4．1 因式分解
1．下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是( )
A．x3－x＝x(x－1)(x＋1)
B．a2(a－1)＝a3－a2
C．a2－2a－1＝a(a－2)－1
D．(a－3)(a＋3)＝a2－9
2．在下列从左到右的变形中，不是因式分解的是( )
A．x2－x＝x(x－1)
B．x2－2x－1＝(x－1)2－2
C．x2－y2＝(x＋y)(x－y)
D．x2＋2x＋1＝(x＋1)2
3．如果把多项式x2－mx－35分解因式为(x－5)·(x＋7)，那么m的值为( )
A．－2 B．2
C．12 D．－12
4．若x2＋kx＋25＝(x－5)2，那么( )
A．k＝10，从左到右是因式分解
B．k＝－10，从左到右是因式分解
C．k＝10，从左到右是乘法运算
D．k＝－10，从左到右是乘法运算
5．若4x3y2－6x2y3＋M可分解因式为2x2y2·(2x－3y＋1)，则M等于( )
A．2xy B．2x2y2
C．－2x2y2 D．4xy2
6．要使式子－7ab－14abx＋49aby＝－7ab( )成立，则“( )”内应填的式子是( )
A．－1＋2x＋7y B．－1－2x＋7y
C．1－2x－7y D．1＋2x－7y
7．(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)，这种从左到右的变形是__ __。
(2)(a＋b)(2a－b)＝2a2＋ab－b2，这种从左到右的变形是__ __。
(3)依据因式分解的意义，因为(x＋2y)(x－2y)＝x2－4y2，所以x2－4y2因式分解的结果是__ __。
8．若a3b＋M＝ab(N＋2)，则M＝__ __，N＝__ __。
9．把左、右两边相等的代数式用线连起来。
10．检验下列因式分解是否正确。
(1)x2＋2x＝x(x－2)。
(2)a2x＋b2x＝x(a2＋b2)。
(3)3x＋3y＋3＝3(x＋y)。
(4)x2－4y2＝(x＋4y)(x－4y)。
11．若代数式x2＋mx＋6可因式分解为(x＋a)(x＋b)并且a，b为整数，则整数m＝__ __。(只需填写一个答案)
12．因式分解与整式的乘法是互逆关系，请利用a2＋ab＝a(a＋b)解决下列问题。
(1)简便计算：8.72＋8.7×1.3。
(2)判断n2＋n(n为整数)是奇数还是偶数？
13．在分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x－3)(x＋2)，乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)(x－3)，求a＋b的值。
14．图1是某工人师傅在一个边长为a的正方形的4个角截去了4个边长为b的正方形，再沿图1中的虚线把图中的①，②两个长方形剪下来，拼成了如图2所示的一个长方形。试根据图1与图2，写出一个关于因式分解的等式。
15．仔细阅读下面的例题，并解答问题。
例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m的值。
方法一：设另一个因式为x＋n，得
x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
∴解得n＝－7，m＝－21，
∴另一个因式为x－7，m的值为－21。
方法二：设另一个因式为x＋n，得
x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
∴当x＝－3时，x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)＝0，即(－3)2－4×(－3)＋m＝0，
解得m＝－21，
∴x2－4x＋m＝x2－4x－21＝(x＋3)(x＋n)＝x2＋(n＋3)x＋3n，∴n＝－7，
∴另一个因式为x－7，m的值为－21。
问题：仿照以上一种方法解答下面的问题。
(1)若多项式x2－px－6分解因式的结果中有因式x－3，则实数p＝__ __。
(2)已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是2x＋5，求另一个因式及k的值。4．1 因式分解
1．下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是( A )
A．x3－x＝x(x－1)(x＋1)
B．a2(a－1)＝a3－a2
C．a2－2a－1＝a(a－2)－1
D．(a－3)(a＋3)＝a2－9
2．在下列从左到右的变形中，不是因式分解的是( B )
A．x2－x＝x(x－1)
B．x2－2x－1＝(x－1)2－2
C．x2－y2＝(x＋y)(x－y)
D．x2＋2x＋1＝(x＋1)2
3．如果把多项式x2－mx－35分解因式为(x－5)·(x＋7)，那么m的值为( A )
A．－2 B．2
C．12 D．－12
4．若x2＋kx＋25＝(x－5)2，那么( B )
A．k＝10，从左到右是因式分解
B．k＝－10，从左到右是因式分解
C．k＝10，从左到右是乘法运算
D．k＝－10，从左到右是乘法运算
