵am＝6，an＝3，
∴am+n
＝am an
＝6×3
＝18，
∴B符合题意，ACD不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．
16．已知x+y﹣3＝0，则3x 3y的值是（　　）
A．9 B．27 C． D．
【点拨】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解析】解：∵x+y﹣3＝0，
∴x+y＝3，
∴3x 3y＝3x+y＝33＝27．
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
【解析】解：原式＝（﹣）2023×（）2023×
＝（﹣×）2023×
＝（﹣1）2023×
＝﹣1×
＝﹣．
故选：C．
【点睛】本题考查的是幂的乘方与积的乘方，熟知幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解题的关键．
18．计算：（x﹣y）3 （y﹣x）4＝ 　（x﹣y）7　.（结果用幂的形式表示）
【点拨】先把底数变为相同的，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
【解析】解：（x﹣y）3 （y﹣x）4
＝（x﹣y）3 （x﹣y）4
＝（x﹣y）7，
故答案为：（x﹣y）7．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．计算：
（1）（﹣x2） x4+（﹣x2）3；
（2）（a﹣b）2 （b﹣a）3 （a﹣b）．
【点拨】（1）根据幂的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可．
【解析】解：（1）（﹣x2） x4+（﹣x2）3
＝﹣x6+（﹣x6）
＝﹣x6﹣x6
＝﹣2x6；
（2）（a﹣b）2 （b﹣a）3 （a﹣b）
＝（a﹣b）2 [﹣（a﹣b）]3 （a﹣b）
＝（a﹣b）2 [﹣（a﹣b）3] （a﹣b）
＝﹣（a﹣b）6．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，掌握运算法则是关键．
20．计算：（1）（﹣22）3 （2）（﹣x3）2（﹣x2）3 （3）
（4）（a2n﹣2）2 （an+1）3 （5）（﹣x5）4+（﹣x4）5
（6）（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3 （7）（m﹣n）2（n﹣m）2（n﹣m）3
（8）x3 xn﹣1﹣xn﹣2 x4+xn+2 （9）﹣a2 （﹣a）2 （﹣a）2k （﹣a）2k+1
（10）﹣（3x2y2）﹣（﹣3x）2 （﹣y）4 （x2y）2．
【点拨】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的定义解答．
【解析】解：（1）（﹣22）3＝﹣26；
（2）（﹣x3）2（﹣x2）3
＝﹣x6 x6
＝﹣x12；
（3）＝﹣a3b6；
（4）（a2n﹣2）2 （an+1）3
＝a4n﹣4 a3n+3
＝a7n﹣1；
（5）（﹣x5）4+（﹣x4）5
＝x20﹣x20
＝0；
（6）（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3
＝（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3
＝64a6﹣9a6﹣64a6
＝﹣9a6．
（7）（m﹣n）2（n﹣m）2（n﹣m）3
＝（n﹣m）2（n﹣m）2（n﹣m）3
＝（n﹣m）7；
（8）x3 xn﹣1﹣xn﹣2 x4+xn+2
＝xn+2﹣xn+2+xn+2
＝xn+2；
（9）﹣a2 （﹣a）2 （﹣a）2k （﹣a）2k+1
＝a4k+5；
（10）﹣（3x2y2）﹣（﹣3x）2 （﹣y）4 （x2y）2
＝﹣（3x2y2）﹣9x2 y4 x4y2
＝﹣3x2y2﹣9x6y6．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
21．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）若3x×9x×27x＝312，求x的值．
（2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【点拨】（1）由3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x＝312得出6x＝12，即可得出答案；
（2）将5m＝x+3代入y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2可得答案．
【解析】解：（1）3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x．
∵36x＝312，
∴6x＝12，
∴x＝2．
（2）∵x＝5m﹣3，
∴5m＝x+3，
∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，
∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．
22．已知a＝255，b＝344，c＝433，d＝522，将这四个数按从大到小的顺序排列起来，正确的是（　　）
A．a＞b＞c＞d B．c＞d＞a＞b C．b＞c＞a＞d D．d＞c＞b＞a
【点拨】把四个数字的指数化为11，然后比较底数的大小．
【解析】解：a＝255＝3211，b＝344＝8111，c＝c＝433＝6411，d＝d＝522＝2511，
∵81＞64＞32＞25，
∴b＞c＞a＞d．
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
23．已知2a＝4，2b＝12，2c＝6，那么a、b、c之间满足的关系是（　　）
