4.3 用乘法公式分解因式(2)——完全平方公式
1．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是( )
A．a2＋4 B．a2＋b2
C．a2＋4ab＋b2 D．x2＋2x＋1
2．下面分解因式中正确的是( )
A．4a2－4a＋1＝4a(a－1)＋1
B．a2－4b2＝(a－2b)2
C．4a2－12a＋9＝(2a－3)2
D．2ab－a2－b2＝－(a＋b)2
3. 将下列多项式分解因式，结果中不含因式x－1的是( )
A．x2－1 B．x2＋2x＋1
C．x2－2x＋1 D．x(x－2)－(x－2)
4．小萌在利用完全平方公式计算一个多项式的平方时，得到正确结果4x2＋20xy＋Ｋ，但不小心把最后一项污染了，你认为这一项是( )
A．5y2 B．10y2
C．100y2 D．25y2
5．已知长方形的长和宽分别为a和b，其周长为4，则a2＋2ab＋b2的值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
6．已知a－b＝1，ab＝2，则多项式a3b－2a2b2＋ab3的值为( )
A．2 B．－2
C．5 D．6
7．有4张边长为a的正方形纸片，8张长为a，宽为b的矩形纸片，10张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙，无重叠拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为( )
A．2a＋3b B．a＋4b
C．2a＋2b D．a＋3b
8．利用1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形和2个长为a、宽为b的长方形可拼成一个大正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式：__ __。
9．已知(a＋b)2－4(a＋b)＋4＝0，则a＋b的值为__ __。
10．分解因式。
(1)m2－10m＋25。 (2)x2＋14xy＋49y2。
(3)x2－x＋。 (4)－x2＋12x－36。
11．已知m＋2n＝2，关于整式：①m2＋4n(m＋n)，②2n2＋mn＋m，下列说法正确的是( )
A．①的值是常数，②的值不是常数
B．①的值不是常数，②的值是常数
C．①②的值都是常数
D．①②的值都不是常数
12．若关于x的二次三项式x2－2(m－1)x＋16可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝__ __。
13．利用因式分解简便运算。
(1)482＋48×24＋122。
(2)3.282－1.28×6.56＋1.282。
14．分解因式。
(1)2ax2－4axy＋2ay2。
(2)a2b2－4ab＋4。
(3)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2。
(4)(x2＋y2)2－4x2y2。
15．先阅读材料，再解答下列问题。
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1。
解：将x＋y看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2，再将A还原，得到原式＝(x＋y＋1)2。
上述解题过程用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子分解因式：
(1)(a＋b)(a＋b－2)＋1。
(2)(x2－2x－1)(x2－2x＋3)＋4。
16．[阅读材料]把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法。如：对于a2＋6a＋8。
(1)用配方法分解因式。
(2)当a取何值时，代数式a2＋6a＋8有最小值？最小值是多少？
解：(1)原式＝a2＋6a＋8＋1－1
＝a2＋6a＋9－1＝(a＋3)2－1
＝[(a＋3)＋1][(a＋3)－1]
＝(a＋4)(a＋2)。
(2)对于(a＋3)2－1，(a＋3)2≥0。
所以，当a＝－3时，代数式a2＋6a＋8有最小值，最小值是－1。
[问题解决]利用配方法解决下列问题。
(1)分解因式：x2＋2x－3。
(2)当x取何值时，代数式x2＋2x－3有最小值？最小值是多少？4.3 用乘法公式分解因式(2)——完全平方公式
1．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是( D )
A．a2＋4 B．a2＋b2
C．a2＋4ab＋b2 D．x2＋2x＋1
2．下面分解因式中正确的是( C )
A．4a2－4a＋1＝4a(a－1)＋1
B．a2－4b2＝(a－2b)2
C．4a2－12a＋9＝(2a－3)2
D．2ab－a2－b2＝－(a＋b)2
3. 将下列多项式分解因式，结果中不含因式x－1的是( B )
A．x2－1 B．x2＋2x＋1
C．x2－2x＋1 D．x(x－2)－(x－2)
