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专题4.3.1用乘法公式分解因式八大题型（一课一讲）
（内容:平方差公式、完全平方公式及其应用）
【浙教版】
题型一：判断是否能用公式法因式分解
【经典例题1】下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A中，，故选项不符合题意；
B中，，故选项不符合题意；
C中，，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意；
D中，，故选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-1】下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-2】下列各式不能运用公式法进行因式分解的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，能运用平方差公式分解，故选项A不符合题意；
B、，能运用平方差公式分解，故选项B不符合题意；
C. 能用完全平方公式分解，本选项C不符合题意；
D、不符合完全平方公式结构，故选项D符合题意；
故选D
【变式训练1-3】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式；
②；
③，不能用完全平方公式分解因式；
④；
⑤．，
所以能用完全平方公式分解因式的有3个．
故选：C
【变式训练1-4】下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
（1）（2）（3）（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：，故（1）符合题意；
不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意；
，故（3）符合题意；
，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意；
所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3），
故选：B
【变式训练1-5】下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：A．
题型二：用公式法进行因式分解
【经典例题2】将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式训练2-1】因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式训练2-2】把下列各式分解因式：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练2-3】分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练2-4】因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式训练2-5】因式分解
(1)；
(2)＋8＋16．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：816
．
题型三：利用公式法分解因式求代数式
【经典例题3】已知，则的值为（ ）
A．8 B．16 C．12 D．10
【答案】B
【详解】解：∵
∴
∴
故选：B．
【变式训练3-1】已知，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为： ．
【变式训练3-2】已知，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-3】已知：，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
∴的值为．
故答案为：．
【变式训练3-4】已知：，求的值 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【变式训练3-5】已知：，则 ．
【答案】
【详解】解：，
，
，
，，
解方程组，
得：，
．
故答案为： ．
【变式训练3-6】若实数，，满足，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】解：，，
，
整理得：，
，
，
，，
解得：，，
，
．
故选：A．
【变式训练3-7】已知，，，那么的值为 ．
【答案】7
【详解】解：∵，，
，
∴，
，
，
设，
则
，
．
的值为7．
故答案为：7．
题型四：利用完全平方求参数的值
【经典例题4】若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（）
A．1或5 B．7或 1 C．5 D．1
【答案】B
【详解】对于完全平方公式，在中，，则．
因为一次项系数，即．
当时，，
当时，，
所以的值为7或．
故选：B．
【变式训练4-1】若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解，
，
，
故答案为：．
【变式训练4-2】给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ．
【答案】或
【详解】，
这个单项式为；
，
这个单项式为．
故答案为：或．
【变式训练4-3】若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ．
【答案】或
【详解】解：∵多项式能用完全平方公式进行因式分解，
∴，
解得：或，
∴的值为或．
故答案为：或．
【变式训练4-4】已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为 ．
【答案】
【详解】解：多项式，
∵该多项式可以按完全平方公式进行因式分解，
∴或，
解得或．
故答案为：．
【变式训练4-5】如果能分解为，那么 ．
【答案】
【详解】解：
∵能分解为，
∴
∴
故答案为：
【变式训练4-6】若关于x的二次三项式可用完全平方公式分解因式，则m的值为 ．
【答案】7或
【详解】解：由题意得：
，
，
，
，
或，
故答案为：7或．
题型五：利用完全平方求最值
【经典例题5】多项式有最值是（ ）
A．小，4 B．大，15 C．大，25 D．小，16
【答案】D
【详解】解∶
，
∵，，
∴当且时， 多项式有最小值为16，
故选：D．
【变式训练5-1】设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为 ．
【答案】3
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
∵
∴
∴，
即，
即的最大值为3，
故答案为：3．
【变式训练5-2】当取 时，多项式取得最小值是 ．
【答案】 8
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴当，即时，的值最小，最小值为8，
故答案为：；8．
【变式训练5-3】如果多项式，则p的最小值是 ．
【答案】2022
【详解】解：
，
故答案为：2022．
【变式训练5-4】已知实数a，b满足，则代数式的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，即，
∴
时，的最大值为
故答案为：
【变式训练5-5】若多项式，则p的最小值是 ．
【答案】2014
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴p的最小值是2014，
故答案为：2014．
【变式训练5-6】若，则M的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：
；
∵，，
∴，
∴，
∴M的最小值为；
故答案为：
题型六：利用完全平方公式比较大小
【经典例题6】已知，，则的值为（ ）
