中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024-2025学年七年级下数学第4章因式分解 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C．） D．
2．下列多项式中，能用公式法分解因式的是 （ ）
A． B． C． D．
3．下列因式分解中，正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．多项式 与多项式 的公因式为（ ）
A．x-1 B．x+1 C． D．(x-1)
5．已知甲．乙．丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2-4，乙与丙相乘的积为x2-2x，则甲与丙相乘的积为（ ）
A．2x+2 B．x2+2x C．2x-2 D．x2-2x
6．课堂上老师在黑板上布置了下框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？
用公式法分解下列各式：
（1） ．（2）．（3） ．（4）．
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
7．若a-b=6，ab=7，则ab2-a2b的值为（ ）
A．42 B．-42 C．13 D．-13
8．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（ ）
A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027
C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017
9．已知，则的值为 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
10．已知a，b都是整数，且满足a2+b2+1＜2a﹣2b，则a+b=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．分解因式：a2﹣25=
12．已知关于的多项式是一个完全平方式，则 ．
13．一个长方形的面积为 (其中 ， 若其中一边长为 ， 则与其相邻的另一边长为
14．将16y2+1再加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的整式为 .
15．若 ，则 的值是
16． 若非零实数 满足 2024 ，则 的值等于
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．将下列每个多项式与因式分解适用的方法连线．
18．分解因式．
（1）； （2）； （3）．
19．利用因式分解计算：
（1） （2）
20． 两位同学将一个关于 的二次三项式 分解因式时，一名同学因看错了一次项系数而分解成 ， 另一名同学因看错了常数项而分解成 ．．
（1）求原来的二次三项式．
（2）将原来的二次三项式分解因式．
21．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.
（1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
22．问题： 把 分解因式．
分析 ： 这个二项式既无公因式可提， 也不能直接利用公式， 怎么办呢？
19 世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项， 而且属于平方和 的形式， 要使用完全平方公式就必须添一项 ， 于是将此项 减去， 即可得 ．
人们为了纪念苏菲热门给出这一解法， 把它叫做 “热门定理”． 请你依照苏菲热门的解法， 将下列各式分解因式：
（1） ．
（2） ．
23．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，
（1）因式分解：①；②；
（2）若，都是正整数且满足，求的值．
24． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
（1）【解决问题】
已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式 ；
（2）若可配方成（、为常数），则 ；
（3）探究问题】
已知，则 ；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
（5）【拓展结论】
已知实数、满足，求的最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024-2025学年七年级下数学第4章因式分解 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C．） D．
【答案】C
【解析】选项A中，y2-2y+4=（y-1）2+3，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，∴该选项不符合题意；
选项B中，a（x+y）=ax+ay，是整式乘法，不属于因式分解，∴该选项不符合题意；
选项C中，10x2-5x=5x（2x-1），把一个多项式化成了几个整式的积的形式，属于因式分解，∴该选项符合题意；
选项D中，t2-16+3t=（t+4）（t-4）+3t，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，∴该选项不符合题意.
故答案为：C.
2．下列多项式中，能用公式法分解因式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】x2-y2=（x+y）（x-y）.
故答案为：D.
3．下列因式分解中，正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、3p2-3q2=3(p+q)(p-q)，故此选项错误，不符合题意；
B、m4-1=(m+1)(m-1)(m2+1)，故此选项错误，不符合题意；
C、2p+2q+1不能进行因式分解，故此选项错误，不符合题意；
D、m2-4m+4=(m-2)2，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
4．多项式 与多项式 的公因式为（ ）
A．x-1 B．x+1 C． D．(x-1)
【答案】A
【解析】 ∵=(x+1)(x-1)， =(x-1)2，
∴ 多项式与多项式的公因式为x-1.
故答案为：A.
5．已知甲．乙．丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2-4，乙与丙相乘的积为x2-2x，则甲与丙相乘的积为（ ）
A．2x+2 B．x2+2x C．2x-2 D．x2-2x
【答案】B
【解析】∵x2-4=（x+2）（x-2），x2-2x=x（x-2），
∴由题意可知：乙为（x-2），
∴甲是（x+2），丙为x，
∴甲与丙的积为：x（x+2）=x2+2x.
故答案为：B.
6．课堂上老师在黑板上布置了下框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？
用公式法分解下列各式：
． ． ． ．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（1）a2-b2=(a+b)(a-b)，故此道题目是正确的；
（2）-x2-y2，该二项式两项符号相同，不能使用平方差公式分解，故此道题目是错误的；
（3）-x2-y2-2xy=-(x2+2xy+y2)=-(x+y)2，故此道题目是正确的；
（4）16m2-40mn+25n2=(4m)2-2×4m×5n+(5n)2=(4m-5n)2，故此道题目是正确的.
故答案为：B.
7．若a-b=6，ab=7，则ab2-a2b的值为（ ）
A．42 B．-42 C．13 D．-13
【答案】B
【解析】将提公因式得：ab（b-a），
∵a-b=6，ab=7，
∴b-a=-6，
因此，ab（b-a）=7×（-6）=-42，
∴=-42，
故答案为：B.
