整式运算的实际应用
一、面积类的计算
【例1】 如图，某村开展了“美丽乡村”建设，现准备在一块长为(3x＋y)米，宽为(2x＋y)米的长方形土地上，划出一块边长为(x＋y)米的正方形建设村民活动中心，为村民休闲健身提供去处，并将图中的阴影部分进行绿化。
(1)求绿化面积。(用含x，y的代数式表示)
(2)求当x＝5，y＝4时的绿化面积。
解：(1)根据题意得，绿化面积为(3x＋y)(2x＋y)－(x＋y)2＝6x2＋3xy＋2xy＋y2－x2－2xy－y2＝(5x2＋3xy)平方米。
(2)当x＝5，y＝4时，
原式＝5×52＋3×5×4
＝125＋60＝185(平方米)，
答：绿化面积是185平方米。
【变式】 7张如图1所示的长为a、宽为b(a>b)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示。设左上角与右下角的阴影部分的面积差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足( B )
A．a＝b B．a＝3b
C．a＝b D．a＝4b
二、结合乘法公式
【例2】 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙。图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12。
(1)正方形A，B的面积之和为__13__。
(2)若三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积。
解：(1)设正方形A，B的边长分别为a，b(a＞b)，
由图甲得(a－b)2＝1，由图乙得(a＋b)2－a2－b2＝12，
得ab＝6，a2＋b2＝13。
故答案为13。
(2)∵ab＝6，a2＋b2＝13，∴(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝1＋24＝25。∵a＋b＞0，∴a＋b＝5。
∵(a－b)2＝1，且a>b，∴a－b＝1，
∴图丙的阴影部分面积S＝(2a＋b)2－3a2－2b2＝a2－b2＋4ab＝(a－b)(a＋b)＋4ab＝5＋24＝29。
【变式】 用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式。例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2＋2ab＋b2，由此得到＝a2＋2ab＋b2。
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为a＋b＋c的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为__＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc__。
(2)利用(1)中的结论解决以下问题：
①已知a＋b＋c＝10，ab＋ac＋bc＝38，求a2＋b2＋c2的值。
②如图3，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，点D，G，C在同一直线上，连结BD，DF。若a－b＝2，ab＝3，求图3中阴影部分的面积。
解：(1)＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc。
(2)①由(1)结论变形知，
a2＋b2＋c2＝－2ab－2ac－2bc
＝100－2(ab＋ac＋bc)
＝100－76
＝24。
②S阴影＝S正方形ABCD－S△DGF－S△ABD－S正方形FECG
＝AB·AD－FG·DG－AB·AD－EC·CG
＝a2－b－a2－b2
＝a2－ab－b2
＝－ab
＝－ab。
∵a－b＝2，ab＝3且＝＋4ab＝16，a＋b>0，
∴a＋b＝4，∴S阴影＝×4×2－×3＝。
【例3】 小红家的收入分农业收入和其他收入两部分，今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%，而其他收入将增加40%，那么预计小红家明年的全年总收入是增加了还是减少了？
解：设小红家今年其他收入为a元，则农业收入为1.5 a元，
故预计明年全年收入比今年多1.5a×(1－20%)＋(1＋40%)a－(a＋1.5a)＝1.2a＋1.4a－2.5a＝0.1a(元)。
答：明年的全年总收入将比今年增加。
【例4】 【计算】
小红计算＋－－2y2时，得到的结果是x2＋y2－xy，则“”表示的数为__4__。
【发现】
小红对计算结果x2＋y2－xy很感兴趣，她发现有些数A可以表示成A＝x2＋y2－xy(x，y为自然数)的形式，她把这类数称为“有趣数”，例如：3＝22＋12－2×1，19＝52＋32－5×3，327＝192＋172－19×17，…，所以3，19，327是“有趣数”。请写出两个10以内的“有趣数”(不包含3)：__7，9(答案不唯一)__。
【探究】
小红进一步研究，发现像19，327这样的“有趣数”可以用两个连续奇数按发现中给出的运算表达出来，她把这些“有趣数”称为“双奇有趣数”。试说明所有“双奇有趣数”被4除余3。
【应用】
若两个“双奇有趣数”的差是12，则这两个“双奇有趣数”是__19__和__7__。
解：【探究】由题意可得，“双奇有趣数”可表示为＋－，
∵＋－
＝4n2－4n＋1＋4n2＋4n＋1－
＝4n2－4n＋1＋4n2＋4n＋1－4n2＋1
＝4n2＋3，
∴所有“双奇有趣数”被4除余3。
【应用】设第一个“双奇有趣数”为＋－＝4n2＋3，
第二个“双奇有趣数”为＋－＝4m2＋3，
∵它们的差是12，
∴－＝4n2＋3－4m2－3
＝4＝12，
则＝3，
∴或
解得(舍去)或
当n＝2，m＝1时，4×22＋3＝19，4×12＋3＝7，
即这两个“双奇有趣数”是19和7。
故答案为19和7。 整式运算的实际应用
一、面积类的计算
【例1】 如图，某村开展了“美丽乡村”建设，现准备在一块长为(3x＋y)米，宽为(2x＋y)米的长方形土地上，划出一块边长为(x＋y)米的正方形建设村民活动中心，为村民休闲健身提供去处，并将图中的阴影部分进行绿化。
(1)求绿化面积。(用含x，y的代数式表示)
(2)求当x＝5，y＝4时的绿化面积。
【变式】 7张如图1所示的长为a、宽为b(a>b)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示。设左上角与右下角的阴影部分的面积差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足( )
A．a＝b B．a＝3b
C．a＝b D．a＝4b
二、结合乘法公式
【例2】 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙。图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12。
(1)正方形A，B的面积之和为__ __。
(2)若三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积。
【变式】 用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式。例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2＋2ab＋b2，由此得到＝a2＋2ab＋b2。
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为a＋b＋c的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为__ __。
(2)利用(1)中的结论解决以下问题：
①已知a＋b＋c＝10，ab＋ac＋bc＝38，求a2＋b2＋c2的值。
②如图3，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，点D，G，C在同一直线上，连结BD，DF。若a－b＝2，ab＝3，求图3中阴影部分的面积。
【例3】 小红家的收入分农业收入和其他收入两部分，今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%，而其他收入将增加40%，那么预计小红家明年的全年总收入是增加了还是减少了？
【例4】 【计算】
小红计算＋－－2y2时，得到的结果是x2＋y2－xy，则“”表示的数为__ __。
【发现】
小红对计算结果x2＋y2－xy很感兴趣，她发现有些数A可以表示成A＝x2＋y2－xy(x，y为自然数)的形式，她把这类数称为“有趣数”，例如：3＝22＋12－2×1，19＝52＋32－5×3，327＝192＋172－19×17，…，所以3，19，327是“有趣数”。请写出两个10以内的“有趣数”(不包含3)：__ __。
【探究】
小红进一步研究，发现像19，327这样的“有趣数”可以用两个连续奇数按发现中给出的运算表达出来，她把这些“有趣数”称为“双奇有趣数”。试说明所有“双奇有趣数”被4除余3。
【应用】
若两个“双奇有趣数”的差是12，则这两个“双奇有趣数”是__ __和__ __。
