(共27张PPT)
（浙教版）七年级
下
3.4.2 乘法公式
整式的乘除
第三章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1 掌握完全平方公式
2 会运用完全平方公式进行多项式的乘法计算
知识回顾
平方差公式 (a+b)(a b)=a2 b2
关键：找出相等的“项”和符号相反的“项”
明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？
新知导入
我应该同意吗，谁来帮我算一算？
大披萨的面积：S = π·32 = 9π .
小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π .
所以不应该同意.
新知导入
你发现了什么？
(2 + 1)2 ≠ 22 + 12.
新知讲解
大正方形的边长为 a+b，请用两种不同的方法计算这个大正方形的面积.
第一种：(a+b)(a+b)=(a+b)2
第二种：a2+2ab+b2
通过计算，你能得出什么结论？
(a+b)2=a2+2ab+b2
新知讲解
大正方形的边长为 a+b，请用两种不同的方法计算这个大正方形的面积.
能否用多项式与多项式相乘的法则推导出这个结论？
(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
总结：(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
两数和的完全平方公式：
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍
(a+b)2=a2+2ab+b2
新知讲解
a, b可以是数，整式，或者是更复杂的代数式
新知讲解
用两数和的完全平方公式计算（填空）
(1) (a+1)2=( )2+2×( )×( )+( )2
=___________________________
(2) (2a+3b)2=( )2+2×( )×( )+( )2
=___________________________
a
a
1
1
a2+2a+1
2a
2a
3b
3b
4a2+12ab+9b2
画一画：我们能否将上面图形中表示边长的字母稍作调整，画一个图形计算(a－b)2
a2
ab b(a b)
= a2 2ab + b2
=
(a b)2
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
差的完全平方公式：
a b
新知讲解
总结：[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2
(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
两数差的完全平方公式：
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍
(a-b)2=a2-2ab+b2
新知讲解
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式
平方差公式
乘法公式
(a ± b)2= a2 ± 2ab+b2
完全平方公式
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放， 符号看中间
公式变形为（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
(x+3)2 (x-3)2 (2x+3y)2 (-2x+3y)2 (-2x-3y)2
新知讲解
下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？
解：计算错误，
应该为
解：计算错误，
应该为
（1）;
（2）
跟踪练习
典例精析
例3：用完全平方公式计算：
(1) (x+2y)2; (2)(2a-5)2
(3) (-2s+t)2; (4)(-3x-4y)2
解：(1) (x+2y)2=x2+2·x·2y+(2y)2=x2+4xy+4y2
(2)(2a-5)2=(2a)2-2·2a·5+52=4a2-20a+25
(3) (-2s+t)2=(-2s)2+2·(-2s)·t+t2=4s2-4st+t2
(4)(-3x-4y)2=(-3x)2-2·(-3x)·(4y)+(4y)2=9x2+24xy+16y2
典例精析
例4: 一花农有2块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m, 29.5m。现
将这2块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少m 。
解：设原正方形苗圃的边长为am, 边长都增1.5m，新正方形的边长为（a+1.5）m
（a+1.5）2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25
当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55
当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75
答：苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2
课堂练习
1.计算(2x-1)2的结果是( )
A.4x2+4x-1 B.4x2-4x-1 C.4x2+4x+1 D.4x2-4x+1
2.下列运算正确的是( )
A.(a+b)2=a2+b2 B.2(a-1)=2a-2
C.3a+2a=5a2 D.(ab)2=ab2
3. 已知(a+b)2=49, a2+b2=25, 则 ab=( )
A.24 B.48 C.12 D.2
D
B
C
课堂练习
5. 如果 x2-6x+N 是一个完全平方式, 那么N是( )
(A ) 11 (B) 9 (C) -11 (D) -9
5-1. 如果x2+mx+81是一个完全平方式，那么m是( )
5-2. 如果x2-mx+81是一个完全平方式，那么m是( )
4. 已知(a+b)2=11 , ab=1 , 求 (a-b)2 的值.
