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浙教版2024-2025学年七年级下数学第1章相交线与平行线 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图所示，下列结论中不正确的是
A． 和 是同位角 B． 和 是同旁内角
C． 和 是同位角 D． 和 是内错角
【答案】A
【解析】A、∠1和∠2是同旁内角，符合题意；
B、∠2和∠3是同旁内角，不符合题意；
C、∠1和∠4是同位角，不符合题意；
D、∠2和∠4是内错角，不符合题意；
故答案为：A．
2．英文字母中，存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），下列字母中含同旁内角最多的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A．字母A中含有4对同旁内角；
B．字母F中含有1对同旁内角；
C．字母M中含有0对同旁内角；
D．字母Z中含有0对同旁内角；
∴字母A的同旁内角个数最多，
故答案为：A
3．如图所示，下列条件中能说明的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A．当时，不能判定，故选项不符合题意；
B．当时，与属于同位角，能判定，故选项符合题意；
C．当时，与属于同旁内角，能判定，故选项不符合题意；
D．当时，不能判定，故选项不符合题意；
故答案为：B．
4．下列图形中，由能得到的图形有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】如图，
图1， 由不能得到，故不符合题意；
图2：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，故符合题意；
图3： 由不能得到，故不符合题意；
图4：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，故符合题意；
故答案为：C.
5．如图，平移到的位置，则下列说法错误的是( )
A． B．
C． D．平移距离为线段的长
【答案】D
【解析】由平移的性质知：≌，AD∥BE，BE=AD=CF，且平移的距离为BE的长，
∴ ，AB=DE，
故A、B、C均不符合题意，D不符合题意.
故答案为：D.
6．如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
【答案】A
【解析】∵ 长方形对边平行，
∴将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行.
故答案为：A.
7．如图，已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
∵，，
∴∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠5=，
∴∠4=180°-∠5=．
故答案为：D．
8．一次数学实践活动中，小鹏将一条对边互相平行的纸带沿折叠如图，若，，则为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵∠1=65°，AB∥CD，
∴，
∵折叠，
∴
∴，
故答案为：C．
9．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，
，，
，
，
故答案为：C．
10． 如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝55°，则∠EFG的度数是（ ）
A．130° B．140° C．145° D．155°
【答案】C
【解析】过点H作，过点F作，如图所示：
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，， ，
∴， ，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，与∠1构成同位角的角有 个。
【答案】3
【解析】如图，
∠1构成同位角的角有∠2，∠3，∠4，共3个，
故答案为：3.
12．如图，四边形ABCD，要能判定AB∥CD，你添加的条件是 ．
【答案】 （或 ）
【解析】条件为：∠A+∠D=180 或∠B+∠C=180 ，
∵∠A+∠D=180 （已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
或
∵∠B+∠C=180 （已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：∠A+∠D=180 或∠B+∠C=180 ，
13．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形．已知，则长为 ．
【答案】
【解析】由平移得AD=BE=4，
∴DB=13-4-4=5，
故答案为：5
14．如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝ °.
【答案】130
【解析】由折叠的定义得∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，
∵EB′∥BC，
∴∠B′=∠B′DC=80°，
∴∠BD B′=180°-∠B′DC=100°，
∴∠BDE=∠B′DE=50°，
∴∠CDE＝180°-∠BDE=130°.
故答案为：130.
15．如图所示，点，分别在，上，度，度，度，，则写出，，的数量关系 .
【答案】
【解析】如图所示，过B作，则根据，可得，
∵，
∴度，
∵，
∴度，
∴，
即，
故答案为：.
16．如图，∠ABC=100°，，动点P在射线BA上从点B开始沿BA方向运动，连接MP，当∠PMN=120°时，∠BPM的度数为 ．
【答案】140°或20°
【解析】如图1所示，当点P在MN下方时，过点P作，
∵，，
∴，
∴∠MPQ=180°-∠PMN=60°，∠BPQ=180°-∠ABC=80°，
∴∠BPM=∠MPQ+∠BPQ=140°，
如图2所示，当点P在MN上方时，过点P作，
∵，，
∴，
∴∠MPQ=180°-∠PMN=60°，∠BPQ=180°-∠ABC=80°，
∴∠BPM=∠BPQ-∠MPQ=20°.
故答案为：140°或20°.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在的正方形方格纸中有一格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)，是方格纸中一格点．
（1）将三角形平移后得到三角形，使点的对应点为，在图中画出平移后的图形．
（2）三角形是由三角形先向 平移 个单位，再向上平移 个单位得到。
【答案】（1）解：如图：
△DEF即为所求.
