平行线的判定与性质的综合应用
【例1】 如图，AE∥BD，∠A＝∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F。
(1)试说明AB∥CD的理由。
(2)探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由。
【变式1】 如图，一把直尺与一块直角三角板按图中方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝( )
A．40° B．43° C．45° D．47°
变式1题图
变式2题图
【变式2】 如图，已知AB∥CD，∠ABE＝75°，∠D＝60°，则∠E的度数为__ __。
【变式3】 已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所在直线于F，DE∥AB交AC所在直线于E。若∠B＋∠C＝105°，则∠FDE的度数是__ __。
【例2】 如图1，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠BFE＝70°，将纸带沿EF折叠后，点C，D分别落在H，G的位置，再沿BC折叠，如图2。
(1)在图1中，∠AEG＝__ __度。
(2)在图2中，若∠MFH＝40°，试求∠EFN的度数。
【变式1】 将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图1，AD∥BC，ED′∥FC′，设∠AED′＝x°。
(1)∠EFB＝__ __。(用含x的代数式表示)
(2)若将图1继续沿BF折叠成图2，则∠EFC″＝__ __。(用含x的代数式表示)
【变式2】 如图，折叠一张长方形纸片，已知∠1＝70°，则∠2＝__ __。
【变式3】 如图，一张长方形纸片(其中AB∥CD)，点E，F分别在边AB，AD上．把这张长方形纸片沿着EF折叠，点A落在点G处，EG交CD于点H。若∠BEH＝4∠AEF，则∠CHG的度数为__ __。
【例3】 如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C(提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF)。
(1)若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数。
(2)已知∠BAE＋∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由。
【变式】 【学习新知】射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为∠1，反射光线与水平镜面的夹角为∠2，则∠1＝∠2。
(1)【初步应用】如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝__ __，∠3＝__ __。
(2)【猜想验证】由(1)，请你猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3＝__ __时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由。
(3)【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝α°，镜面AB，BC的夹角∠B＝120°。已知入射光线从镜面AB开始反射，经过n(n为正整数，n≤3)次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数。(可用含α的代数式表示)
1．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝118°，则∠4＝( )
A．48° B．62°
C．68° D．72°
第1题图
第2题图
2．将一副三角板(∠A＝30°)按上右图所示的方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于( )
A．45° B．30°
C．65° D．75°
3．如图，已知AB∥CD，∠BEG＝58°，∠G＝30°，则∠HFG的度数为( )
A．28° B．29°
C．30° D．32°
第3题图
第4题图
4．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现，他把它抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝82°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是( )
A．38° B．44°
C．46° D．56°
5．如图，将一副三角板按图中所示的方式摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为( )
A．80° B．60°
C．105° D．75°
第5题图
第6题图
6．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则( )
A．∠E＝∠F
B．∠E＋∠F＝180°
C．2∠E＋∠F＝360°
D．2∠E－∠F＝180°
7．如图，AD⊥BD，∠3＋∠2＝180°，∠1＝55°，那么∠2的度数是__ __度。
第7题图
第8题图
8．两块平面镜OM和ON如上右图方式放置，从点A处向平面镜ON射出一束平行于OM的光线，经过两次反射后(入射光线与平面镜的夹角始终与反射光线与平面镜的夹角相等)，光线CD与平面镜ON垂直，则两平面镜的夹角的度数为__ __。
9．如图，将长方形纸条ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在C′，D′处，D′E交BC于点G，设∠DEF＝x°。
(1)①若x＝50，则∠BGD′＝__ __°。