(a-b)2 =(a+b)2-4ab=7
B
±18
±18
课堂练习
7
7、 若x2-3x+1=0,
3
5
课堂总结
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
完全平方公式
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边,
做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
完全平方公式
板书设计
作业布置
1. 用四块完全相同的小长方形拼成一个“回形”正方形.
(1) 用不同代数式表示图中阴影部分的面积，你能的到怎么样的等式.
(2)利用（1）中的结论计算：m+n=2, mn=0.75, 求 m-n
(1)(a+b)2-(a-b)2=4ab
(m-n)2=(m+n)2-4mn=1
作业布置
2. 已知a+b=3 , ab=-4 .
a2+b2=___________;
(a-b)2=___________。
2-1. 已知a+b=4 , ab=3 .
a2+b2=___________;
a-b =___________。
17
25
6
±2
作业布置
3. 已知a-b=3 , ab=2 . a2-3ab+b2=___________;
7
4. 如图, 从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形,剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形(不重叠、无缝隙),则长方形的面积为( )
A.(2a2+5a)cm2
B.(3a+15)cm2
C.(6a+9)cm2
D.(6a+15)cm2
D
5. 计算:
(1) (x-2)2-(x+1)(x-1) (2) (2m-n)(n-2m)+(n-2m)2
(1) 原式=x2-4x+4-(x2-1)=x2-4x+4-x2+1=-4x+5
(2) 原式=-(2m-n)2+(n-2m)2=-(2m-n)2+(2m-n)2=0
作业布置
Thanks!
2
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分课时教学设计
《3.4 乘法公式 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的；一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用准理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。乘法公式是后续学习的必备基础,不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，既是以后学习因式分解、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能。公式的发现与验证给学生体验规律发现的基本方法和基本过程提供了很好模式。
学习者分析 初一学生的形象思维大于抽象思维，注意力不能持久等年龄特点，学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异开始有明显分层
教学目标 1 掌握完全平方公式 2 会运用完全平方公式进行多项式的乘法计算
教学重点 掌握完全平方公式
教学难点 从两数和的完全平方公式到两数差的完全平方公式的推理方法
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新课导入教师活动1： 思考：明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个4 寸和一个2寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？ 学生活动1： 回顾公式并熟练书写活动意图说明：知识回顾为本节课打下基础环节二：新知讲解教师活动2： 大正方形的边长为 a+b，请用两种不同的方法计算这个大正方形的面积. （1）通过计算，你能得出什么结论？ （2）能否用多项式与多项式相乘的法则推导出这个结论？ 做一做： 用两数和的完全平方公式计算（填空） (1) (a+1)2=( )2+2×( )×( )+( )2 =___________________________ (2) (2a+3b)2=( )2+2×( )×( )+( )2 =___________________________ 问：（a-b）2=？ 完全平方公式：(a ± b)2= a2 ± 2ab+b2 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放， 符号看中间 跟踪练习：下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？ (a+b)2=a2+b2 (a-b)2=a2+b2-ab 学生活动2： 一起计算并总结完全平方公式活动意图说明：几何图形的推导加上代数式的计算推论使学生理解的更加透彻环节四：典例精析教师活动3： 例3：用完全平方公式计算： (1) (x+2y)2； (2) (2a-5)2 (3) (-2s+t)2； (4) (-3x-4y)2 例4: 一花农有2块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m, 29.5m。现将这2块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少m学生活动4： 计算活动意图说明：及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑并落实新知与方法，增强学生运算能力。