（2）右；3；2
【解析】（2）三角形DEF是由三角形ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到；
故答案为：右，3，2.
18．完成下面的证明过程，填写理由或数学式．
已知：如图，，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴（________________），
∴（________________），
又∵（已知），
∴________（等量代换），
∴________（________________），
∴（________________）．
【答案】证明：∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴ （等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）．
19． 如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD．
（1）若∠ABD=112°，求∠1的度数；
（2）若∠2= x°，求∠ABC的度数（请用含x的代数式表示）．
【答案】（1）解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD=×112°=56°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠ABC=56°
（2）解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠DBC，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠ABC=∠DBC，
∵∠2=∠CDB=180°-∠1-∠DBC=180°-2∠1=x°，
∴
20．已知：如图EF∥CD，∠1＋∠2=180°．
（1）求证：GD∥CA；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A=40°，求∠CGD的度数．
【答案】（1）证明：∵EF∥CD，
∴∠1+∠ECD=180°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=∠ECD，
∴GD∥CA；
（2）解：由（1）得：GD∥CA，
∴∠BDG=∠A=40°，∠ACD=∠2，
∵DG平分∠CDB，
∴∠2=∠BDG=40°，
∴∠ACD=∠2=40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=80°，
∵GD∥CA，
∴∠ACB+∠CGD=180°，
∴∠CGD=180°-∠ACB=180°-80°=100°．
21．如图，D，E，F，G分别是三角形边上的点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
又，
，
，
，
．
22．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．
（1）如图1，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了 对同旁内角．
（2）如图2，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有 对同旁内角．
（3）在同一平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
（4）在同-平面内n条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
【答案】（1）2
（2）6
（3）24
（4）n(n-1)(n-2)
【解析】（1） 直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了2对同旁内角；
故答案为：2；
（2） 平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有6对同旁内角；
故答案为：6；
（3） 如图，
在同一平面内四条直线两两相交，交点最多有6个，由图形可知任意不同的两条直线都可被另外的两条直线所截，
∴任意不相同的两条直线可以形成4对同旁内角，4条直线共有6种两条直线被另外两条直线所截的情况，
∴最多有24对同旁内角；
故答案为：24；
（4） ∵平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，形成的同位角有6对，6=3×2×1；
在同一平面内四条直线两两相交，形成的同位角有24对，24=4×3×2；
……
∴在同-平面内n条直线两两相交，最多可以形成n(n-1)(n-2)对同旁内角.
故答案为：n(n-1)(n-2).
23．如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，为平面镜，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究：
（1）探究反射规律
①如图3，，则 ▲ (用含的代数式表示)．
②若光线，判断与的位置关系，并说明理由．
（2）模拟应用研究
在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点(如图4)，因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数．
【答案】（1）解：①75°-α
②EF⊥FG，理由如下：
∵∠ABE+∠ABC+∠CBF=180°，∠ABE=∠CBF，
∴∠ABC=180°-2∠CBF，
同理，∠DCB=180°-2∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
即180°-2∠CBF+180°-2∠BCF=180°，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠BFC=180°-90°=90°，
∴EF⊥FG.
（2）解： 延长BC交DH于点M，如图：
∵∠MDC+∠M+∠MCD=180°，
∴∠M+∠MCD=180°-∠MDC=165°，
∵MD∥AB，
∴∠M+∠MBA=180°，
∵∠MCD+∠DCB=180°，
∴∠DCB+∠CBA=180°-∠MCD+180°-∠M=360°-165°=195°，
∴，
∴∠BFC=180°-∠FCB-∠CBF=97.5°．
【解析】（1）①∵ㄥABE=∠CBF=α，∠BFC=105°，
∴∠DCG=∠BCF=180°-105°-α=75°-α，
故答案为：75°-α；
24． 如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连结EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝40°，∠D＝30°，则∠AED＝ °；
②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并说明理由．
（2）拓展应用：
如图②，射线FE与AB，CD交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界），其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，并直接写出答案）．
【答案】（1）①70
② ∠AED＝∠A+∠D，
理由：过E作EF∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A＝∠AEF，∠D＝∠DEF，
∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠A+∠D
（2）∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系为：∠PEB＝∠PFD+∠EPF或∠PFD＝∠PEB+∠EPF或∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°或∠EPF＝∠PEB+∠PFD.