②用含x的代数式表示∠BGD′。
(2)如图2，在图1的基础上将纸条沿MN继续折叠，点A，B分别落在点A′(点A′在BG上)，B′处。
①若EF∥MA′， MN∥D′E，求x。
②若MN∥D′E ，用含x的式子表示∠A′MD。
10．如图，这是一个台灯的示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直。
(1)当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA的度数。
(2)连杆BC，CD可以绕着B，C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，请写出α，β，γ之间的数量关系。
11．如图，直线AB∥CD，直线l分别与直线AB，CD相交于点E，F，P是射线EA上的一个动点(不包括端点E)，将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处。
(1)若∠PEF＝48°，求∠EFC的度数。
(2)若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数。 平行线的判定与性质的综合应用
【例1】 如图，AE∥BD，∠A＝∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F。
(1)试说明AB∥CD的理由。
(2)探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由。
解：(1)∵AE∥BD，∴∠A＋∠ABD＝180°。
∵∠A＝∠BDC，∴∠BDC＋∠ABD＝180°，∴AB∥CD。
(2)∠A＋∠AEC＋∠C＝360°，理由：
如图，过点E作EH∥AB，
由(1)知AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠A＋∠AEH＝180°，∠C＋∠CEH＝180°，
∴∠A＋∠AEH＋∠C＋∠CEH＝360°，
即∠A＋∠AEC＋∠C＝360°。
【变式1】 如图，一把直尺与一块直角三角板按图中方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝( B )
A．40° B．43° C．45° D．47°
变式1题图
变式2题图
【变式2】 如图，已知AB∥CD，∠ABE＝75°，∠D＝60°，则∠E的度数为__15°__。
【变式3】 已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所在直线于F，DE∥AB交AC所在直线于E。若∠B＋∠C＝105°，则∠FDE的度数是__75°或105°__。
【解析】 如图，分为3种情况：
第一种情况：如图1，∵∠B＋∠C＝105°，
∴∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝75°。
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠A＝∠DFB，∠FDE＝∠DFB，
∴∠FDE＝∠A＝75°。
第二种情况：如图2，∵∠B＋∠ACB＝105°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝75°。
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠BAC＝∠E＝75°，∠FDE＋∠E＝180°，
∴∠FDE＝105°。
第三种情况：如图3，∵∠ABC＋∠C＝105°，
∴∠BAC＝180°－(∠ABC＋∠C)＝75°。
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠BAC＝∠E＝75°，∠FDE＋∠E＝180°，
∴∠FDE＝105°。故答案为75°或105°。
【例2】 如图1，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠BFE＝70°，将纸带沿EF折叠后，点C，D分别落在H，G的位置，再沿BC折叠，如图2。
(1)在图1中，∠AEG＝__40__度。
(2)在图2中，若∠MFH＝40°，试求∠EFN的度数。
解：(1)∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE＝70°。
∵长方形ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在H，G的位置，
∴∠GEF＝∠DEF＝70°，∴∠AEG＝180°－70°－70°＝40°。
故答案为40。
(2)∵△HMF沿BC折叠得到△MNF，
∴∠MFN＝∠MFH＝40°，
∴∠EFN＝∠BFE－∠NFM＝70°－40°＝30°。
【变式1】 将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图1，AD∥BC，ED′∥FC′，设∠AED′＝x°。
(1)∠EFB＝__90°－x°__。(用含x的代数式表示)
(2)若将图1继续沿BF折叠成图2，则∠EFC″＝__x°－90°__。(用含x的代数式表示)
【解析】 (1)∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB。
又∵∠DEF＝∠D′EF，∴2∠DEF＋∠AED′＝180°。
又∵∠AED′＝x°，∴2∠DEF＝180°－x°，
∴∠EFB＝∠DEF＝(180°－x°)＝90°－x°。
(2)∵∠EFB＋∠EFC′＝180°，
∴∠EFC′＝180°－＝90°＋x°。
又∵∠EFC′＝2∠EFB＋∠EFC″，
∴∠EFC″＝∠EFC′－2∠EFB
＝90°＋x°－2＝x°－90°。
【变式2】 如图，折叠一张长方形纸片，已知∠1＝70°，则∠2＝__55°__。
【解析】 如图，根据折叠得出∠EFG＝∠2。
