第4章质量评价作业
[时间：120分钟 分值：120分]
班级：________________ 姓名：________________ 学号：________________ 得分：________________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各式从左到右的变形中属于因式分解的是( )
A．6x2y3＝2x2·3y3
B．x2－9＝(x－3)(x＋3)
C．x2＋2x＋1＝x(x2＋2)＋1
D．(x＋2)(x－3)＝x2－x－6
2．x2－4y2＝( A )
A．(x＋2y)(x－2y)
B．(2x＋y)(2x－y)
C．(x＋2y)(2x－y)
D．(2x＋y)(x－2y)
3．下列多项式中能用完全平方公式分解因式的是( )
A．4x2－1
B．x2－2x－1
C．4x2＋2x＋1
D．4x2－4x＋1
4．计算9.92＋9.9×0.1＋1，结果为( )
A．10
B．20
C．100
D．200
5．若关于x的二次三项式x2－ax＋36能用完全平方公式分解因式，则a的值是( )
A．－6
B．±6
C．12
D．±12
6．已知x－y＝3，y－z＝2，x＋z＝4，则代数式x2－z2的值是( )
A．9
B．18
C．20
D．24
7．当n为自然数时，(n＋1)2－(n－3)2一定能( )
A．被5整除
B．被6整除
C．被7整除
D．被8整除
8．小聪是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，3，x2＋1，a，x＋1分别对应下列六个字：爱，很，我，数，学，热，现将3a(x2－1)－3b(x2－1)分解因式，结果呈现的密码信息可能是( )
A．我热爱学
B．我爱数学
C．热爱数学
D．我很热爱
9．若x＝2n+1＋2n，y＝2n-1＋2n-2，其中n为整数，则x与y的数量关系为( )
A．x＝4y
B．y＝4x
C．x＝12y
D．y＝12x
10．已知关于x，y的方程组则下列结论中正确的是( )
①当a＝1时，方程组的解也是方程2x－y＝3.5的解；
②当x＝y时，a＝－2.5；
③不论a取何值，3x＋y的值始终不变；
④若不论x取何值，的值都为常数，则该常数为－49。
A．①②
B．②③
C．②④
D．②③④
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．整式n2－1与n2＋n的公因式是____。
12．分解因式：a3－4a＝____。
13．多项式a(a－b－c)＋b(c－a＋b)＋c(b＋c－a)提出公因式a－b－c后，另外一个因式为____。
14．如图，为了美化校园，某校要在面积为20平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为2米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m>n，花圃区域AEGQ和HKCS的总周长为12米，则m－n＝___。
15．已知整式A＝x(x＋3)＋5，整式B＝ax－1。若A－B可以分解为(x－2)(x－3)，则a＝____。
16．已知a＝2 020x＋2 019，b＝2 020x＋2 020，c＝2 020x＋2 021，则代数式a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值为____。
三、解答题(8个小题，共72分)
17．(6分)利用因式分解进行简便运算。
(1)6×－7×－9×。
(2)39×37－13×34。
18．(6分)先分解因式，再求值。
(1)4a2(x＋7)－3(x＋7)，其中a＝－5，x＝3。
(2)(2x－3y)2－(2x＋3y)2，其中x＝ ，y＝ 。
19．(8分)分解因式(3x＋y)2－(x＋3y)2。小禾分解因式后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等。
下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务。
小禾的解法： (3x＋y)2－(x＋3y)2 ＝(3x＋y＋x＋3y)(3x＋y－x－3y) ① ＝(4x＋4y)(2x＋4y) ② ＝8(x＋y)(x＋2y)。 ③
小禾的检验： 当x＝0，y＝1时， (3x＋y)2－(x＋3y)2 8(x＋y)(x＋2y) ＝12－32 ＝8×1×2 ＝1－9 ＝16。 ＝－8。 ∵－8≠16， ∴分解因式错误。
任务：
(1)小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因。
(2)请尝试写出正确的因式分解过程。
20．(8分)(1)已知y(2x＋1)－x(2y＋1)＝－3，求6x2＋6y2－12xy的值。
(2)已知a2－a－1＝0，求a3－2a＋2 023的值。