【解析】（1）①延长DE交AB于F，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠D=30°，
∴∠AEF=180°-∠A-∠AFE=180°-30°-40°=110°，
∴∠AED=180°-∠AEF=180°-110°=70°
故答案为：70.
（2）当P在a区域时，如图3，设AB于PF交于点G，
结论：∠PEB＝∠PFD+∠EPF；
理由：∵AB∥CD，
∴∠PGE=∠PFD，
∵∠PEB=180°-∠PEG，∠PGE+∠EPF=∠PFD+∠EPF=180°-∠PEG，
∴∠PEB=∠PFD+∠EPF；
当P点在b区域时，如图4，设AB于PF交于点G，
结论：∠PFD＝∠PEB+∠EPF；
∵∵AB∥CD，
∴∠PGB=∠PFD，
∵∠PGB=∠PFD=180°-∠PGE，∠PEB+∠EPF=180°-∠PGE，
∴∠PFD=∠PEB+∠EPF；
当P点在区域c时，如图5，过点P作PG∥AB，
结论：∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；
理由：∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG，
∴∠BPG+∠BEP=180°，∠GPF+∠PFD=180°，
∴∠BPG+∠BEP+∠GPF+∠PFD=360°即∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；
当P点在区域d时，如图6，过点P作PG∥AB，
结论：∠EPF＝∠PEB+∠PFD
理由：∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG，
∴∠PEB=∠EPG，∠PFD=∠GPF，
∵∠EPF=∠EPG+∠GPF，
∴∠EPF＝∠PEB+∠PFD；
∴∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系为：∠PEB＝∠PFD+∠EPF或∠PFD＝∠PEB+∠EPF或∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°或∠EPF＝∠PEB+∠PFD.
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浙教版2024-2025学年七年级下数学第1章相交线与平行线 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图所示，下列结论中不正确的是
A． 和 是同位角 B． 和 是同旁内角
C． 和 是同位角 D． 和 是内错角
（第1题） （第3题） （第5题） （第7题）
2．英文字母中，存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），下列字母中含同旁内角最多的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，下列条件中能说明的是( )
A． B．
C． D．
4．下列图形中，由能得到的图形有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图，平移到的位置，则下列说法错误的是( )
A． B．
C． D．平移距离为线段的长
6．如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
7．如图，已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．一次数学实践活动中，小鹏将一条对边互相平行的纸带沿折叠如图，若，，则为( )
A． B． C． D．
（第8题） （第9题）
9．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
10． 如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝55°，则∠EFG的度数是（ ）
A．130° B．140° C．145° D．155°
（第10题） （第11题） （第12题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，与∠1构成同位角的角有 个。
12．如图，四边形ABCD，要能判定AB∥CD，你添加的条件是 ．
13．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形．已知，则长为 ．
14．如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝ °.
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图所示，点，分别在，上，度，度，度，，则写出，，的数量关系 .
16．如图，∠ABC=100°，，动点P在射线BA上从点B开始沿BA方向运动，连接MP，当∠PMN=120°时，∠BPM的度数为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在的正方形方格纸中有一格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)，是方格纸中一格点．
（1）将三角形平移后得到三角形，使点的对应点为，在图中画出平移后的图形．
（2）三角形是由三角形先向 平移 个单位，再向上平移 个单位得到。
18．完成下面的证明过程，填写理由或数学式．
已知：如图，，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴（________________），
∴（________________），
又∵（已知），
∴________（等量代换），
∴________（________________），
∴（________________）．
19． 如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD．
（1）若∠ABD=112°，求∠1的度数；
（2）若∠2= x°，求∠ABC的度数（请用含x的代数式表示）．
20．已知：如图EF∥CD，∠1＋∠2=180°．
（1）求证：GD∥CA；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A=40°，求∠CGD的度数．
21．如图，D，E，F，G分别是三角形边上的点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．
（1）如图1，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了 对同旁内角．
（2）如图2，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有 对同旁内角．
（3）在同一平面内四条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
（4）在同-平面内n条直线两两相交，最多可以形成 对同旁内角．
23．如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，为平面镜，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究：
（1）探究反射规律
①如图3，，则 ▲ (用含的代数式表示)．
②若光线，判断与的位置关系，并说明理由．
（2）模拟应用研究
在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点(如图4)，因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数．
24． 如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连结EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝40°，∠D＝30°，则∠AED＝ °；
②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并说明理由．
（2）拓展应用：
如图②，射线FE与AB，CD交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界），其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，并直接写出答案）．
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