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专题4.1&4.2因式分解的意义和提取公因式法六大题型（一课一讲）
（内容:因式分解的判定、提取公因式）
【浙教版】
题型一：判断是否为因式分解
【经典例题1】下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-5】下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：提取公因式中找公因式
【经典例题2】多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（1）多项式的公因式是 ；
（2）多项式的公因式是 ；
（3）多项式的公因式是 ；
（4）多项式的公因式是 ．
【变式训练2-4】（1）多项式中，各项的公因式是 ；
（2）多项式中，各项的公因式是 ．
【变式训练2-5】（多项式的公因式是 ．
题型三：添括号
【经典例题3】计算时，下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】下列各式左右两边相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】下列去括号或添括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-3】下列式子变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-4】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-5】为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：提取公因式因式分解
【经典例题4】因式分解：
(1)
(2)
【变式训练4-1】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式训练4-2】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【变式训练4-3】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)，
(4)．
【变式训练4-4】因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式训练4-5】将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型五：利用提取公因式求代数式的值
【经典例题5】已知，则 ．
【变式训练5-1】若，，则代数式的值是 ．
【变式训练5-2】若，，则的值为 ．
【变式训练5-3】，，则 ．
【变式训练5-4】已知，则的值是 ．
【变式训练5-5】当时，代数式的值是11，则当时，代数式的值是 ．
题型六：提取公因式综合应用
【经典例题6】【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”．
【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？
【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．
【变式训练6-1】（1）设是一个四位数（表示千位上的数字，表示百位上的数字，表示十位上的数字，表示个位上的数字），若可以被9整除，请你证明这个数也可以被9整除；
（2）用问题（1）的结论，验证一下2025能否被9整除．
【变式训练6-2】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：．
(1)上述因式分解的方法是 ，共应用了 次．
(2)因式分解需应用上述方法 次，结果是 ，请写出推理过程．
(3)计算： ．
【变式训练6-3】阅读材料：
已知代数式，求的值．
解：由，
得，
即，
因此，所以．
根据以上材料，解答下列题目：
已知代数式，求的值．
【变式训练6-4】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
(1)上述分解因式的方法是 ，共用了 次．
(2)若分解，则结果是 ．
(3)依照上述方法分解因式：（n为正整数）．
【变式训练6-5】阅读材料：
我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把看成一个整体，合并；
（2）已知，求的值；
拓展应用：
（3）已知，，，求的值．
【变式训练6-6】阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
【尝试应用】
（1）把看成一个整体，合并的结果是__________；
（2）已知，求的值；
【拓广探索】
（3）已知，，，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
专题4.1&4.2因式分解的意义和提取公因式法六大题型（一课一讲）
（内容:因式分解的判定、提取公因式）
【浙教版】
题型一：判断是否为因式分解
【经典例题1】下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、符合因式分解的定义，符合题意；
B、，不符合题意；
C、中等号右边不是积的形式，不符合题意；
D、中为分式，不符合题意；
故选：A．
【变式训练1-1】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、是乘法运算，则A不符合题意；
B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意；
C、，则C不符合题意；
D、符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
【变式训练1-2】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、，属于因式分解，故符合题意；
D、，所以因式分解错误，故不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-3】下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，是整式的乘法运算，不是因式分解，本选项不符合题意；
B、，利用平方差公式因式分解，本选项符合题意；
C、，结果不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，本选项不符合题意；
D、，不符合因式分解的定义，不是因式分解，本选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-4】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
B、整式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意；
C、整式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意；
D、满足因式分解的定义，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-5】下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A． 是多项式相乘，故该选项不符合题意；
B． 右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意；
C． 是因式分解，故该选项符合题意；
D． 右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意；
故选：C．
题型二：提取公因式中找公因式
【经典例题2】多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
故多项式的公因式是，
故选：D．
【变式训练2-1】多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
，
故选B．