∵∠1＝70°，∴∠BEF＝∠1＝70°。
∵AB∥DC，
∴∠EFC＝180°－∠BEF＝110°，
∴∠2＝∠EFG＝∠EFC＝55°。
【变式3】 如图，一张长方形纸片(其中AB∥CD)，点E，F分别在边AB，AD上．把这张长方形纸片沿着EF折叠，点A落在点G处，EG交CD于点H。若∠BEH＝4∠AEF，则∠CHG的度数为__120°__。
【解析】 由折叠的性质，可知∠AEF＝∠FEH。
∵∠BEH＝4∠AEF，∠AEF＋∠FEH＋∠BEH＝180°，
∴∠AEF＝×180°＝30°，∠BEH＝4∠AEF＝120°。
∵AB∥CD，∴∠CHG＝∠BEH＝120°。
【例3】 如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C(提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF)。
(1)若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数。
(2)已知∠BAE＋∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由。
解：(1)∵∠PAD＝32°，∠PAD＝∠BAE，∠PAD＋∠PAB＋∠BAE＝180°，∴∠PAB＝180°－32°－32°＝116°。
(2)BC∥PA，理由如下：
∵∠PAD＝∠BAE，∠PAB＝180°－∠PAD－∠BAE，
∴∠PAB＝180°－2∠BAE。同理，∠ABC＝180°－2∠ABE。
∵∠BAE＋∠ABE＝90°，
∴∠PAB＋∠ABC＝360°－2(∠BAE＋∠ABE)＝180°。
∴BC∥PA。
【变式】 【学习新知】射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为∠1，反射光线与水平镜面的夹角为∠2，则∠1＝∠2。
(1)【初步应用】如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝__100°__，∠3＝__90°__。
(2)【猜想验证】由(1)，请你猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3＝__90°__时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由。
(3)【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝α°，镜面AB，BC的夹角∠B＝120°。已知入射光线从镜面AB开始反射，经过n(n为正整数，n≤3)次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数。(可用含α的代数式表示)
解：(1)如图1。
∵入射角与反射角相等，即∠1＝∠4＝50°，∠5＝∠6。
又∵∠7＝180°－∠1－∠4＝80°，m∥n，
∴∠2＝180°－∠7＝100°，∴∠5＝∠6＝(180°－100°)÷2＝40°。
∵三角形内角和为180°，∴∠3＝180°－∠4－∠5＝90°。
故答案为100°，90°。
(2)由(1)可得当两平面镜a，b的夹角∠3＝90°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行。
理由：∵∠3＝90°，∴∠4＋∠5＝90°。
又由题意知∠1＝∠4，∠5＝∠6，
∴∠2＋∠7＝180°－(∠5＋∠6)＋180°－(∠1＋∠4)＝360°－2∠4－2∠5＝360°－2(∠4＋∠5)＝180°。
∴m∥n。故答案为90°。
(3)90°＋α°或150°。理由如下：
①当n＝3时，如图2。
∵∠BEG＝∠1＝α°，
∴∠BGE＝∠CGH＝180°－∠B－∠BEG＝180°－120°－α°＝60°－α°，
∴∠FEG＝180°－2∠1＝180°－2α°，
∠EGH＝180°－2∠BGE＝180°－2(60°－α°)＝60°＋2α°。
∵EF∥HK，∴∠FEG＋∠EGH＋∠GHK＝360°，
∴∠GHK＝360°－(180°－2α°)－(60°＋2α°)＝120°，
∴∠GHC＝30°。
由△GCH的内角和得∠BCD＝180°－∠GHC－∠CGH＝180°－30°－(60°－α°)＝90°＋α°。
②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则∠B＝90°，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，如图3。
∵∠GBC＝180°－∠ABC＝60°，
∴∠G＝∠BCD－∠GBC＝∠BCD－60°。
由EF∥HK和(1)的结论可得，
∠G＝∠BCD－60°＝90°，
则∠BCD＝150°。
综上所述，∠BCD的度数为90°＋α°或150°。
1．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝118°，则∠4＝( B )
A．48° B．62°
C．68° D．72°
第1题图
第2题图
2．将一副三角板(∠A＝30°)按上右图所示的方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于( A )
A．45° B．30°
C．65° D．75°
3．如图，已知AB∥CD，∠BEG＝58°，∠G＝30°，则∠HFG的度数为( A )
A．28° B．29°
C．30° D．32°
第3题图
第4题图
4．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现，他把它抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝82°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是( A )
A．38° B．44°
