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浙教版2024-2025学年七年级下数学第2章二元一次方程组 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列以 为解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
2． 已知 ， 用含 的代数式表示 ：（ ）
A． B． C． D．
3．已知 是方程组 的一个解， 则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列用代入法解方程组的过程中，开始出现错误的一步是（ ）
Ⅰ.由①，得
Ⅱ.把③代入②，得
Ⅲ.去分母，得24-9y-10y=5.
Ⅳ.解得y=1，再代入③，得x=2.5.
A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
6．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员， 花了 400 元钱购买甲、乙两种奖品共 30 件， 其中甲种奖品每件 16 元， 乙种奖品每件 12 元， 甲、乙两种奖品各买了多少件？ 该问题中， 若设购买了甲种奖品 件，乙种奖品 件， 据此所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在解关于x，y的方程组 时，小明由于将方程①的“ ”，看成了“+”，因而得到的解为 ，则原方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．关于x，y的二元一次方程组的解为则关于m，n的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
9．对于代数式ax+b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，-1，-3.若其中有一个是错误的，则错误的结果是（ ）
A．3 B．2 C．-1 D．-3
10．对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写出一个解为的二元一次方程组
12．如图，射线OC的端点O在直线AB上，已∠1比∠2的2倍多10°，设∠1=x°，∠2=y°，则列出关于x，y的方程组是： .
13．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，安排 名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．
14．《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．设合作买鸡的有x人，鸡价为y文钱，则可列方程组为 ．
15．已知关于x，y的二元一次方程3x－4y＋mx＋2m＋8＝0，若无论m取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，则这个固定的解为 ．
16．犇犇的爸爸骑着摩托车带着犇犇靠在公路上匀速行驶，犇犇每隔一段时间看到的里程碑上的数如表：
时刻 12 ：00 13：00 16：00
碑上的数 正好是一个两位数 十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了 比12：00时看到的两位数中间多了个0
则12：00时看到的两位数是
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 解下列方程组：
（1） （2）
18．课堂上老师出了一道题目：解方程组
（1）小组学习时，老师发现有同学这么做：
得，③，
得，，
∴
把代入①得 ∴这个方程组的解是
该同学解这个方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ，这种解题方法主要体现了 的数学思想．
（2）请用另一种方法（代入消元法）解这个方程组．
19．已知方程组 与 有相同的解，求m，n的值．
20．已知的平方根是，的立方根是2．
（1）求m、n的值；
（2）求的算术平方根．
21．已知关于x，y的方程组，小明在解方程组时看错a，解得，小红在解方程组时看错b，解得．
（1）求a，b的值．
（2）求原方程组正确的解．
22．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
23．某场篮球赛，门票共两种，价格分别为：成人票30元/张，儿童票10元/张．门票总收入为：6900元．
（1）若售出门票总数290张，求售出的成人票张数．
（2）设售出门票总数a张，其中儿童票b张．
①求a，b满足的数量关系．
②若售出的门票中成人票比儿童票的7倍还多10张，求b的值．
24．把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；
（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；
（3）是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
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浙教版2024-2025学年七年级下数学第2章二元一次方程组 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列以 为解的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、将解代入方程组中的2x+3y，得2x+3y=1，不等于7，即本选项不符合题意；
BD、将解代入方程组中的3x+y，得3x+y=5，不等于-5，即B与D均不符合题意；
C、将解代入方程组中发现两个方程都能满足，即本选项符合题意.
故选：C.
2． 已知 ， 用含 的代数式表示 ：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，
∴.
∴.
故答案为：B.
3．已知 是方程组 的一个解， 则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵是方程组的一个解，
∴ａ＝4，ｂ＝0，
∴ａ＋ｂ＝4．
故答案为：Ｄ.
4．用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若消去，
则得：；
若消去，
则得：；
故选：A．
5．下列用代入法解方程组的过程中，开始出现错误的一步是（ ）
Ⅰ.由①，得
Ⅱ.把③代入②，得
Ⅲ.去分母，得24-9y-10y=5.
