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2024-2025七年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题4.3.2十字相乘法和分组分解法八大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，原结果错误，故此选项不符合题意；
B、在有理数范围内不能因式分解，故此选项不符合题意；
C、，原结果错误，故此选项不符合题意；
D、，结果正确，故此选项符合题意：
故选：D．
2．已知，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】解：∵，
∴；
故选：D
3．下列各式不是多项式的因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
故不是多项式的因式，
故选：D．
4．若，，则M，N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得，
，
．
故选：B．
5．若多项式可因式分解为，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．14
【答案】B
【详解】解：
，
∵关于x的多项式可因式分解为，
∴，
故选：B．
6．对于任何整数m．多项式一定能（ ）
A．被8整除 B．被x整除
C．被9整除 D．被整除
【答案】A
【详解】解：
，
∴多项式一定能8整除，
故选：A．
7．若实数，满足，则的值为（ ）
A．5或 B．5 C．1或 D．1
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
8．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【详解】解：,
因为,
所以,
当时，,
因此的最小值是，
故选：B.
9．已知a，b，c是△ABC的三边长，且，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【详解】∵
∴，
，
，
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴，
∴，即，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：C．
10．若，则称x是以10为底N的对数．记作：．
例如：，则；，则．
对数运算满足：当，时，，例如：，．则的值为（ ）
A．4 B．3 C．1 D．0
【答案】C
【详解】解：
故选：C
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．多项式分解因式的结果为 ．
【答案】
【详解】解：原式
，
故答案为：．
12．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ．
【答案】或
【详解】解：∵多项式能用完全平方公式进行因式分解，
∴，
解得：或，
∴的值为或．
故答案为：或．
13．若多项式有一个因式为，那么 ．
【答案】2
【详解】解：设另一个因式为，
则，
即，
解得．
故答案为：2．
14．若实数a、b满足，，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴．
答案为：．
15．若，则的值为 ．
【答案】1
【详解】解：∵，
∴原式
．
故答案为：1．
16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ．
【答案】8100
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵m、n都是正整数，
∴是大于等于2的正整数，
∴是从8开始且能被4整除的正整数，
∴第2024个智慧优数是，
故答案为：．
17．若，则 ．
【答案】
【详解】解：
∵，
∴，
故答案为：．
18．我们规定：若一个六位正整数，其前三位数与后三位数之和为999，则称M为“团圆数”，记；若一个四位正整数，其前两位数与后两位数之和为99，则称为“欢喜数”，记．请按以上规定，写出 ；若是某个自然数的平方，且是10的整数倍，则满足条件的正整数M的最大值为 ．
【答案】 106 809190
【详解】解：
；
根据定义可知，，
∵一位数一位数，
∴上面两个加法每个数位都没有进位，
∴，
∴
∴，
∴
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∵是完全平方数，
∴是完全平方数，
∴是完全平方数的10倍，
∵后三位以及后两位存在，
∴，
∴m最大取8，
∴最大可以为，
此时，，
∴，
∴．
故答案为：106，809190．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．把下列多项式分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
（3）解：．
（4）解：．
20．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式）
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
(1)因式分解：；
(2)已知，求式子的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
（2）
当时，
原式
21．定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”．
(1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______；
(2)试说明“和谐数”一定能被11整除．
【答案】(1)110；990
(2)见解析
【详解】（1）解：设和谐数百位上的数是a，十位上的数为b，个位上的数为c，
由题意，得，
要想求最小的和谐数，就是a最小时，a最小是1，
b最小是，
此时c最小是0，
所以最小的“和谐数”时110；
最大的“和谐数”，就是a最大时，a最大是9，
十位上b最大是9，
此时，
所以最大的“和谐数”是990．
由题意可得：最小的“和谐数”是110，最大的“和谐数”是990；
故答案为：110；990；
（2）解：设这个“和谐数”（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），
由题意，得，
∴“和谐数”为，则有：
，
∵a，b是整数，
∴是整数，
∴任意“和谐数”一定能被11整除．
22．当时，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：
，
当，时，
原式；
（2）解：，
当，时，
原式
．
23．对于多项式可以直接用公式法分解因式为的形式，但对于多项式就不能直接用公式法了，此时我们可以在多项式中先加上，使其成为完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，于是有：．像上面这样分解因式的方法叫做添项法．
(1)利用上述方法分解因式：；
(2)求多项式的最小值，并求出此时的值．
【答案】(1)
(2)最小值是3
【详解】（1）
；
（2），
∵，
∴当时，多项式有最小值，
∴当时，多项式有最小值，最小值是3．
24．综合与实践：
【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____；
【探究实践】
（2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____；
（3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值；
【拓展应用】
（4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）14；
（4）5或7
【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是，
，
故答案为：；
（2）边长为的正方形的面积为：，
分9部分来看，正方形的面积为，
两部分面积相等，
，
故答案为：；
（3）由（2）知，
，，
．
的值为14；
（4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：，
从因式分解的角度看，可分解为或，
或，
的值为5或7．中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025七年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题4.3.2十字相乘法和分组分解法八大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下列各式不是多项式的因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则M，N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．若多项式可因式分解为，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．14
6．对于任何整数m．多项式一定能（ ）
A．被8整除 B．被x整除
C．被9整除 D．被整除
7．若实数，满足，则的值为（ ）
A．5或 B．5 C．1或 D．1
8．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
9．已知a，b，c是△ABC的三边长，且，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
10．若，则称x是以10为底N的对数．记作：．
例如：，则；，则．
对数运算满足：当，时，，例如：，．则的值为（ ）
A．4 B．3 C．1 D．0
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．多项式分解因式的结果为 ．
12．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ．
13．若多项式有一个因式为，那么 ．
14．若实数a、b满足，，则的值是 ．
15．若，则的值为 ．
16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ．
17．若，则 ．
18．我们规定：若一个六位正整数，其前三位数与后三位数之和为999，则称M为“团圆数”，记；若一个四位正整数，其前两位数与后两位数之和为99，则称为“欢喜数”，记．请按以上规定，写出 ；若是某个自然数的平方，且是10的整数倍，则满足条件的正整数M的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．把下列多项式分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式）
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
(1)因式分解：；
(2)已知，求式子的值．
21．定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”．
(1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______；
(2)试说明“和谐数”一定能被11整除．
22．当时，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
23．对于多项式可以直接用公式法分解因式为的形式，但对于多项式就不能直接用公式法了，此时我们可以在多项式中先加上，使其成为完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，于是有：．像上面这样分解因式的方法叫做添项法．
(1)利用上述方法分解因式：；
(2)求多项式的最小值，并求出此时的值．
24．综合与实践：
【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____；
【探究实践】
（2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____；
（3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值；
【拓展应用】
（4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值．
