巧用因式分解解题
【例1】 计算。
(1)(－3)2 023＋(－3)2 024。
(2)92＋112＋9×22。
解：(1)原式＝(－3)2 023×(－3＋1)＝2·32 023。
(2)原式＝92＋112＋2×9×11＝(9＋11)2＝202＝400。
【例2】 在边长为a的正方形的一角减去一个边长为b的小正方形(a＞b)，如图1。
(1)由图1得阴影部分的面积为__a2－b2__。沿图1中的虚线剪开拼成图2，则图2中阴影部分的面积为__(a＋b)(a－b)__。
(2)由(1)的结果得出结论：__a2－b2＝(a＋b)(a－b)__。
(3)利用(2)中得出的结论计算：2 0232－2 0242。
解：2 0232－2 0242＝(2 023＋2 024)(2 023－2 024)＝－4 047。
【变式】 教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径。例如，选取图1中的正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式：a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)或(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2。
(1)请根据图3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算(x－2y－3)2。
(2)若x2＋y2＋z2＝1，xy＋yz＋xz＝3，求x＋y＋z的值。
(3)试借助图1的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式3a2＋7ab＋2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内。
Ｋ
解：(1)由题意，得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
则(x－2y－3)2＝x2＋4y2＋9－4xy－6x＋12y。
(2)同(1)，得(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2xz。
把x2＋y2＋z2＝1，xy＋yz＋xz＝3代入，
得(x＋y＋z)2＝1＋2×3＝7，
∴x＋y＋z＝±。
(3)拼图如下图所示。
3a2＋7ab＋2b2＝(3a＋b)(a＋2b)。
【例3】 利用因式分解求值。
已知x＋y＝1，xy＝－，求x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2 的值。
解：原式＝x(x＋y)[(x－y)－(x＋y)]＝－2xy·(x＋y)。
当x＋y＝1，xy＝－时，原式＝－2××1＝1。
【变式】 若实数x满足x2－2x－1＝0，则2x3－7x2＋4x－2 025的值为__－2_028__。
【解析】 ∵x2－2x－1＝0，
∴x2－2x＝1，
∴2x3－7x2＋4x－2 025
＝2x3－4x2－3x2＋4x－2 025
＝2x(x2－2x)－3x2＋4x－2 025
＝6x－3x2－2 025
＝－3(x2－2x)－2 025
＝－3－2 025
＝－2 028。
【例4】 已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，求出A与B哪个大。
解：B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)·(a－3)。
∵a＞2，∴a＋3＞0。
当2＜a＜3时，a－3＜0，∴A＞B；
当a＝3时，a－3＝0，∴A＝B；
当a＞3时，a－3＞0，∴A＜B。
【变式1】 已知P＝m－1，Q＝m2－m(m为任意实数)，则P，Q的大小关系( C )
A．为P>Q B．为P＝Q
C．为P【解析】 ∵P＝m－1，Q＝m2－m，
∴ Q－P＝m2－m－m＋1＝m2－m＋1
＝＋≥，
∴P【变式2】 设P＝x2－3xy，Q＝3xy－9y2，若P＝Q，则的值为__3__。
1．计算：101×1022－101×982＝( D )
A． 404 B． 808
C． 40 400 D．80 800
2．若4x2－3xy＋2＝0，y2－xy－18＝0，则2x－y的值是( D )
A．4 B．2
C．±2 D．±4
3．已知a－b＝3，b＋c＝－5，则代数式ac－bc＋a2－ab的值为( C )
A．－15 B．－2
C．－6 D． 6
4．当m为自然数时，(4m＋5)2－9一定能被下列哪个数整除( D )
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】 (4m＋5)2－9
＝(4m＋5＋3)(4m＋5－3)
＝(4m＋8)(4m＋2)
＝8(m＋2)(2m＋1)，
∴(4m＋5)2－9一定能被8整除。
5．已知M＝8x2－y2＋6x－2，N＝9x2＋4y＋13，则M－N 的值( B )
A．为正数 B．为负数
C．为非正数 D．不能确定
【解析】 ∵M＝8x2－y2＋6x－2，N＝9x2＋4y＋13，
∴M－N＝8x2－y2＋6x－2－9x2－4y－13
＝－x2－y2＋6x－4y－15
＝－x2＋6x－9－y2－4y－4－2
＝－<0。
6．若是方程ax－by＝－3的解，则4a2－12ab＋9b2的值为__9__。
7．已知a＝，b＝，则(a＋b)2－(a－b)2的值为____。
8．阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值。
解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，
∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0。
∴(m－n)2＋(n－4)2＝0，
∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0。
∴n＝4，m＝4。
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2－2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy的值。
(2)已知a－b＝8，ab＋c2－16c＋80＝0，求a＋b＋c的值。
解：(1)∵x2－2xy＋2y2＋6y＋9＝0，
∴(x2－2xy＋y2)＋(y2＋6y＋9)＝0。
∴(x－y)2＋(y＋3)2＝0.