5．若4x3y2－6x2y3＋M可分解因式为2x2y2·(2x－3y＋1)，则M等于( B )
A．2xy B．2x2y2
C．－2x2y2 D．4xy2
6．要使式子－7ab－14abx＋49aby＝－7ab( )成立，则“( )”内应填的式子是( D )
A．－1＋2x＋7y B．－1－2x＋7y
C．1－2x－7y D．1＋2x－7y
7．(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)，这种从左到右的变形是__因式分解__。
(2)(a＋b)(2a－b)＝2a2＋ab－b2，这种从左到右的变形是__整式的乘法__。
(3)依据因式分解的意义，因为(x＋2y)(x－2y)＝x2－4y2，所以x2－4y2因式分解的结果是__(x＋2y)(x－2y)__。
8．若a3b＋M＝ab(N＋2)，则M＝__ab__，N＝__a2__。
9．把左、右两边相等的代数式用线连起来。
解：
10．检验下列因式分解是否正确。
(1)x2＋2x＝x(x－2)。
(2)a2x＋b2x＝x(a2＋b2)。
(3)3x＋3y＋3＝3(x＋y)。
(4)x2－4y2＝(x＋4y)(x－4y)。
解：(1)∵x(x－2)＝x2－2x≠x2＋2x，
∴因式分解x2＋2x＝x(x－2)不正确。
(2)∵x(a2＋b2)＝a2x＋b2x，
∴因式分解a2x＋b2x＝x(a2＋b2)正确。
(3)∵3(x＋y)＝3x＋3y≠3x＋3y＋3，
∴因式分解3x＋3y＋3＝3(x＋y)不正确。
(4)∵(x＋4y)(x－4y)＝x2－16y2≠x2－4y2，
∴因式分解x2－4y2＝(x＋4y)(x－4y)不正确。
11．若代数式x2＋mx＋6可因式分解为(x＋a)(x＋b)并且a，b为整数，则整数m＝__5(答案不唯一)__。(只需填写一个答案)
12．因式分解与整式的乘法是互逆关系，请利用a2＋ab＝a(a＋b)解决下列问题。
(1)简便计算：8.72＋8.7×1.3。
(2)判断n2＋n(n为整数)是奇数还是偶数？
解：(1)原式＝8.7×(8.7＋1.3)＝87。
(2)n2＋n(n为整数)是偶数。
13．在分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x－3)(x＋2)，乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)(x－3)，求a＋b的值。
解：∵分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，
分解的结果是(x－3)(x＋2)，
且(x－3)(x＋2)＝x2－x－6，
∴b＝－6。
∵乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)·(x－3)，
且(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6，
∴a＝－5，
∴a＋b＝－11。
14．图1是某工人师傅在一个边长为a的正方形的4个角截去了4个边长为b的正方形，再沿图1中的虚线把图中的①，②两个长方形剪下来，拼成了如图2所示的一个长方形。试根据图1与图2，写出一个关于因式分解的等式。
解：题图1中阴影部分的面积为a2－4b2，题图1中①，②是两个完全一样的小长方形，长为a－2b，宽为b，因此题图2中的大长方形的长为a＋2b，宽为a－2b，故题图2中阴影部分的面积为(a＋2b)(a－2b)。由于题图1与题图2中阴影部分的面积相等，故a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)。
15．仔细阅读下面的例题，并解答问题。
例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m的值。
方法一：设另一个因式为x＋n，得
x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
∴解得n＝－7，m＝－21，
∴另一个因式为x－7，m的值为－21。
方法二：设另一个因式为x＋n，得
x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
∴当x＝－3时，x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)＝0，即(－3)2－4×(－3)＋m＝0，
解得m＝－21，
∴x2－4x＋m＝x2－4x－21＝(x＋3)(x＋n)＝x2＋(n＋3)x＋3n，∴n＝－7，
∴另一个因式为x－7，m的值为－21。
问题：仿照以上一种方法解答下面的问题。
(1)若多项式x2－px－6分解因式的结果中有因式x－3，则实数p＝__1__。
(2)已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是2x＋5，求另一个因式及k的值。
解：设另一个因式为x＋a，得2x2＋3x－k＝(2x＋5)(x＋a)，则2x2＋3x－k＝2x2＋(2a＋5)x＋5a，
∴解得
故另一个因式为x－1，k的值为5。