板书设计 完全平方公式： 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.计算(2x-1)2的结果是( ) A.4x2+4x-1 B.4x2-4x-1 C.4x2+4x+1 D.4x2-4x+1 2.下列运算正确的是( ) A.(a+b)2=a2+b2 B.2(a-1)=2a-2 C.3a+2a=5a2 D.(ab)2=ab2 3.已知(a+b)2=49,a2+b2=25,则 ab=( ) A.24 B.48 C.12 D.2 4. 已知(a+b)2=11 , ab=1 , (a-b)2 的值为_______ 选做题： 5. 如果 x2-6x+N 是一个完全平方式, 那么N是( ) (A ) 11 (B) 9 (C) -11 (D) -9 5-1. 如果x2+mx+81是一个完全平方式，那么m是( ) 5-2. 如果x2-mx+81是一个完全平方式，那么m是( ) 【综合拓展类作业】 7. 若x2-3x+1=0,
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 用四块完全相同的小长方形拼成一个“回形”正方形. (1) 用不同代数式表示图中阴影部分的面积，你能的到怎么样的等式. (2)利用（1）中的结论计算：m+n=2, mn=0.75, 求 m-n 2. 已知a+b=3 , ab=-4 . a2+b2=___________； (a-b)2=___________。 2-1. 已知a+b=4 , ab=3 . a2+b2=___________； a-b =___________。 3. 已知a-b=3 , ab=2 . a2-3ab+b2=___________. 选做题： 4.如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形,剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形(不重叠、无缝隙),则长方形的面积为( ) A.(2a2+5a)cm2 B.(3a+15)cm2 C.(6a+9)cm2 D.(6a+15)cm2 【综合拓展类作业】 5. 计算: (1) (x-2)2-(x+1)(x-1) (2) (2m-n)(n-2m)+(n-2m)2
教学反思 鼓励学生学会发现公式的特点，理解完全平方公式，其实完全平方公式和平方差公式一样都是多项式乘以多项式的一类特例，认识了这一点，让学生多运用代数推理的办法验证自己的猜想
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级下 学期 春季
课题 3.4.2乘法公式——完全平方公式
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级下册 出版社： 浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1 掌握完全平方公式 2 会运用完全平方公式进行多项式的乘法计算
课前学习任务
复习平方差公式 复习多项式乘多项式的乘法法则
课上学习任务
【学习任务一】课堂导入 平方差公式: _______________________ 关键：___________________ 思考：明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个4 寸和一个2寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？ 【学习任务二】 开展项目活动一： 大正方形的边长为 a+b， 追问1：请用两种不同的方法计算这个大正方形的面积. 追问2： 通过计算，你能得出什么结论？ 追问3：能否用多项式与多项式相乘的法则推导出这个结论？ 开展项目活动二： 用两数和的完全平方公式计算（填空） (1) (a+1)2=( )2+2×( )×( )+( )2 =___________________________ (2) (2a+3b)2=( )2+2×( )×( )+( )2 =___________________________ 追问1：（a-b）2=？ 跟踪练习：下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？ (a+b)2=a2+b2 (a-b)2=a2+b2-ab 【学习任务三】典例精析 例3：用完全平方公式计算： (1) (x+2y)2; (2)(2a-5)2 (3) (-2s+t)2; (4)(-3x-4y)2 例4: 一花农有2块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m, 29.5m。