A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数
【答案】D
【详解】∵
∴的值为负数．
故选：D．
【变式训练6-1】若，，则A，B的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵
，
∴，
故选：A．
【变式训练6-2】已知，，则与的大小关系是 ．
【答案】
【详解】解：
，，
，
故答案为： ．
【变式训练6-3】若，则 0（填，或）
【答案】
【详解】解：
，
∵，
∴；
故答案为：
【变式训练6-4】定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c．
【答案】
【详解】解：由题意得，当，时，
，
，
，
故答案为：．
题型七：判断因式分解步骤是否正确
【经典例题7】“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下：
甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ．
请在他们解法的启发下，解答下列各题：
(1)
(2)；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式
（2）原式
【变式训练7-1】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式…………（第一步）
……………………（第二步）
…………………………（第三步）
…………………（第四步）
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______；
(2)该同学因式分解的结果是否彻底______（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：____________
(3)请你模仿以上方法尝试对下列多项式进行因式分解．
①；
②．
【答案】(1)公式法
(2)不彻底；
(3)①；②
【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的公式法；
（2）解：该同学因式分解的结果不彻底，
因为，
所以分解的最后结果为；
（3）解：①设，
则
．
②设
则
．
【变式训练7-2】阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________；
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解．
【答案】(1)C
(2)
(3)
【详解】（1）解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解，
故选：C；
（2）解：由得，该因式分解的最后结果为，
故答案为：；
（3）解：设，
原式
．
【变式训练7-3】在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：将分解因式
小彬的解法： -----第1步 ------------------------------------第2步 ----------------------------第3步 小颖的解法： ------第1步 -------------------------第2步 --------------------------第3步
任务：
(1)老师批阅后发现两人中只有一人的解答结果正确，则解答正确的同学是______；
(2)老师认为两名同学的解答过程都有道理：
小彬同学的第步依据是运用了______公式；
小颖同学的第步依据是运用了______公式；
(3)请你按照做错同学的思路，写出正确的解答过程．
【答案】(1)小彬
(2)完全平方，平方差
(3)见解析
【详解】（1）解：小彬的解答是正确的．
故答案为：小彬；
（2）解：小彬同学的第1步依据是运用了完全平方公式；
小颖同学的第1步依据是运用了平方差公式；
故答案为：完全平方；平方差；
（3）解：
．
【变式训练7-4】（1）分解因式：ab3﹣a3b；
（2）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：将（2x+y）2﹣（x+2y）2分解因式
小彬： 原式＝（4x2+4xy+y2）﹣（x2+4xy+4y2）……第1步 ＝3x2﹣3y2……第2步 ＝3（x+y）（x﹣y）……第3步 小颖： 原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x+2y）……第1步 ＝（3x+3y）（x+3y）……第2步 ＝3（x+y）（x+3y）……第3步
任务：
①经过讨论，他们发现小彬的解答正确，他第1步依据的乘法公式用字母表示为_____，小颖的解答错误，从第_____步开始出错，错误的原因是_____．
②按照小颖的思路，写出正确的解答过程．
【答案】（1）；（2）①；1；第二个因式内，去括号后，最后一项没有变号；②见解析
【详解】解：（1）原式
；
（2）①小彬的解答正确，他第1步依据的乘法公式用字母表示为，小颖的解答错误，从第1步开始出错，错误的原因是去括号后，最后一项没有变号，
故答案为：；1；第二个因式内，去括号后，最后一项没有变号；
②原式
．
【变式训练7-5】阅读与思考：
材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是小影同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式第一步
第二步
第三步
第四步
（1）小影同学第二步到第三步运用了因式分解的______填写选项．
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的平方公式
D.两数差的平方公式
（2）小影同学因式分解的结果是否彻底？______填彻底或不彻底；若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果______．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1） ；（2）不彻底，；（3）．
【详解】解：（1）小影同学第二步到第三步运用了完全平方公式中两数和的平方公式，
故选：C；
（2）小影同学因式分解的结果不彻底，
原式
，
故答案为：不彻底，；
（3）设，
原式，
，
，
，
．
【变式训练7-6】下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）不彻底，（x﹣1）4；（3）（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16＝（x﹣2）4
【详解】（1）运用了两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）原式=，
故答案为：不彻底，；
（3）设，
原式
，
即．
题型八：利用配方法求最值
【经典例题8】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
例如：求代数式的最小值．
原式．
当时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：_______；
(2)若，当_______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
(3)当分别为△ABC的三边时，且满足时，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1)(2)1，大，
(3)△ABC是直角三角形．理由见解析
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2），
，
，
当的时，有最大值，
故答案为：1，大，；
（3），
，
，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0.