Ⅳ.解得y=1，再代入③，得x=2.5.
A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【答案】C
【解析】∵
由①，得x=，③
把③代入②，得3×-5y=5，
去分母，得24-9y-10y=10，
解得：y=，
再把y=代入③，得x=
故答案为：C.
6．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员， 花了 400 元钱购买甲、乙两种奖品共 30 件， 其中甲种奖品每件 16 元， 乙种奖品每件 12 元， 甲、乙两种奖品各买了多少件？ 该问题中， 若设购买了甲种奖品 件，乙种奖品 件， 据此所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件.
根据题意，一共购买了30件奖品，所以有方程：
x + y = 30
又因为甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，一共花费了400元，所以有方程：
16x + 12y = 400
综上，我们得到了方程组：
.
故选：B.
7．在解关于x，y的方程组 时，小明由于将方程①的“ ”，看成了“+”，因而得到的解为 ，则原方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将代入方程②得：4=b+2，
∴b=2，
∵小明将方程①的“-”看成了“+”，解得的解为，
∴2a+4=8，
∴a=2，
∴原方程组为，
将②代入①得：2y+2-4y=8，
解得y=-3，
∴2x=2×（-3）+2，
∴x=-2，
∴原方程组的解为.
故答案为：C.
8．关于x，y的二元一次方程组的解为则关于m，n的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵关于x，y的二元一次方程组的解为
∴
∴，
∴关于m，n的二元一次方程组的解为，
故答案为：C.
9．对于代数式ax+b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，-1，-3.若其中有一个是错误的，则错误的结果是（ ）
A．3 B．2 C．-1 D．-3
【答案】B
【解析】设y=ax+b，把x=3，y=3；x=2，y=2；x=1，y=-1；x=0，y=-3分别代入y=ax+b，得3a+b=3；2a+b=2；a+b=-1；0+b=-3.分别组方程组得：
；
解得：
；
解得：
解得：
∵四个结果中只有一个是错误的，
∴错误的结果是2
故答案为：B.
10．对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【解析】∵，，，
∴，解得：，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
整理得：，
∴其正整数解为：，，，，故②符合题意；
∵，
∴，
∴，
上式对任意实数x，y均成立，
∴，
∴，故③符合题意；
故选：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写出一个解为的二元一次方程组
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵x=-1，y=2，
∴x+y=1，x-y=-3，
故答案为：（答案不唯一） .
12．如图，射线OC的端点O在直线AB上，已∠1比∠2的2倍多10°，设∠1=x°，∠2=y°，则列出关于x，y的方程组是： .
【答案】
【解析】设∠1=x°，∠2=y°，
∴
故答案为：.
13．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，安排 名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．
【答案】25
【解析】设安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，
∴
解得：
故答案为：25.
14．《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．设合作买鸡的有x人，鸡价为y文钱，则可列方程组为 ．
【答案】
【解析】由合伙买鸡的有x人，鸡价为y文钱，
根据题意得：，
故答案为：，
15．已知关于x，y的二元一次方程3x－4y＋mx＋2m＋8＝0，若无论m取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，则这个固定的解为 ．
【答案】
【解析】将原方程转化为3x-4y+8+（x+2）m=0，
∵无论m取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，
∴
解之：.
故答案为：
16．犇犇的爸爸骑着摩托车带着犇犇靠在公路上匀速行驶，犇犇每隔一段时间看到的里程碑上的数如表：
时刻 12 ：00 13：00 16：00
碑上的数 正好是一个两位数 十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了 比12：00时看到的两位数中间多了个0
则12：00时看到的两位数是
【答案】27
【解析】设犇犇12:00看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，
∴这个两位数为10x+y；
∴13:00看到的两位数字为10y+x；
∴12:00到13:00行驶的里程数为10y+x-（10x+y）=9y-9x；
16：00看到的数为100x+y
∴13:00到16：00行驶的里程数为100x+y-（10y+x）=99x-9y
∴
解之：；
∵x，y都是小于的正整数，10x+y是一个两位数，
∴y=7，x=2
∴10x+y=27.
