3.1同底数幂的乘法培优练习（含解析）

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3.1同底数幂的乘法培优练习浙教版2024—2025学年七年级下册培优练习
一、选择题
1．若a，b是正整数，且满足2a+2a+2a+2a＝2b 2b 2b 2b，则a与b的关系正确的是（　　）
A．a+2＝4b B．a＝b C．a+2＝b4 D．4a＝b4
2．计算的结果为（　　）
A．2 B． C．1 D．﹣2
3．已知a＝255，b＝344，c＝533，那么a、b、c的大小顺序是（　　）
A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
4．若3x＝4，3y＝7，则3x+y的值为（　　）
A．28 B．14 C．11 D．18
5．已知x+y﹣3＝0，则3x 3y的值是（　　）
A．9 B．27 C． D．
二、填空题
6．已知m，n为正整数，若3m+n﹣4＝0，则23m×2n＝ 　 　．
7．已知am＝3，an＝2，则a2m+3n＝　 　．
8．若2n+2n+2n+2n＝210，则n＝ 　 　．
9．若3x+y﹣8＝0，则8x 2y的结果是 　 　．
10．规定logab（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则：logaan＝n，logbc（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，m＞0，m≠1，c＞0，n＞0）．例如：log223＝3，log25，则log927＝　 　．
三、解答题
11．幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y．利用上面的结论解答下列问题：
（1）若8x＝28×210，求x的值；
（2）若5x+1﹣5x＝102，求x的值．
12．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．
（1）根据D数的定义，填空：D（2）＝　 　，D（16）＝　 　．
（2）D数有如下运算性质：D（s t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．
根据运算性质，计算：
①若D（a）＝1，求D（a3）；
②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求D（15），D（），D（108），D（）的值（用a、b、c表示）．
13．若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2x 23＝32，求x的值；
（2）如果2÷8x 16x＝25，求x的值；
（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．
14．规定两数a，b之间的一种运算，记作[a，b]：如果ac＝b，那么[a，b]＝c．例如：因为24＝16，所以[2，16]＝4．
（1）[3，27]＝ 　 　，[　 　，﹣8]＝3；
（2）令1＝[﹣2，﹣2]，2＝[﹣2，4]，3＝[﹣2，﹣8]，4＝[﹣2，16]，5＝[﹣2，﹣32]…，则9＝[﹣2，　 　]，n＝[﹣2，　 　]；
（3）令n＝[﹣2，b1]，n+1＝[﹣2，b2]，n+2＝[﹣2，b3]，若b1+b2+b3＝3072，求n的值．
15．解答下列问题
（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；
（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；
（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x 81y的值．
16．求值．
（1）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x 27y÷81z的值；
（2）已知（x2+ax+4）（x2﹣2x+b）的乘积中不含x2和x3项，求a﹣2b的值．
参考答案
1．【解答】解：∵2a+2a+2a+2a＝2b 2b 2b 2b，
∴4×2a＝24b，
∴22×2a＝24b，
∴22+a＝24b，
∴a+2＝4b，
故选：A．
2．【解答】解：原式＝（﹣2）×（﹣2）2024×（）2024
＝﹣2×（﹣2）2024
＝﹣2×1
＝﹣2．
故选：D．
3．【解答】解：因为a＝255（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511，
∴255＜344＜533，