21．(10分)定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab＋a＋b运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“青宁数”。
(1)若a＝2，b＝－3，求a，b的“青宁数”c。
(2)若ab＝，a2＋b2＝3，求a，b的“青宁数”c。
(3)已知a＝x2－1(x≠0)，且a，b的“青宁数”c＝x3＋2x2－1，则b＝________。(用含x的式子表示)
22．(10分)在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫作“完全平方式”。杨老师布置了一道思维拓展题：代数式x2＋2x＋5有最大值还是最小值？并求出这个最值。小宋的解题步骤如下：
x2＋2x＋5 ＝x2＋2x＋1＋4 ＝(x＋1)2＋4。 ∵(x＋1)2≥0， ∴(x＋1)2＋4≥4， ∴x2＋2x＋5的最小值为4。
小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题：
(1)下列多项式中①x2＋2x－1；②x2－6x＋9；③x2＋x＋；④4y2－12xy＋9x2是完全平方式的有__②④__。(填序号)
(2)若9x2＋kx＋16是一个完全平方式，则k的值等于____。(k为常数)
(3)代数式－2x2＋4x－3有最大值还是最小值？并求出这个最值。
23．(12分)如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的小长方形，且m>n。(以上长度单位：cm)
(1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为__(2m＋n)(m＋2n)__。
(2)若每块小长方形的面积为20 cm2，四个正方形的面积和为162 cm2。
①试求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和。
②求的值。
24．(12分)先阅读材料，再解答问题：
分解因式：(2x＋y)2＋2(2x＋y)＋1。
解：将“2x＋y”看成整体，令2x＋y＝A，
则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2。
再将“A”还原，得原式＝(2x＋y＋1)2。
上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题。
(1)分解因式：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝__(x－y＋1)2__。
(2)分解因式：(x2－6x)(x2－6x＋18)＋81。
(3)试说明“若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方”的理由。第4章质量评价作业
[时间：120分钟 分值：120分]
班级：________________ 姓名：________________ 学号：________________ 得分：________________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各式从左到右的变形中属于因式分解的是( B )
A．6x2y3＝2x2·3y3
B．x2－9＝(x－3)(x＋3)
C．x2＋2x＋1＝x(x2＋2)＋1
D．(x＋2)(x－3)＝x2－x－6
2．x2－4y2＝( A )
A．(x＋2y)(x－2y)
B．(2x＋y)(2x－y)
C．(x＋2y)(2x－y)
D．(2x＋y)(x－2y)
3．下列多项式中能用完全平方公式分解因式的是( D )
A．4x2－1
B．x2－2x－1
C．4x2＋2x＋1
D．4x2－4x＋1
4．计算9.92＋9.9×0.1＋1，结果为( C )
A．10
B．20
C．100
D．200
5．若关于x的二次三项式x2－ax＋36能用完全平方公式分解因式，则a的值是( D )
A．－6
B．±6
C．12
D．±12
6．已知x－y＝3，y－z＝2，x＋z＝4，则代数式x2－z2的值是( C )
A．9
B．18
C．20
D．24
7．当n为自然数时，(n＋1)2－(n－3)2一定能( D )
A．被5整除
B．被6整除
C．被7整除
D．被8整除
8．小聪是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，3，x2＋1，a，x＋1分别对应下列六个字：爱，很，我，数，学，热，现将3a(x2－1)－3b(x2－1)分解因式，结果呈现的密码信息可能是( D )
A．我热爱学
B．我爱数学
C．热爱数学
D．我很热爱
9．若x＝2n+1＋2n，y＝2n-1＋2n-2，其中n为整数，则x与y的数量关系为( A )
A．x＝4y
B．y＝4x
C．x＝12y
D．y＝12x
10．已知关于x，y的方程组则下列结论中正确的是( D )