4．小萌在利用完全平方公式计算一个多项式的平方时，得到正确结果4x2＋20xy＋Ｋ，但不小心把最后一项污染了，你认为这一项是( D )
A．5y2 B．10y2
C．100y2 D．25y2
5．已知长方形的长和宽分别为a和b，其周长为4，则a2＋2ab＋b2的值为( B )
A．2 B．4
C．8 D．16
6．已知a－b＝1，ab＝2，则多项式a3b－2a2b2＋ab3的值为( A )
A．2 B．－2
C．5 D．6
7．有4张边长为a的正方形纸片，8张长为a，宽为b的矩形纸片，10张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙，无重叠拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为( C )
A．2a＋3b B．a＋4b
C．2a＋2b D．a＋3b
8．利用1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形和2个长为a、宽为b的长方形可拼成一个大正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式：__a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2__。
9．已知(a＋b)2－4(a＋b)＋4＝0，则a＋b的值为__2__。
10．分解因式。
(1)m2－10m＋25。 (2)x2＋14xy＋49y2。
(3)x2－x＋。 (4)－x2＋12x－36。
解：(1)原式＝(m－5)2。
(2)原式＝(x＋7y)2。
(3)原式＝。
(4)原式＝－(x－6)2。
11．已知m＋2n＝2，关于整式：①m2＋4n(m＋n)，②2n2＋mn＋m，下列说法正确的是( C )
A．①的值是常数，②的值不是常数
B．①的值不是常数，②的值是常数
C．①②的值都是常数
D．①②的值都不是常数
12．若关于x的二次三项式x2－2(m－1)x＋16可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝__－3或5__。
13．利用因式分解简便运算。
(1)482＋48×24＋122。
(2)3.282－1.28×6.56＋1.282。
解：(1)原式＝(48＋12)2＝3 600。
(2)原式＝(3.28－1.28)2＝4。
14．分解因式。
(1)2ax2－4axy＋2ay2。
(2)a2b2－4ab＋4。
(3)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2。
(4)(x2＋y2)2－4x2y2。
解：(1)原式＝2a(x2－2xy＋y2)＝2a(x－y)2。
(2)原式＝(ab－2)2。
(3)原式＝(a－b－c)2。
(4)原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)
＝(x＋y)2(x－y)2。
15．先阅读材料，再解答下列问题。
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1。
解：将x＋y看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2，再将A还原，得到原式＝(x＋y＋1)2。
上述解题过程用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子分解因式：
(1)(a＋b)(a＋b－2)＋1。
(2)(x2－2x－1)(x2－2x＋3)＋4。
解：(1)设a＋b＝A，则原式＝A(A－2)＋1＝A2－2A＋1＝(A－1)2＝(a＋b－1)2。
(2)设x2－2x＝B，则原式＝(B－1)(B＋3)＋4＝B2＋2B＋1＝(B＋1)2＝(x2－2x＋1)2＝[(x－1)2]2＝(x－1)4。
16．[阅读材料]把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法。如：对于a2＋6a＋8。
(1)用配方法分解因式。
(2)当a取何值时，代数式a2＋6a＋8有最小值？最小值是多少？
解：(1)原式＝a2＋6a＋8＋1－1
＝a2＋6a＋9－1＝(a＋3)2－1
＝[(a＋3)＋1][(a＋3)－1]
＝(a＋4)(a＋2)。
(2)对于(a＋3)2－1，(a＋3)2≥0。
所以，当a＝－3时，代数式a2＋6a＋8有最小值，最小值是－1。
[问题解决]利用配方法解决下列问题。
(1)分解因式：x2＋2x－3。
(2)当x取何值时，代数式x2＋2x－3有最小值？最小值是多少？
解：(1)原式＝x2＋2x－3＋4－4
＝x2＋2x＋1－4
＝(x＋1)2－4
＝[(x＋1)－2][(x＋1)＋2]
＝(x－1)(x＋3)。
(2)由(1)得x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，(x＋1)2≥0。
∴当x＝－1时，代数式x2＋2x－3有最小值，最小值是－4。