8．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（ ）
A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027
C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017
【答案】D
【解析】解：根据题意得：第⑧个式子为5555555552﹣4444444452=（555555555+444444445）×（555555555﹣444444445）=1.1111111×1017．
故选D．
9．已知，则的值为 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】∵m2=3n+a，n2=3m+a，
∴m2-n2=3n+a-3m-a=3n-3m，即(m+n)(m-n)=3(n-m)，
又∵m≠n，
∴m-n≠0，
∴m+n=-3，
∴m2+2mn+n2=(m+n)2=(-3)2=9.
故答案为：A.
10．已知a，b都是整数，且满足a2+b2+1＜2a﹣2b，则a+b=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】∵a2+b2+1＜2a﹣2b，
∴（a﹣1）2+（b+1）2＜1，
∵a，b都是整数，
∴（a﹣1）2+（b+1）2=0，
则a=1，b=﹣1，
∴a+b=0．
故选：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．分解因式：a2﹣25=
【答案】 （a﹣5）（a+5）
【解析】解：a2﹣25=（a﹣5）（a+5）．
故答案为：（a﹣5）（a+5）．
12．已知关于的多项式是一个完全平方式，则 ．
【答案】9
【解析】∵ 关于的多项式是一个完全平方式，
∴，
∴n=9
故答案为：9.
13．一个长方形的面积为 (其中 ， 若其中一边长为 ， 则与其相邻的另一边长为
【答案】
【解析】，∵ 长方形的面积为 (其中 ， 若其中一边长为 ， ∴与其相邻的另一边长为.
故答案为：．
14．将16y2+1再加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的整式为 .
【答案】8y，-8y，64y4
【解析】∵16y2+1=（4y）2+1，
∴（4y）2+8y+1=（4y+1）2，
∴（4y）2-8y+1=（4y-1）2，
∴（8y2）2+16y2+1=64y4+16y2+1=（8y2+1）2.
故答案为：8y，-8y，64y4.
15．若 ，则 的值是
【答案】2
【解析】∵，
∴c2-（a+b）2=（c-a-b）（c+a+b）=10，
∵a+b+c=-5，
∴-5（c-a-b）=10，
解得：a+b-c=2，
故答案为：2.
16． 若非零实数 满足 2024 ，则 的值等于
【答案】-1012
【解析】∵，
，，
，，
，
，
∴．
故填：．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．将下列每个多项式与因式分解适用的方法连线．
【答案】解：①2a2-2a=2a（a-1），根据提公因式法因式分解；
②b2+6b+9=（b+3）2，根据完全平方公式因式分解；
③4-c2=（2-c）（2+c），根据平方差公式因式分解；
④4x2-12x+9=（2x-3）2，根据完全平方公式因式分解；
⑤2（a-b）2-a+b=（a-b）（2a-2b-1），根据提公因式法因式分解；
∴.
18．分解因式．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
19．利用因式分解计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：=1002-0.22=10000-0.04=9999.96.
（2）解：342+34×32+162=342+2×34×16+162=(34+16)2=2500.
20． 两位同学将一个关于 的二次三项式 分解因式时，一名同学因看错了一次项系数而分解成 ， 另一名同学因看错了常数项而分解成 ．．
（1）求原来的二次三项式．
（2）将原来的二次三项式分解因式．
【答案】（1）解：==
∵看错了一次项
∴a=2，c=18
=
=
∵看错 了常数项∴a=2，b=-12
∴原来的二次多项式为：
故答案为： .
（2）解由（1）知：
原来的二次三项式为：
将原多项式因式分解为：==
故答案为：.
21．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.
（1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
【答案】（1）∵36＝102﹣82，2020＝5062﹣5042，
∴36和2020是“和谐数”；
（2）这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.理由如下：
∵ ；
∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.
22．问题： 把 分解因式．
分析 ： 这个二项式既无公因式可提， 也不能直接利用公式， 怎么办呢？
19 世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项， 而且属于平方和 的形式， 要使用完全平方公式就必须添一项 ， 于是将此项 减去， 即可得 ．
人们为了纪念苏菲热门给出这一解法， 把它叫做 “热门定理”． 请你依照苏菲热门的解法， 将下列各式分解因式：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：原式=
=
=.
（2）解：原式=
=
=
=.
23．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，
（1）因式分解：①；②；
（2）若，都是正整数且满足，求的值．
【答案】（1）解：①原式=(x+y)(x-y)+ (x+y)
=(x+y)(x-y+1)；
②原式=a(b-1)- (b-1)
=(a-1)(b-1)；
（2）解：由（1）②可知，(a-1)(b-1)=7，
∵a，b都是正整数，
∴a-1，b-1都是整数，
∴或，
解得或，
当a=2，b=8时，2a+b=2×2+8=12；
当a=8，b=2时，2a+b=2×8+2=18；
∴2a+b的值为12或18．
24． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
（1）【解决问题】
已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式 ；
（2）若可配方成（、为常数），则 ；
（3）探究问题】
已知，则 ；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
（5）【拓展结论】
已知实数、满足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）-12
（3）-1
（4）解：当时，为“完美数”，理由如下：
，
当时，，则，为完美数时；
（5）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时， 有最大值，最小值为1.
【解析】（1），
故答案为：；
（2）；
∴，，
∴，
故答案为：-12；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：-1；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
