阶 段 评 价 作 业(八)
[考查范围：4.1—4.3 总分：100分]
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．下列由左边到右边的变形中属于因式分解的是( )
A．(a＋1)(a－1)＝a2－1
B．a2－6a＋9＝(a－3)2
C．a2＋2a＋1＝a(a＋2)＋1
D．a2－5a＝a2
2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．a2－1 B．－a2－1
C．a2＋1 D．a2＋a
3．下列因式分解中正确的是( )
A．x2＋9＝(x＋3)2
B．x2＋y2＝(x＋y)(x－y)
C．2a2＋a－6＝a(2a＋1)－6
D．m2＋4m＋4＝(m＋2)2
4．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式a＋1的是( )
A．a2－1
B．a2＋a
C．a2－2a＋1
D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
5．把a3－4a2分解因式，正确的是( )
A．a(a2－4a) B．a2(a－4)
C．a(a＋2)(a－2) D．a2(a＋4)
6．已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2－4，乙与丙相乘的积为x2－2x，则甲与丙相乘的积为( )
A．2x＋2 B．x2＋2x
C．2x－2 D．x2－2x
7．已知(x＋a)(x＋b)＝x2＋mx＋24，其中a，b为整数，则整数m可能的取值的个数是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
8．给多项式x2＋1再添加一项，使其成为一个完全平方式，则下列式子中可添加的有( )
①－2x；②2x；③－1；④－x2；⑤x4。
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
二、填空题(每小题5分，共25分)
9．分解因式：m2－14m＋49＝___。
10．一个正方形面积为4m2＋4m＋1(m＞0)，则它的边长为____。
11．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为____。
12．若(a2＋b2)(a2＋1＋b2)＝12，则a2＋b2＝____。
13．若m2＋m－1＝0，则m3＋2m2＋2 023的值为____。
三、解答题(共35分)
14．(10分)分解因式。
(1)x3－x。
(2)2a2－4a＋2。
(3)5x3－10x2＋5x。
(4)x2(x－2)－16(x－2)。
15．(12分)下图所示的大长方形是由三个不同的小长方形和一个正方形拼成的，我们可以用两种不同的方法表示大长方形的面积：①x2＋px＋qx＋pq；②(x＋p)(x＋q)，请据此回答下列问题：
(1)因为x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq，所以x2＋(p＋q)x＋pq＝____。
(2)利用(1)中的结论，我们可以对特殊的二次三项式分解因式，例：①x2＋3x＋2＝x2＋(2＋1)x＋2×1＝(x＋2)(x＋1)。
②x2－4x－5＝x2＋(1－5)x＋1×(－5)＝____。(请将结果补充出来)
请利用上述方法将下面多项式分解因式：x2－9x＋20(写出分解过程)。
16．(13分)阅读理解：
对于二次三项式x2＋2ax＋a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2＋2ax＋a2＝(x＋a)2，但对于二次三项式x2＋2ax－8a2，就不能直接用公式法了。
我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2＋2ax－8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：
x2＋2ax－8a2
＝x2＋2ax－8a2＋a2－a2
＝x2＋2ax＋a2－8a2－a2
＝(x2＋2ax＋a2)－(8a2＋a2)
＝(x＋a)2－9a2
＝(x＋a＋3a)(x＋a－3a)
＝(x＋4a)(x－2a)。
像这样把二次三项式分解因式的方法叫作添(拆)项法。
(1)问题解决：请用上述方法将二次三项式 x2＋2ax－3a2 分解因式。
(2)拓展应用：二次三项式x2－4x＋5有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由。阶 段 评 价 作 业(八)
[考查范围：4.1—4.3 总分：100分]
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．下列由左边到右边的变形中属于因式分解的是( B )
A．(a＋1)(a－1)＝a2－1
B．a2－6a＋9＝(a－3)2
C．a2＋2a＋1＝a(a＋2)＋1
D．a2－5a＝a2
2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( A )
A．a2－1 B．－a2－1
C．a2＋1 D．a2＋a