①当a＝1时，方程组的解也是方程2x－y＝3.5的解；
②当x＝y时，a＝－2.5；
③不论a取何值，3x＋y的值始终不变；
④若不论x取何值，的值都为常数，则该常数为－49。
A．①②
B．②③
C．②④
D．②③④
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．整式n2－1与n2＋n的公因式是__n＋1__。
12．分解因式：a3－4a＝__a(a－2)(a＋2)__。
13．多项式a(a－b－c)＋b(c－a＋b)＋c(b＋c－a)提出公因式a－b－c后，另外一个因式为__a－b－c__。
14．如图，为了美化校园，某校要在面积为20平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为2米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m>n，花圃区域AEGQ和HKCS的总周长为12米，则m－n＝____。
15．已知整式A＝x(x＋3)＋5，整式B＝ax－1。若A－B可以分解为(x－2)(x－3)，则a＝__8__。
16．已知a＝2 020x＋2 019，b＝2 020x＋2 020，c＝2 020x＋2 021，则代数式a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值为__3__。
【解析】 ∵a＝2 020x＋2 019，b＝2 020x＋2 020，
c＝2 020x＋2 021，
∴a－b＝－1，a－c＝－2，b－c＝－1。
设S＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc，
则2S＝2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc。
∵2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc
＝a2－2ab＋b2＋a2－2ac＋c2＋b2－2bc＋c2
＝(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2
＝(－1)2＋(－2)2＋(－1)2＝6，
∴S＝3。
∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝3。
三、解答题(8个小题，共72分)
17．(6分)利用因式分解进行简便运算。
(1)6×－7×－9×。
(2)39×37－13×34。
解：(1)原式＝×(6－7－9)
＝×(－10)
＝－。
(2)原式＝39×37－13×81
＝39×37－39×27
＝39×(37－27)
＝39×10＝390。
18．(6分)先分解因式，再求值。
(1)4a2(x＋7)－3(x＋7)，其中a＝－5，x＝3。
(2)(2x－3y)2－(2x＋3y)2，其中x＝ ，y＝ 。
解：(1)原式＝(x＋7)(4a2－3)。
当a＝－5，x＝3时，(x＋7)(4a2－3)
＝(3＋7)×[4×(－5)2－3]＝970。
(2)原式＝[(2x－3y)＋(2x＋3y)]·[(2x－3y)－(2x＋3y)]＝－24xy。
当x＝，y＝时，
－24xy＝－24× × ＝－ 。
19．(8分)分解因式(3x＋y)2－(x＋3y)2。小禾分解因式后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等。
下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务。
小禾的解法： (3x＋y)2－(x＋3y)2 ＝(3x＋y＋x＋3y)(3x＋y－x－3y) ① ＝(4x＋4y)(2x＋4y) ② ＝8(x＋y)(x＋2y)。 ③
小禾的检验： 当x＝0，y＝1时， (3x＋y)2－(x＋3y)2 8(x＋y)(x＋2y) ＝12－32 ＝8×1×2 ＝1－9 ＝16。 ＝－8。 ∵－8≠16， ∴分解因式错误。
任务：
(1)小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因。
(2)请尝试写出正确的因式分解过程。
解：(1)小禾的解答是从第②步开始出错的，错误的原因： y与－3y合并同类项计算错误。
(2)正确的因式分解过程如下：
(3x＋y)2－(x＋3y)2
＝ (3x＋y＋x＋3y)(3x＋y－x－3y)
＝(4x＋4y)(2x－2y)
＝8(x＋y)(x－y)。
20．(8分)(1)已知y(2x＋1)－x(2y＋1)＝－3，求6x2＋6y2－12xy的值。
(2)已知a2－a－1＝0，求a3－2a＋2 023的值。
解：(1)由已知得2xy＋y－2xy－x＝－3，∴x－y＝3，
∴6x2＋6y2－12xy＝6(x2＋y2－2xy)＝6(x－y)2＝54。
(2)∵a2－a－1＝0，∴a2＝a＋1。
∴a3－2a＋2 023＝a3－a－a－1＋2 024