A．2a+c＝2b+1 B．2a+c＝22b C．a：b：c＝1：3：2 D．2ac＝22b
【点拨】先根据题意得出2a×2c＝2a+c＝4×6＝24，2×2b＝2b+1＝2×12＝24，即可得出答案．
【解析】解：∵2a＝4，2b＝12，2c＝6，
∴2a×2c＝2a+c＝4×6＝24，2×2b＝2b+1＝2×12＝24，
∴2a+c＝2b+1，
∴a+c＝b+1，
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以1og5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　）
①log61＝0；②log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）；③若log4（a+14）＝4，则a＝50；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】①根据新定义证明即可；
②设a＝log2x，b＝log2y，根据新定义，得x＝2a，y＝2b，则xy＝2a+b，从而证得log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）；
③根据新定义，得a+14＝44，解方程求出a的值即可；
④根据②，得log223＝log22×4＝log22+log24＝log22+log22×2＝log22+log22+log22＝3log22．
【解析】解：①∵60＝1，
∴①正确，符合题意；
②设a＝log2x，b＝log2y，
∴x＝2a，y＝2b，
∴xy＝2a+b，
∴log2xy＝a+b，
∴log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0），
∴②正确，符合题意；
③∵log4（a+14）＝4，
∴a+14＝44，
∴a＝242，
∴③不正确；
④由②，得log223＝log22×4＝log22+log24＝log22+log22×2＝log22+log22+log22＝3log22，
∴④正确．
综上，共有3个正确，分别是①②④．
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，理解新定义并掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
25．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．
例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：
设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，
故3m 3n＝3m+n＝3×5＝15，
则 （3，15）＝m+n，
即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）．
（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　2　； （5，1）＝　0　； （3，27）＝　3　．
（2）计算 （5，2）+（5，7）＝　（5，14）　，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．
【点拨】（1）根据上述规定即可得到结论；
（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解；
（3）设（2n，3n）＝x，于是得到（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n根据“雅对”定义即可得到结论．
【解析】解：（1）∵22＝4，
∴（2，4）＝2；
∵50＝1，
∴（5，1）＝0；
∵33＝27，
∴（3，27）＝3；
故答案为：2，0，3；
（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，
则5x＝2，5y＝7，
∴5x+y＝5x 5y＝14，
∴（5，14）＝x+y，
∴（5，2）+（5，7）＝（5，14），
故答案为：（5，14）；
（3）设（2n，3n）＝x，则（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n
所以2x＝3，即（2，3）＝x，
所以（2n，3n）＝（2，3）．
【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
26．定义一种幂的新运算：xa xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）求22 23的值；
（2）若2p＝3，2q＝5，3q＝7，求2p 2q的值；
（3）若运算9 9t的结果为810，则t的值是多少？
【点拨】（1）根据所给的新定义把x＝2代入xa xb＝xab+xa+b中进行求解即可；
（2）先根据积的乘方求出2pq＝7，再根据2p 2q＝2pq+2p+q进行求解即可；
（3）先求出9 9t＝10×9t，再根据9 9t＝810，得到10×9t＝810，由此即可得到答案．
【解析】解：（1）∵xa xb＝xab+xa+b，
∴22 23
＝22×3+22+3
＝26+25
＝64+32
＝96；
（2）∵2p＝3，3q＝7，
∴（2p）q＝3q，
∴2pq＝7
∴2p 2q
＝2pq+2p+q
＝7+3×5
＝7+15
＝22；
（3）9 9t
＝91 t+91+t
＝9t+9×9t
＝10×9t，
∵9 9t＝810，
∴10×9t＝810
∴9t＝81，
∴t＝2．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，幂的乘方的逆运算等计算，正确理解所给的新定义是解题的关键．
基础过关
能力提升
培优拔尖
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