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2024-2025七年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题4.3.1用乘法公式分解因式八大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，无法分解因式，不符合题意，
B、，应用提公因式法分解因式，不符合题意，
C 、，应用提公因式法分解因式，不符合题意，
D、，应用平方差公式分解因式，符合题意，
故选：D．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【详解】解∶∵，
∴，
∵，
∴，
∴解得，
∴．即
∵
∴
解得
故选：C．
3．下列分解因式错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】A、对提取公因式5a，可得，故选项因式分解正确；
B、在实数范围内不能因式分解，故该选项因式分解错误；
C、对分组分解，，故选项因式分解正确；
D、先对中前三项用完全平方公式，，再用平方差公式可得，故选项因式分解正确．
故选：B．
4．已知满足，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，，
解得：，，
．
故选：A．
5．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为、，，面积为16，请计算的值为（ ）
A．72 B．24 C． D．160
【答案】A
【详解】解：∵长方形的面积为16，
∴，
∴．
故选：A．
6．三个超市出售同一种商品，其标价相同，年底各超市分别对该商品进行降价销售：
甲超市第一次降价，第二次降价；
乙超市第一、二次降价均为；
丙超市一次性降价．
其中a，b为不相等的正数，则降价后该商品卖的最贵的超市为（ ）
A．甲超市 B．乙超市 C．丙超市 D．一样多
【答案】B
【详解】解：设商品原价为1，
甲超市的价格为，
乙超市的价格为，
丙超市的价格为，
设，，
∴，
，
，
∵，则，
∴，
∵
，
∴到乙超市购买最贵．
故选：B．
7．若为整数，则代数式的值一定可以（ ）
A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除
【答案】C
【详解】解：因为
，
所以该代数式的值一定可以被3整除．
故选：C．
8．若可以被到之间的某两个整数整除，则这两个整数是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【详解】解：
故选：A．
9．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．113212 B．111232 C．123211 D．123011
【答案】D
【详解】解：，且，，
各个因式的值是，，，
组成的密码应包含11，12，32，
组成的密码共有6种：111232，113212，121132，123211，321112，321211，
不能组成的密码为123011．
故选：D．
10．在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法：
因式分解：；
若，，是△ABC的三边长，且满足，则△ABC为等腰三角形；
若，，为实数且满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
，
，故正确；
，
∵，，是△ABC的三边长，
∴，
∴，
∴，故正确；
∴，，，
∵，
∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误，
综上可知：，
故选：．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．因式分解： ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
12．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ．
【答案】或
【详解】解：∵多项式能用完全平方公式进行因式分解，
∴，
解得：或，
∴的值为或．
故答案为：或．
13．如图，用张类正方形卡片、张类正方形卡片，张类长方形卡片，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：拼成的大正方形的面积，
∴拼成的大正方形的边长是，
故答案为：．
14．已知a， b， c分别是△ABC的三边长，若，，则△ABC的周长是 ．
【答案】8
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵
∴，即△ABC的周长是，
故答案为：．
15．计算的值为 ．
【答案】
【详解】解：原式
．
故答案为：．
16．若满足，则代数式的值为 ．
【答案】
【详解】解：因为
所以
故答案为：.
17．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：中、爱、我、国、威、武，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ．
【答案】我爱中国（答案不唯一，“我，爱，中，国”顺序不同均正确）
【详解】解：
∵，，，，分别对应下列四个字：中、爱、我、国，
呈现的密码信息可能是“我爱中国”．
故答案为：我爱中国．
18．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足，那么称这个数为“轮差数”．例如：四位数7431，∵，∴7431是“轮差数”；四位数9642，∵，∴9642不是“轮差数”．若一个“轮差数”为，则这个数为 ；若一个“轮差数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被7整除，则满足条件的最大的“轮差数”与最小的“轮差数”之和是 ．
【答案】 8532 13487
【详解】解：为“轮差数”，
，且，为整数，
∴，
∴，
，
这个数为；
为 “轮差数”，
①
前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为：
，
∵前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被7整除，
能被7整除，
∵四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，
．
当时，不存在满足条件的，；
当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d；
当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d；
当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d；或，代入①可知，，此时四位数为；
当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d；
当时，或，代入①可知，不存在满足条件的c，d；
当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d或，代入①可知，，此时四位数为；
当时，不存在满足条件的，；
当时，，代入①可知，不存在满足条件的c，d；
当时，不存在满足条件的，．
∴满足条件的最大的“轮差数”与最小的“轮差数”之和是．
故答案为：；．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．在数学学习过程中，小丽发现：代数式无论取何值都大于等于0，再加上3，则代数式大于等于3．根据小丽的思考解决下列问题：