故答案为：27.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
②-①， 得 y=7.
把 y=7代入①，得 x=5
所以这个方程组的解是
（2）解：
①×36， 得 24u+27v=18. ③
②×30， 得 24u+25v=14. ④
③-④， 得 2v=4，
解得 v=2
把 v=2代入①，得
所以这个方程组的解是
18．课堂上老师出了一道题目：解方程组
（1）小组学习时，老师发现有同学这么做：
得，③，
得，，
∴
把代入①得 ∴这个方程组的解是
该同学解这个方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ，这种解题方法主要体现了 的数学思想．
（2）请用另一种方法（代入消元法）解这个方程组．
【答案】（1）加减；一元一次方程；转化
（2）解：，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
所以方程组的解是．
【解析】（1）由题意得，该同学解这个方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程组转化为一元一次方程，这种解题方法主要体现了转化的数学思想，
故答案为：加减，一元一次方程，转化
19．已知方程组 与 有相同的解，求m，n的值．
【答案】解：∵方程组 与 有相同的解，
∴ 与原两方程组同解．
由5y﹣x=3可得：x=5y﹣3，
将x=5y﹣3代入3x﹣2y=4，则y=1．
再将y=1代入x=5y﹣3，则x=2．
将 代入 得：
，
将（1）×2﹣（2）得：n=﹣1，
将n=﹣1代入（1）得：m=4
20．已知的平方根是，的立方根是2．
（1）求m、n的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）解：∵的平方根是，
∴①，
∵的立方根是2，
∴，②，
①②得，
∴；
（2）解：由（1）可知：
，25的算术平方根为5，
∴的算术平方根为5．
21．已知关于x，y的方程组，小明在解方程组时看错a，解得，小红在解方程组时看错b，解得．
（1）求a，b的值．
（2）求原方程组正确的解．
【答案】（1）解：将代入中，得，
∴，
将代入中，得，
∴；
（2）解：由（1）得，原方程组是，
①②得，
解得：，
将代入②得，
解得，
即．
22．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
【答案】（1）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（2）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
．
、为正整数，
为的倍数，
又，
满足条件的为：，，，．
答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，．
23．某场篮球赛，门票共两种，价格分别为：成人票30元/张，儿童票10元/张．门票总收入为：6900元．
（1）若售出门票总数290张，求售出的成人票张数．
（2）设售出门票总数a张，其中儿童票b张．
①求a，b满足的数量关系．
②若售出的门票中成人票比儿童票的7倍还多10张，求b的值．
【答案】（1）解：设售出成人票x张，则售出儿童票y张，
由题意得：，
整理，解得：.
答：售出成人票200张.
（2）解：①∵售出门票总数a张，儿童票b张，
∴售出成人票为（a-b）张，
∴30（a-b）+10b=6900，
∴3a-2b=690；
②∵售出的门票中成人票比儿童票的7倍还多10张，
∴a-b=7b+10，即a-8b=10（Ⅰ），
又∵3a-2b=690（Ⅱ），
由①②联立方程组，解得：b=30.
答：售出的门票中成人票比儿童票的7倍还多10张时，b的值为30.
24．把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；
（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；
（3）是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：是“雅系二元一次方程”，
，
解得，
“雅系二元一次方程”的“完美值”为；
（2）解：是“雅系二元一次方程”的“完美值”，
，解得；
（3）解：存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同，“完美值”为.
理由：∵ 是 “雅系二元一次方程”，
∴，解得，
∵是 “雅系二元一次方程”，
∴，解得，
∵“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同，
，解得，
，
“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”为．
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