现将这2块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少m 总结： 。 【学习任务五】课堂练习 1.计算(2x-1)2的结果是( ) A.4x2+4x-1 B.4x2-4x-1 C.4x2+4x+1 D.4x2-4x+1 2.下列运算正确的是( ) A.(a+b)2=a2+b2 B.2(a-1)=2a-2 C.3a+2a=5a2 D.(ab)2=ab2 3.已知(a+b)2=49,a2+b2=25,则 ab=( ) A.24 B.48 C.12 D.2 4. 已知(a+b)2=11 , ab=1 , (a-b)2 的值为_______ 5. 如果 x2-6x+N 是一个完全平方式, 那么N是( ) (A ) 11 (B) 9 (C) -11 (D) -9 5-1. 如果x2+mx+81是一个完全平方式，那么m是( ) 5-2. 如果x2+mx+81是一个完全平方式，那么m是( ) 7. 若x2-3x+1=0, 作业布置： 1. 用四块完全相同的小长方形拼成一个“回形”正方形. (1) 用不同代数式表示图中阴影部分的面积，你能的到怎么样的等式. (2)利用（1）中的结论计算：m+n=2, mn=0.75, 求 m-n 2. 已知a+b=3 , ab=-4 . a2+b2=___________; (a-b)2=___________。 2-1. 已知a+b=4 , ab=3 . a2+b2=___________; a-b =___________。 3. 已知a-b=3 , ab=2 . a2-3ab+b2=___________; 4.如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形,剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形(不重叠、无缝隙),则长方形的面积为( ) A.(2a2+5a)cm2 B.(3a+15)cm2 C.(6a+9)cm2 D.(6a+15)cm2 5. 计算: (1) (x-2)2-(x+1)(x-1) (2) (2m-n)(n-2m)+(n-2m)2
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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第三章
课标要求 1）了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)2）理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)。3）理解乘法公式(a +b)(a -b)= a2 -b ,(a±b) = a2±2ab +b2,了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。4）能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)。
内容分析 本章的主要内容有幂的运算法则、整式的乘法和整式的除法,在七年级上册，学生已经学习过整式的加减通过本章的学习,学生基本上学完了整式的四则运算,整式的四则运算在整个“数与代数”领域中有着重要的地位.因式分解、分式等概念都是在整式概念的基础上建立起来的,分解因式以整式的乘法为依据,分式的运算最终都归结为整式的运算,整式的运算是学生继续学习数学的重要基础和工具,另外,整式的运算在生活和生产实际中也有许多直接的应用.
学情分析 在七年级上册，学生已经学习了整式的加、减运算，在这个过程中，初步体会了代数式运算在解决“具有一般性”的问题中的作用。本单元的知识在学习整式乘法法则的过程中，教科书特别注重借助几何图形理解法则，进一步体会整式运算的意义，发展学生的符号意识。
单元目标 （一）教学目标理解多项式乘以多项式、多项式乘以单项式、单项式乘以单项式的运算法则，并能运用这些法则进行简便计算。理解多项式除以单项式的运算法则，掌握整式的除法运算，解决实际问题中的整式除法问题。能够运用整式的乘除法则，解决实际问题，如面积、体积等计算问题。（二）教学重点、难点教学重点：整式的乘法和除法是进一步学习因式分解、分式及其运算等代数式知识教学难点:多项式乘多项式运算，零指数幂和负整数指数幂的概念
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1同底数幂的乘法33.2单项式的乘法13.3多项式的乘法23.4乘法公式23.5整式的化简13.6同底数幂的除法23.7整式的除法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1.1 同底数幂的乘法1.进一步了解正整数指数幂的意义，了解同底数幂相乘是出于解决实际问题的需要。2.理解同底数幂相乘的法则。3.会运用同底数幂的乘法法则进行同底数幂相乘，并解决简单的实际问题.1.进一步了解正整数指数幂的意义，了解同底数幂相乘是出于解决实际问题的需要。2.理解同底数幂相乘的法则。3.会运用同底数幂的乘法法则进行同底数幂相乘，并解决简单的实际问题.任务1.生活实例引入课题任务2. 