即a＜b＜c．
故选：D．
4．【解答】解：原式＝3x×3y＝4×7＝28．
故选：A．
5．【解答】解：∵x+y﹣3＝0，
∴x+y＝3，
∴3x 3y＝3x+y＝33＝27．
故选：B．
二、填空题
6．【解答】解：∵3m+n﹣4＝0，
∴3m+n＝4，
∴23m×2n＝23m+n＝24＝16，
故答案为：16．
7．【解答】解：当am＝3，an＝2时，
a2m+3n
＝a2m a3n
＝（am）2 （an）3
＝32×23
＝9×8
＝72．
故答案为：72．
8．【解答】解：∵2n+2n+2n+2n＝210，
∴2n×4＝210，
即2n+2＝210，
则n+2＝10，
解得：n＝8，
故答案为：8．
9．【解答】解：∵3x+y﹣8＝0，
∴3x+y＝8，
∴8x 2y＝（23）x 2y＝23x 2y＝23x+y＝28＝256，
故答案为：256．
10．【解答】解：．
故答案为：．
三、解答题
11．【解答】解：（1）∵8x＝（23）x＝23x，
28×210＝218，
∴23x＝218，
∴3x＝18，
∴x＝6．
（2）∵5x+1﹣5x＝5x×（5﹣1）＝4×5x，
102＝100＝4×25＝4×52，
∴4×5x＝4×52，
∴x＝2．
12．【解答】解：（1）∵21＝2，
∴D（2）＝1，
∵24＝16，
∴D（16）＝4，
故答案为：1；4．
（2）①∵21＝a，
∴a＝2．
∴23＝23．
∴D（a3）＝3．
②D（15）＝D（3×5），
＝D（3）+D（5）
＝（2a﹣b）+（a+c）
＝3a﹣b+c，
＝（a+c）﹣（2a﹣b）
＝﹣a+b+c．
D（108）＝D（3×3×3×2×2），
＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2）
＝3×D（3）+2×D（2）
＝3×（2a﹣b）+2×1
＝6a﹣3b+2．
，
＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2）
＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）]
＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）]
＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1]
＝6a﹣3b﹣a﹣c﹣2
＝5a﹣3b﹣c﹣2，
13．【解答】解：（1）∵2x 23＝32，
∴2x+3＝25，
∴x+3＝5，
∴x＝2；
（2）∵2÷8x 16x＝25，
∴2÷23x 24x＝25，
∴21﹣3x+4x＝25，
∴1+x＝5，
∴x＝4；
（3）∵x＝5m﹣2，
∴5m＝x+2，
∵y＝3﹣25m，
∴y＝3﹣（5m）2，
∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．
14．【解答】解：（1）∵33＝27，（﹣2）3＝﹣8，
∴[3，27]＝3，[﹣2，﹣8]＝3，
故答案为：3，﹣2；
（2）∵1＝[﹣2，﹣2]，2＝[﹣2，4]，3＝[﹣2，﹣8]，4＝[﹣2，16]，5＝[﹣2，﹣32]…，（﹣2）9＝﹣512，
∴9＝[﹣2，﹣512]，n＝[﹣2，（﹣2）n]，
故答案为：﹣512，（﹣2）n；
（3）∵n＝[﹣2，b1]，n+1＝[﹣2，b2]，n+2＝[﹣2，b3]，
∴，
∵b1+b2+b3＝3072，
∴（﹣2）n+（﹣2）n+1+（﹣2）n+2＝3072，
（﹣2）n[1+（﹣2）+（﹣2）2]＝3072，
3×（﹣2）n＝3072，
（﹣2）n＝1024，
∴n＝10．
15．【解答】解：（1）∵2x＝a，2y＝b，
∴2x+y＝2x 2y＝ab；
（2）∵3m＝5，3n＝2，
∴33m+2n+1＝（3m）3 （3n）2×3＝53×22×3＝125×4×3＝1500；
（3）由3x+4y﹣3＝0可得3x+4y＝3，
∴27x 81y
＝33x 34y
＝33x+4y
＝33
＝27．
16．【解答】解：（1）求9x 27y÷81z
＝（32）x （33）y÷（34）z
＝32x 33y÷34z
＝32x+3y﹣4z，
∵2x+3y﹣4z+1＝0，
∴2x+3y﹣4z＝﹣1，
∴原式＝3﹣1；
（2）（x2+ax+4）（x2﹣2x+b）
＝x4﹣2x3+bx2+ax3﹣2ax2+abx+4x2﹣8x+4b
＝x4﹣（2﹣a）x3+（b﹣2a+4）x2+（ab﹣8）x+4b，
根据题意可得，
﹣（2﹣a）＝0，b﹣2a+4＝0，
解得：a＝2，b＝0，
∴a﹣2b＝2﹣2×0＝2．
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