3．下列因式分解中正确的是( D )
A．x2＋9＝(x＋3)2
B．x2＋y2＝(x＋y)(x－y)
C．2a2＋a－6＝a(2a＋1)－6
D．m2＋4m＋4＝(m＋2)2
4．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式a＋1的是( C )
A．a2－1
B．a2＋a
C．a2－2a＋1
D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
5．把a3－4a2分解因式，正确的是( B )
A．a(a2－4a) B．a2(a－4)
C．a(a＋2)(a－2) D．a2(a＋4)
6．已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2－4，乙与丙相乘的积为x2－2x，则甲与丙相乘的积为( B )
A．2x＋2 B．x2＋2x
C．2x－2 D．x2－2x
7．已知(x＋a)(x＋b)＝x2＋mx＋24，其中a，b为整数，则整数m可能的取值的个数是( D )
A．2 B．4
C．6 D．8
8．给多项式x2＋1再添加一项，使其成为一个完全平方式，则下列式子中可添加的有( D )
①－2x；②2x；③－1；④－x2；⑤x4。
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
二、填空题(每小题5分，共25分)
9．分解因式：m2－14m＋49＝__(m－7)2__。
10．一个正方形面积为4m2＋4m＋1(m＞0)，则它的边长为__2m＋1__。
11．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为__12__。
12．若(a2＋b2)(a2＋1＋b2)＝12，则a2＋b2＝__3__。
13．若m2＋m－1＝0，则m3＋2m2＋2 023的值为__2_024__。
【解析】 ∵m2＋m－1＝0，
∴m2＋m＝1，
∴m3＋2m2＋2 023＝m(m2＋m)＋m2＋2 023＝m＋m2＋2 023＝2 024。
三、解答题(共35分)
14．(10分)分解因式。
(1)x3－x。
(2)2a2－4a＋2。
(3)5x3－10x2＋5x。
(4)x2(x－2)－16(x－2)。
解：(1)原式＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)。
(2)原式＝2(a2－2a＋1)＝2(a－1)2。
(3)原式＝5x(x－1)2 。
(4)原式＝(x－2)(x－4)(x＋4)。
15．(12分)下图所示的大长方形是由三个不同的小长方形和一个正方形拼成的，我们可以用两种不同的方法表示大长方形的面积：①x2＋px＋qx＋pq；②(x＋p)(x＋q)，请据此回答下列问题：
(1)因为x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq，所以x2＋(p＋q)x＋pq＝__(x＋p)(x＋q)__。
(2)利用(1)中的结论，我们可以对特殊的二次三项式分解因式，例：①x2＋3x＋2＝x2＋(2＋1)x＋2×1＝(x＋2)(x＋1)。
②x2－4x－5＝x2＋(1－5)x＋1×(－5)＝__(x＋1)(x－5)__。(请将结果补充出来)
请利用上述方法将下面多项式分解因式：x2－9x＋20(写出分解过程)。
解：(1)(x＋p)(x＋q)
(2)②(x＋1)(x－5)
x2－9x＋20＝x2＋(－4－5)x＋(－4)×(－5)＝(x－4)(x－5)。
16．(13分)阅读理解：
对于二次三项式x2＋2ax＋a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2＋2ax＋a2＝(x＋a)2，但对于二次三项式x2＋2ax－8a2，就不能直接用公式法了。
我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2＋2ax－8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：
x2＋2ax－8a2
＝x2＋2ax－8a2＋a2－a2
＝x2＋2ax＋a2－8a2－a2
＝(x2＋2ax＋a2)－(8a2＋a2)
＝(x＋a)2－9a2
＝(x＋a＋3a)(x＋a－3a)
＝(x＋4a)(x－2a)。
像这样把二次三项式分解因式的方法叫作添(拆)项法。
(1)问题解决：请用上述方法将二次三项式 x2＋2ax－3a2 分解因式。
(2)拓展应用：二次三项式x2－4x＋5有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由。
解：(1)x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2
＝x2＋2ax＋a2－3a2－a2
＝(x＋a)2－4a2
＝(x＋a)2－(2a)2
＝(x＋a＋2a)(x＋a－2a)
＝(x＋3a)(x－a)。
(2)有最小值。理由如下：
x2－4x＋5＝x2－4x＋4＋1＝(x－2)2＋1。
∵(x－2)2≥0，∴(x－2)2＋1≥1，
∴二次三项式x2－4x＋5有最小值，最小值为1。