(1)说明：代数式的最小值为．
(2)请仿照小丽的思考求代数式的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)8
【详解】（1）解：
，
无论取何值，，
，
则代数式的最小值为；
（2）解：
，
，
，
则代数式的最大值为8．
21．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
问题：
(1)该同学没有完成因式分解，请你直接写出最后的结果__________；
(2)请你结合以上的思想方法对多项式进行因式分解；
(3)若，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：
设，
原式
．
（2）解：，
设，
原式
；
（3）解：，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．已知：整式，整式，整式，为正整数．
(1)化简整式C：__________；
(2)判断与的大小关系，并说明理由；
(3)整式满足：，求整式．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)或
【详解】（1）解：
故答案为：．
（2）
理由如下：，
，
，
为正整数，，
（3）
，
或．
23．阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题，
例如：，
∵，∴．
(1)这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______．
(2)求代数式的最小值，并写出相应的的值．
(3)若，试比较、的大小，并说明理由．
【答案】(1)2；
(2)当时，代数式的最小值为6
(3)，见解析
【详解】（1）解：
∵
∴
∴代数式的最小值是2，这时相应的的值是．
故答案为：2；．
（2）解：
∵
∴
∴当时，的最小值为6．
（3）解：．
理由：∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴．
24．阅读理解：
条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界．
例如：
，
，
（满足条件①）
当时，（满足条件②）
4是的下确界．
又例如：
，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)求的下确界．
(2)若代数式的下确界是1，求m的值．
(3)求代数式的下确界．
【答案】(1)(2)(3)6
【详解】（1）解：，
∵，
∴（满足条件①），
当时，（满足条件②），
∴是的下确界；
（2）解：∵代数式的下确界是1，
∴可设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即：；
（3）解：
，
∵，
∴（满足条件①），
当，即时，（满足条件②），
∴6是的下确界中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025七年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题4.3.1用乘法公式分解因式八大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．6
3．下列分解因式错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知满足，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为、，，面积为16，请计算的值为（ ）
A．72 B．24 C． D．160
6．三个超市出售同一种商品，其标价相同，年底各超市分别对该商品进行降价销售：
甲超市第一次降价，第二次降价；
乙超市第一、二次降价均为；
丙超市一次性降价．
其中a，b为不相等的正数，则降价后该商品卖的最贵的超市为（ ）
A．甲超市 B．乙超市 C．丙超市 D．一样多
7．若为整数，则代数式的值一定可以（ ）
A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除
8．若可以被到之间的某两个整数整除，则这两个整数是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．113212 B．111232 C．123211 D．123011
10．在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法：
因式分解：；
若，，是△ABC的三边长，且满足，则△ABC为等腰三角形；
若，，为实数且满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．因式分解： ．
12．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ．
13．如图，用张类正方形卡片、张类正方形卡片，张类长方形卡片，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为 ．
14．已知a， b， c分别是△ABC的三边长，若，，则△ABC的周长是 ．
15．计算的值为 ．
16．若满足，则代数式的值为 ．
17．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：中、爱、我、国、威、武，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ．
18．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足，那么称这个数为“轮差数”．例如：四位数7431，∵，∴7431是“轮差数”；四位数9642，∵，∴9642不是“轮差数”．若一个“轮差数”为，则这个数为 ；若一个“轮差数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被7整除，则满足条件的最大的“轮差数”与最小的“轮差数”之和是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
20．在数学学习过程中，小丽发现：代数式无论取何值都大于等于0，再加上3，则代数式大于等于3．根据小丽的思考解决下列问题：
(1)说明：代数式的最小值为．
(2)请仿照小丽的思考求代数式的最大值．
21．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
问题：
(1)该同学没有完成因式分解，请你直接写出最后的结果__________；
(2)请你结合以上的思想方法对多项式进行因式分解；
(3)若，求的值．
22．已知：整式，整式，整式，为正整数．
(1)化简整式C：__________；
(2)判断与的大小关系，并说明理由；
(3)整式满足：，求整式．
23．阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题，
例如：，
∵，∴．
(1)这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______．
(2)求代数式的最小值，并写出相应的的值．
(3)若，试比较、的大小，并说明理由．
24．阅读理解：
条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界．
例如：
，
，
（满足条件①）
当时，（满足条件②）
4是的下确界．
又例如：
，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)求的下确界．
(2)若代数式的下确界是1，求m的值．
(3)求代数式的下确界．