∴x－y＝0，y＋3＝0。
∴y＝－3，x＝－3.
∴xy＝(－3)×(－3)＝9。
(2)∵a－b＝8，ab＋c2－16c＋80＝0，
∴a(a－8)＋16＋(c－8)2＝0。
∴(a－4)2＋(c－8)2＝0.
∴a－4＝0，c－8＝0。
∴a＝4，c＝8，b＝a－8＝4－8＝－4。
∴a＋b＋c＝4－4＋8＝8。 巧用因式分解解题
【例1】 计算。
(1)(－3)2 023＋(－3)2 024。
(2)92＋112＋9×22。
【例2】 在边长为a的正方形的一角减去一个边长为b的小正方形(a＞b)，如图1。
(1)由图1得阴影部分的面积为__ __。沿图1中的虚线剪开拼成图2，则图2中阴影部分的面积为__ __。
(2)由(1)的结果得出结论：__ __。
(3)利用(2)中得出的结论计算：2 0232－2 0242。
【变式】 教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径。例如，选取图1中的正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式：a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)或(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2。
(1)请根据图3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算(x－2y－3)2。
(2)若x2＋y2＋z2＝1，xy＋yz＋xz＝3，求x＋y＋z的值。
(3)试借助图1的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式3a2＋7ab＋2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内。
【例3】 利用因式分解求值。
已知x＋y＝1，xy＝－，求x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2 的值。
【变式】 若实数x满足x2－2x－1＝0，则2x3－7x2＋4x－2 025的值为__ _ __。
【例4】 已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，求出A与B哪个大。
【变式1】 已知P＝m－1，Q＝m2－m(m为任意实数)，则P，Q的大小关系( )
A．为P>Q B．为P＝Q
C．为P【变式2】 设P＝x2－3xy，Q＝3xy－9y2，若P＝Q，则的值为__ __。
1．计算：101×1022－101×982＝( )
A． 404 B． 808
C． 40 400 D．80 800
2．若4x2－3xy＋2＝0，y2－xy－18＝0，则2x－y的值是( )
A．4 B．2
C．±2 D．±4
3．已知a－b＝3，b＋c＝－5，则代数式ac－bc＋a2－ab的值为( )
A．－15 B．－2
C．－6 D． 6
4．当m为自然数时，(4m＋5)2－9一定能被下列哪个数整除( )
A．5 B．6
C．7 D．8
5．已知M＝8x2－y2＋6x－2，N＝9x2＋4y＋13，则M－N 的值( )
A．为正数 B．为负数
C．为非正数 D．不能确定
6．若是方程ax－by＝－3的解，则4a2－12ab＋9b2的值为__ __。
7．已知a＝，b＝，则(a＋b)2－(a－b)2的值为__ __。
8．阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值。
解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，
∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0。
∴(m－n)2＋(n－4)2＝0，
∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0。
∴n＝4，m＝4。
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2－2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy的值。
(2)已知a－b＝8，ab＋c2－16c＋80＝0，求a＋b＋c的值。