【变式训练2-2】多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得，
的公因式是：，
故选：B．
【变式训练2-3】（1）多项式的公因式是 ；
（2）多项式的公因式是 ；
（3）多项式的公因式是 ；
（4）多项式的公因式是 ．
【答案】 ； ； ； ．
【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是；
（）根据公因式的概念可得：公因式是；
（）根据公因式的概念可得：公因式是；
（）根据公因式的概念可得：公因式是；
故答案为：（）；（）；（）；（）．
【变式训练2-4】（1）多项式中，各项的公因式是 ；
（2）多项式中，各项的公因式是 ．
【答案】
【解析】略
【变式训练2-5】（多项式的公因式是 ．
【答案】
【详解】解：∵多项式有三项，
∴，，中系数的公因数是，字母部分公因式为，
∴多项式的公因式是．
故答案为：．
题型三：添括号
【经典例题3】计算时，下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：，
故选：B．
【变式训练3-1】下列各式左右两边相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意；
故选B．
【变式训练3-2】下列去括号或添括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A、根据去括号法则，，而不是，该选项A错误；
B、根据去括号法则，，而不是，该选项B错误；
C、根据添括号法则，，而不是，该选项C错误；
D、根据添括号法则，，选项D正确．
故选：D．
【变式训练3-3】下列式子变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：，故A选项变形错误；
，故B选项变形错误；
，故C选项变形错误；
，故D选项变形正确；
故选D．
【变式训练3-4】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解∶ ．，原添括号错误，故该选项不符合题意；
．，原去括号正确，故该选项符合题意；
．，原添括号错误，故该选项不符合题意；
．，原去括号错误，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练3-5】为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：，
故选：C．
题型四：提取公因式因式分解
【经典例题4】因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）
；
（2）
【变式训练4-1】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
【变式训练4-2】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【变式训练4-3】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)，
(4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：
．
（4）解：
．
【变式训练4-4】因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：原式；
（2）原式
．
（3）原式
．
【变式训练4-5】将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【详解】（1）
；
（2）
；
（3））
；
（4）
．
题型五：利用提取公因式求代数式的值
【经典例题5】已知，则 ．
【答案】6
【详解】解：，
将代入上式，，
故答案为：6．
【变式训练5-1】若，，则代数式的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【变式训练5-2】若，，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【变式训练5-3】，，则 ．
【答案】18
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案是：．
【变式训练5-4】已知，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
【变式训练5-5】当时，代数式的值是11，则当时，代数式的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵当时，代数式的值是11，
∴把代入，得，
则，
∴当时，代数式，
故答案为：．
题型六：提取公因式综合应用
【经典例题6】【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”．
【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？
【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．
【答案】验证：嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误
证明：证明见解析
【详解】解：验证：
，
是“4倍数”，故嘉嘉的说法正确；
，
不是“4倍数”，故淇淇的说法错误；
证明：
，
是整数，
是整数，
这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．
【变式训练6-1】（1）设是一个四位数（表示千位上的数字，表示百位上的数字，表示十位上的数字，表示个位上的数字），若可以被9整除，请你证明这个数也可以被9整除；
（2）用问题（1）的结论，验证一下2025能否被9整除．
【答案】（1）见详解；（2）能，验证见详解
【详解】（1）证明：
能被9整除
能被9整除，
能被9整除，
这个数能被9整除；
（2）能被9整除
能被9整除．
【变式训练6-2】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：．
(1)上述因式分解的方法是 ，共应用了 次．
(2)因式分解需应用上述方法 次，结果是 ，请写出推理过程．
(3)计算： ．
【答案】(1)提取公因式法，2
(2)10，，过程见解析
(3)
【详解】（1）解：由题意知，题中分解因式的方法是提取公因式法，共用了2次，
故答案为：提取公因式法，2；
（2）解：
……
，
故答案为：10，；
（3）解：由（1）和（2）知，最终分解因式的结果的次数是原式最高次数加1，
∴，
故答案为：．
【变式训练6-3】阅读材料：
已知代数式，求的值．
解：由，
得，
即，
因此，所以．
根据以上材料，解答下列题目：
已知代数式，求的值．
【答案】
【详解】解：由，
得：，
即：，
因此，
所以．
【变式训练6-4】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
(1)上述分解因式的方法是 ，共用了 次．
(2)若分解，则结果是 ．
(3)依照上述方法分解因式：（n为正整数）．
【答案】(1)提公因式法，2；(2)(3)
【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）由所给因式分解的过程可知，分解的结果是，
故答案为：；
（3）
…
．
【变式训练6-5】阅读材料：
我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把看成一个整体，合并；
（2）已知，求的值；
拓展应用：
（3）已知，，，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴
；
（3）∵，，，
∴
；
【变式训练6-6】阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
【尝试应用】
（1）把看成一个整体，合并的结果是__________；
（2）已知，求的值；
【拓广探索】
（3）已知，，，求的值．
【答案】（1）；（2）2011；（3）7
【详解】解：（1）∵，
（2）∵，
∴
；
（3）∵①，②，③，
∴
．