，
得，，
是直角三角形．
【变式训练8-1】下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小林同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式
任务：
(1)小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________．
(2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解
(3)由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值．
【答案】(1)不彻底，(2)(3)
【详解】（1）解：不彻底，
设．
原式
；
故答案为：；
（2）解：设，
原式
；
（3）解：设，
原式
，
最小值为．
【变式训练8-2】请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：；，则当时，有最小值，最小值是－8．
任务：
(1)若多项式是一个完全平方式，则常数_____；
(2)用配方法分解因式：；
(3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
【答案】(1)4(2)
(3)当时，有最大值，最大值是5
【详解】（1）解：
，
是一个完全平方式，
，
，
故答案为：4；
（2）解：
（3）解：．
．
当时，有最大值，最大值是5．
【变式训练8-3】阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如．
．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，求△ABC的周长．
【答案】(1)
(2)的最小值为(3)12
【详解】（1）解：；
（2）
，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC的周长．
【变式训练8-4】我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
例如：求代数式的最小值．可知
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)若满足，求的值；
(3)已知,（为任意实数），比较的大小；
(4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】(1)(2)9(3)(4)，，16
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，，
∴
∴，即；
（4）解：
，
∴当且时，有最小值16，
此时得：，，
∴，时，多项式有最小值为16．
【变式训练8-5】阅读材料：将多项式因式分解．
原式
．
这种因式分解的方法叫做配方法，它在代数求值、解方程、求代数极值等方面都有广泛的运用．比如在上述解题过程中，
∵
∴
即的最小值是
请根据对上述阅读材料的理解解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________；
(2)用配方法因式分解：，并直接写出它的最小值；
【答案】(1)；
(2)，最小值为
【详解】（1）∵，
∴常数项为25，
故答案为：25；
（2）
，
∵，
∴的最小值为中小学教育资源及组卷应用平台
专题4.3.1用乘法公式分解因式八大题型（一课一讲）
（内容:平方差公式、完全平方公式及其应用）
【浙教版】
题型一：判断是否能用公式法因式分解
【经典例题1】下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】下列各式不能运用公式法进行因式分解的是( )
A． B． C． D．
【变式训练1-3】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-4】下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
（1）（2）（3）（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-5】下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：用公式法进行因式分解
【经典例题2】将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
【变式训练2-1】因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式训练2-2】把下列各式分解因式：
(1) ；
(2)
【变式训练2-3】分解因式：
(1)
(2)
【变式训练2-4】因式分解：
(1)；
(2)．
【变式训练2-5】因式分解
(1)；
(2)＋8＋16．
题型三：利用公式法分解因式求代数式
【经典例题3】已知，则的值为（ ）
A．8 B．16 C．12 D．10
【变式训练3-1】已知，则的值为 ．
【变式训练3-2】已知，则的值为 ．
【变式训练3-3】已知：，则的值为 ．
【变式训练3-4】已知：，求的值 ．
【变式训练3-5】已知：，则 ．
【变式训练3-6】若实数，，满足，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练3-7】已知，，，那么的值为 ．
题型四：利用完全平方求参数的值
【经典例题4】若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（）
A．1或5 B．7或 1 C．5 D．1
【变式训练4-1】若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
【变式训练4-2】给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ．
【变式训练4-3】若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ．
【变式训练4-4】已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为 ．
【变式训练4-5】如果能分解为，那么 ．
【变式训练4-6】若关于x的二次三项式可用完全平方公式分解因式，则m的值为 ．
题型五：利用完全平方求最值
【经典例题5】多项式有最值是（ ）
A．小，4 B．大，15 C．大，25 D．小，16
【变式训练5-1】设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为 ．
【变式训练5-2】当取 时，多项式取得最小值是 ．
【变式训练5-3】如果多项式，则p的最小值是 ．
【变式训练5-4】已知实数a，b满足，则代数式的最大值为 ．
【变式训练5-5】若多项式，则p的最小值是 ．
【变式训练5-6】若，则M的最小值为 ．
题型六：利用完全平方公式比较大小
【经典例题6】已知，，则的值为（ ）
A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数
【变式训练6-1】若，，则A，B的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】已知，，则与的大小关系是 ．