＝a(a2－1)－(a＋1)＋2 024
＝a(a＋1－1)－a2＋2 024＝2 024。
21．(10分)定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab＋a＋b运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“青宁数”。
(1)若a＝2，b＝－3，求a，b的“青宁数”c。
(2)若ab＝，a2＋b2＝3，求a，b的“青宁数”c。
(3)已知a＝x2－1(x≠0)，且a，b的“青宁数”c＝x3＋2x2－1，则b＝________。(用含x的式子表示)
解：(1)∵a＝2，b＝－3，c＝ab＋a＋b，
∴c＝2×＋2－3＝－6＋2－3＝－7，
∴c＝－7。
(2)∵ab＝，a2＋b2＝3，
∴＝a2＋b2＋2ab＝3＋2×＝4，
∴a＋b＝±2，
∴c＝ab＋a＋b＝＋2＝
或c＝ab＋a＋b＝－2＝－。
(3)∵c＝x3＋2x2－1，a＝x2－1(x≠0)，
∴b＋x2－1＋b＝x3＋2x2－1，
即bx2＝x3＋x2。
∵x≠0，∴b＝x＋1。
22．(10分)在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫作“完全平方式”。杨老师布置了一道思维拓展题：代数式x2＋2x＋5有最大值还是最小值？并求出这个最值。小宋的解题步骤如下：
x2＋2x＋5 ＝x2＋2x＋1＋4 ＝(x＋1)2＋4。 ∵(x＋1)2≥0， ∴(x＋1)2＋4≥4， ∴x2＋2x＋5的最小值为4。
小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题：
(1)下列多项式中①x2＋2x－1；②x2－6x＋9；③x2＋x＋；④4y2－12xy＋9x2是完全平方式的有__②④__。(填序号)
(2)若9x2＋kx＋16是一个完全平方式，则k的值等于__±24__。(k为常数)
(3)代数式－2x2＋4x－3有最大值还是最小值？并求出这个最值。
解：(3)原式＝－2
＝－2
＝－2(x－1)2－1。
∵－2(x－1)2≤0，
∴－2(x－1)2－1≤－1，
∴原式有最大值－1。
23．(12分)如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的小长方形，且m>n。(以上长度单位：cm)
(1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为__(2m＋n)(m＋2n)__。
(2)若每块小长方形的面积为20 cm2，四个正方形的面积和为162 cm2。
①试求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和。
②求的值。
解：(1)(2m＋n)(m＋2n)
(2)①由题意知，mn＝20，2m2＋2n2＝162，
解得m2＋n2＝81，nm＝20，
∴＝m2＋n2＋2mn＝121，
∴m＋n＝11。
图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为6(m＋n)＝66(cm)。
②＝m2＋n2－2mn＝81－40＝41。
24．(12分)先阅读材料，再解答问题：
分解因式：(2x＋y)2＋2(2x＋y)＋1。
解：将“2x＋y”看成整体，令2x＋y＝A，
则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2。
再将“A”还原，得原式＝(2x＋y＋1)2。
上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题。
(1)分解因式：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝__(x－y＋1)2__。
(2)分解因式：(x2－6x)(x2－6x＋18)＋81。
(3)试说明“若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方”的理由。
解：(1)(x－y＋1)2
(2)令A＝x2－6x，则原式变为A(A＋18)＋81＝A2＋18A＋81＝(A＋9)2，
故(x2－6x)(x2－6x＋18)＋81＝(A＋9)2＝(x－3)4。
(3)(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1
＝(n2＋3n)[(n＋1)(n＋2)]＋1
＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1
＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1
＝(n2＋3n＋1)2。
∵n为正整数，∴n2＋3n＋1也为正整数，
∴代数式(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方。