出示例题3.1.2同底数幂的乘法理解幂的乘方法则会运用幂的乘方法则计算幂的乘方会综合运用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则进行简单的混合运算理解幂的乘方法则2.会运用幂的乘方法则计算幂的乘方3会综合运用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则进行简单的混合运算活动1：知识回顾活动2：例题3.1.3同底数幂的乘法理解积的乘方法则会计算积的乘方会进行简单的幂的混合运算1.理解积的乘方法则2.会计算积的乘方3.会进行简单的幂的混合运算活动1：知识回顾活动2：例题3.2 单项式的乘法1.掌握单项式与单项式相乘的法则2.掌握单项式与多项式相乘的法则1.掌握单项式与单项式相乘的法则2.掌握单项式与多项式相乘的法则任务1. 生活实例引入课题任务2. 出示例题活动3：合作学习活动4：例题3.3.1 多项式的乘法1.掌握多项式与多项式相乘的法则2.会运用单项式和单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则化简整式1.掌握多项式与多项式相乘的法则2.会运用单项式和单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则化简整式任务1. 生活实例引入课题任务2. 出示例题3.3.2多项式的乘法进一步掌握多项式与多项式相乘的法则.会运用多项式、单项式的加、减乘运算化简整式了解多项式的升幂排列和降幂排列1.进一步掌握多项式与多项式相乘的法则.2.会运用多项式、单项式的加、减乘运算化简整式3.了解多项式的升幂排列和降幂排列任务1. 例题3.4.1 乘法公式1.掌握平方差公式2.会运用平方差公式进行多项式的乘法运算3.会运用平方差公式进行简便计算1.掌握平方差公式2.会运用平方差公式进行多项式的乘法运算3.会运用平方差公式进行简便计算任务1. 从生活实例到课题任务2. 出示例题3.4.2 乘法公式 1.掌握完全平方公式2.会用完全平方公式进行多项式的乘法运算 1.掌握完全平方公式2.会用完全平方公式进行多项式的乘法运算任务1. 从生活实例到课题任务2. 出示例题3.5 整式的化简掌握整式的加、减、乘、乘方混合运算的运算顺序会利用加、减、乘、乘方混合运算将整式化简会利用加、减、乘、乘方运算解决简单的实际问题1.掌握整式的加、减、乘、乘方混合运算的运算顺序2.会利用加、减、乘、乘方混合运算将整式化简3.会利用加、减、乘、乘方运算解决简单的实际问题任何1：从生活实例到课题任务2. 出示例题3.6.1 同底数幂的除法1.理解同底数幂相除的法则2. 会用同底数幂相除的法则进行同底数幂相除的运算1.理解同底数幂相除的法则2. 会用同底数幂相除的法则进行同底数幂相除的运算任何1：从生活实例到课题任务2. 出示例题3.6.2 同底数幂的除法1.了解零指数幂的概念2.了解负整数指数幂的概念3.用科学记数法表示绝对值较小的数4.了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂1.了解零指数幂的概念2.了解负整数指数幂的概念3.用科学记数法表示绝对值较小的数4.了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂任何1：合作学习任务2. 出示例题3.7 整式的除法1.掌握单项式除以单项式的运算法则2.掌握多项式除以单项式的运算法则3.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式，以及简单的乘除混合运算1.掌握单项式除以单项式的运算法则2.掌握多项式除以单项式的运算法则3.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式，以及简单的乘除混合运算任何1：从生活实例到课题任务2. 出示例题
《整式的乘除》单元教学
3.1.1 同底数幂的乘法
活动2：例题
活动1：生活实例引入课题
3.1.3 同底数幂的乘法
整式的乘除
3.4.1 乘法公式
活动1：例 题
3.5 整式的化简
活动2：例题
3.3.1 多项式的乘法
活动1：从生活实例到课题
活动2：例 题
3.1.2 同底数幂的乘法
活动1：知识回顾
活动2：例题
3.2 单项式的乘法
活动1：生活实例引入课题
活动2：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：例题
活动1：知识回顾
活动3：合作学习
活动4：例题
3.3.2 多项式的乘法
3.4.2 乘法公式
活动1：生活实例引入课题
活动2：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：例题
3.6.1 同底数幂的除法
活动1：生活实例引入课题
活动2：例题
3.6.2 同底数幂的除法
活动1：合作学习
活动2：例题
3.7 整式的除法
活动1：生活实例引入课题
活动2：例题
整式的乘除
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
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