【变式训练6-3】若，则 0（填，或）
【变式训练6-4】定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c．
题型七：判断因式分解步骤是否正确
【经典例题7】“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下：
甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ．
请在他们解法的启发下，解答下列各题：
(1)
(2)；
【变式训练7-1】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式…………（第一步）
……………………（第二步）
…………………………（第三步）
…………………（第四步）
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______；
(2)该同学因式分解的结果是否彻底______（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：____________
(3)请你模仿以上方法尝试对下列多项式进行因式分解．
①；
②．
【变式训练7-2】阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________；
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解．
【变式训练7-3】在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：将分解因式
小彬的解法： -----第1步 ------------------------------------第2步 ----------------------------第3步 小颖的解法： ------第1步 -------------------------第2步 --------------------------第3步
任务：
(1)老师批阅后发现两人中只有一人的解答结果正确，则解答正确的同学是______；
(2)老师认为两名同学的解答过程都有道理：
小彬同学的第步依据是运用了______公式；
小颖同学的第步依据是运用了______公式；
(3)请你按照做错同学的思路，写出正确的解答过程．
【变式训练7-4】（1）分解因式：ab3﹣a3b；
（2）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：将（2x+y）2﹣（x+2y）2分解因式
小彬： 原式＝（4x2+4xy+y2）﹣（x2+4xy+4y2）……第1步 ＝3x2﹣3y2……第2步 ＝3（x+y）（x﹣y）……第3步 小颖： 原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x+2y）……第1步 ＝（3x+3y）（x+3y）……第2步 ＝3（x+y）（x+3y）……第3步
任务：
①经过讨论，他们发现小彬的解答正确，他第1步依据的乘法公式用字母表示为_____，小颖的解答错误，从第_____步开始出错，错误的原因是_____．
②按照小颖的思路，写出正确的解答过程．
【变式训练7-5】阅读与思考：
材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是小影同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式第一步
第二步
第三步
第四步
（1）小影同学第二步到第三步运用了因式分解的______填写选项．
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的平方公式
D.两数差的平方公式
（2）小影同学因式分解的结果是否彻底？______填彻底或不彻底；若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果______．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【变式训练7-6】下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
题型八：利用配方法求最值
【经典例题8】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
例如：求代数式的最小值．
原式．
当时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：_______；
(2)若，当_______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
(3)当分别为△ABC的三边时，且满足时，判断△ABC的形状并说明理由．
【变式训练8-1】下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小林同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式
任务：
(1)小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________．
(2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解
(3)由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值．
【变式训练8-2】请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：；，则当时，有最小值，最小值是－8．
任务：
(1)若多项式是一个完全平方式，则常数_____；
(2)用配方法分解因式：；
(3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
【变式训练8-3】阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如．
．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，求△ABC的周长．
【变式训练8-4】我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
例如：求代数式的最小值．可知
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)若满足，求的值；
(3)已知,（为任意实数），比较的大小；
(4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【变式训练8-5】阅读材料：将多项式因式分解．
原式
．
这种因式分解的方法叫做配方法，它在代数求值、解方程、求代数极值等方面都有广泛的运用．比如在上述解题过程中，
∵
∴
即的最小值是
请根据对上述阅读材料的理解解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________；
(2)用配方法因式分解：，并直接写出它的最小值；