C．46° D．56°
5．如图，将一副三角板按图中所示的方式摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为( D )
A．80° B．60°
C．105° D．75°
第5题图
第6题图
6．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则( C )
A．∠E＝∠F
B．∠E＋∠F＝180°
C．2∠E＋∠F＝360°
D．2∠E－∠F＝180°
【解析】 过点E作EM∥AB，如图，
∵AB∥CD，EM∥AB，∴CD∥EM，
∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM。
∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，
∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，
∴∠BED＝∠BEM＋∠DEM＝(∠ABF＋∠CDF)。
∵∠ABF＋∠BFD＋∠CDF＝360°，
∴∠ABF＋∠CDF＝360°－∠BFD，
∴∠BED＝(360°－∠BFD)，
整理得2∠BED＋∠BFD＝360°。
7．如图，AD⊥BD，∠3＋∠2＝180°，∠1＝55°，那么∠2的度数是__35__度。
第7题图
第8题图
8．两块平面镜OM和ON如上右图方式放置，从点A处向平面镜ON射出一束平行于OM的光线，经过两次反射后(入射光线与平面镜的夹角始终与反射光线与平面镜的夹角相等)，光线CD与平面镜ON垂直，则两平面镜的夹角的度数为__30°__。
9．如图，将长方形纸条ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在C′，D′处，D′E交BC于点G，设∠DEF＝x°。
(1)①若x＝50，则∠BGD′＝__80__°。
②用含x的代数式表示∠BGD′。
(2)如图2，在图1的基础上将纸条沿MN继续折叠，点A，B分别落在点A′(点A′在BG上)，B′处。
①若EF∥MA′， MN∥D′E，求x。
②若MN∥D′E ，用含x的式子表示∠A′MD。
解：(1)①80
②由折叠得，∠D′EF＝∠DEF＝x°，
∴∠AED′＝180°－∠D′ED＝180°－2x°。
∵AD∥BC，∴∠BGD′＝∠AED′＝(180－2x)°。
(2)①由折叠得，∠D′EF＝∠DEF＝x°，
∴∠AED′＝180°－∠D′EF－∠DEF＝(180－2x)°。
∵EF∥MA′，∴∠A′ME＝∠DEF＝x°。
由折叠得，∠AMN＝∠NMA′＝＝°。
∵MN∥D′E，∴∠AMN＝∠AED′，
即＝180－2x，解得x＝60。
②∵MN∥D′E，
∴∠AMN＝∠AED′＝(180－2x)°。
由折叠得，∠AMN＝∠A′MN＝(180－2x)°，
∴∠A′MD＝180°－∠AMN－∠A′MN
＝180－(180－2x)－(180－2x)＝(4x－180)°。
10．如图，这是一个台灯的示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直。
(1)当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA的度数。
(2)连杆BC，CD可以绕着B，C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，请写出α，β，γ之间的数量关系。
解：(1)如图，过点C作CP∥DE，延长CB交FG于点H。
∵DE∥FG，∴CP∥FG。
∴∠PCD＝180°－∠EDC＝60°，∠PCH＝120°－∠PCD＝60°，∴∠CHA＝∠PCH＝60°。
∵AB⊥FG，∴∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝180°－60°－90°＝30°，
∴∠CBA＝180°－30°＝150°。
(2)如图，
∵DE∥FG，∴CP∥FG，∴∠EDC＋∠PCD＝180°，∠FHC＋∠PCH＝180°。
∴∠EDC＋∠DCB＋∠FHC＝360°。
∵AB⊥FG，∴∠BAH＝90°。∵∠ABH＝180°－∠CBA，
∴∠AHB＝180°－90°－(180°－∠CBA)＝∠CBA－90°，
∴∠FHC＝180°－(∠CBA－90°)＝270°－∠CBA，
∴∠EDC＋∠DCB＋270°－∠CBA＝360°，
∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA＝90°，即α＋β－γ＝90°。
11．如图，直线AB∥CD，直线l分别与直线AB，CD相交于点E，F，P是射线EA上的一个动点(不包括端点E)，将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处。
(1)若∠PEF＝48°，求∠EFC的度数。
(2)若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数。
解：(1)∵AB∥CD，
∴∠PEF＋∠EFC＝180°，∴∠EFC＝132°。
(2)分两种情况：
如图1，当点Q在平行线AB，CD之间时，
设∠PFQ＝x，由折叠可得∠EFP＝x。
∵∠CFQ＝∠PFC，∴∠PFQ＝∠CFQ＝x。
∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°，
∴75°＋x＋x＋x＝180°，∴x＝35°，
∴∠EFP＝35°。
如图2，当点Q在CD的下方时，
设∠CFQ＝x，由∠CFQ＝∠PFC得，∠PFC＝2x，
∴∠PFQ＝3x。
由折叠得，∠PFE＝∠PFQ＝3x。
∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°，
∴2x＋3x＋75°＝180°，∴x＝21°，
∴∠EFP＝3x＝63°。
综上所述，∠EFP的度数是35°或63°。
