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浙教版2024-2025学年七年级下数学第5章分式 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列代数式中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵都是整式，是分式，
∴正确答案选：C.
2．化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．a-1
【答案】C
【解析】原式== ==
故答案为：C.
3．计算 ， 结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.
故答案为：B.
4．下列解分式方程 的步骤中，错误的是（ ）
A．找最简公分母：
B．去分母：
C．计算方程的根：
D．验根 ： 当 时，方程 成立
【答案】D
【解析】 ，即.
去分母得：
x-2=0，
方程的解为x=2，
当x=2时，x-2=0，
∴x=2是原方程的增根，
∴方程无解．
∴D错误.
故答案为：D.
5．已知 表示一个整式，若 是最简分式，则 可以是（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【解析】当M=7时，=不是分式，不符合题意要求，∴选项A错误；
当M=8x时，=，分式的分子、分母含有公因式2x，还可以约分，不是最简分式，
∴选项B错误；
当M=x2-x时，=分式的分子、分母含有公因式x，还可以约分，不是最简分式，
∴选项C错误；
当M=y2时，=分式的分子、分母没有公因式，是最简分式，∴选项D正确.
故正确答案选：D.
6．下列分式 的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，C正确.
其余A、B、D均不符合分式的基本性质.
故答案为：C.
7．已知 是分式方程 的根，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
【答案】D
【解析】代入x=1，得 .
∴8a+12=3a-3．
∴5a=-15．
∴a=-3．
故答案为：D.
8． 有一道题： “甲队修路 与乙队修路 所用天数相同， 若▄， 求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程， 被遮住的条件是（ ）
解 ： 设甲队每天修路 米，
依题意得，
A．甲队每天修的路比乙队的 2 倍多
B．甲队每天修的路比乙队的 2 倍少
C．乙队每天修的路比甲队的 2 倍多
D．乙队每天修的路比甲队的 2 倍少
【答案】D
【解析】根据条件，甲队修路所需要的天数是，由所列出的方程 可知，乙队每天修路（2x-30）米，因此可知被遮住的条件是“ 乙队每天修的路比甲队的 2 倍少 ”.
故答案为： 乙队每天修的路比甲队的 2 倍少 .
9． 已知 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴2m=x-1.
∴.
故答案为：B.
10．已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．使分式有意义的的取值范围是 ．
【答案】x≠-2
【解析】由题意可得：，
解得，
故答案为：．
12． 小刚同学不小心弄污了练习本的一道题， 这道题是： “化简 ．”其中“ ”处被弄污了， 但他知道这道题的化简结果是 ， 则 “■”处的式子为
【答案】x+1
【解析】设 ，则 .
所以 “ ■ ”处的式子为x+1
故答案为：x+1.
13．若 ， 则 的值是
【答案】
【解析】∵，
∴，
故答案为：.
14． 若方程 的解为 ， 则方程 的解为
【答案】
【解析】 ，
整理得：，
当a=-2b时，原方程为 ，
∴，
解得：；
故答案为：.
15．某项工程，乙队单独完成任务的时间是甲队的2.5倍，若甲工程队先做20天，则乙队只需再单独做50天就能恰好完成任务．现甲，乙工程队共同承包此工程，若甲工程队先做天后，由乙队工程队接替，乙队再做天恰好完成，其中，是正整数，则完成此工程共耗时 天．
【答案】79
【解析】设甲队单独完成任务的时间是天，则乙队单独完成任务的时间是天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
甲工程队先做天后，由乙队工程队接替，乙队再做天恰好完成，
，
，
又，均为正整数，且，，
，
（天，
完成此工程共耗时79天．
故答案为：79．
16．若 表示一个整数，则可取的整数 有 个．
【答案】4
【解析】∵，
又∵ 表示一个整数， 且x也是整数，
∴2x+3=±1或2x+3=±3，
解得x=-1或-2或0或-3，
∴可取的整数x有4个.
故答案为：4.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程．
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）解：方程两边同时乘以x+3得，2x-1=x+3，解得x=4.
检验：当x=4时，x+3=7≠0.
所以原分式方程的解是x=4.
（2）解： 由可得.
方程两边同时乘以x-2得x-3=-1，解得x=2.
检验：当x=2时，x-2=0，即x=2为原方程的增根.
所以原分式方程无解.
（3）解：方程两边同时乘以得.
解得x=-2.
检验：当x=-2时，
所以原分式方程的解是.
（4）解：方程两边同时乘以得，
解得x=1.
检验：当x=1时，，即x=1为原方程的增根.
所以原分式方程无解.
18．已知x2-5x+1=0．
（1）求x+的值．
（2）求x2+的值．
【答案】（1）解： ∵x2-5x+1=0，
∴x≠0，
∴等式两边同时除以x得：x-5+=0
∴ x+ =5.
（2）解：原式=（x+）2-2=52-2=25-2=23.
19． 某水果超市运来凤梨和西瓜两种水果， 已知凤梨重 ， 西瓜重 ，其中 ， 售完后， 这两种水果都卖了 540 元．
（1） 请用含 的代数式分别表示这两种水果的单价．
（2） 凤梨单价是西瓜单价的多少倍？
【答案】（1）解：由题意得， 凤梨的单价为 元；西瓜的单价为 元．
（2）解：由题意得， 凤梨单价是西瓜单价的 倍．
20．已知 ．
（1）计算： 和 ．
（2） 若已知 ， 求 的值．
【答案】（1）解： ． ．
（2）解：由 ，
得 解得
21． 小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同， 妈妈每次加油都说 “师傅， 给我加 200 元油” (油箱未加满)， 而爸爸则说： “师傅， 帮我把油箱加满！” 小明很好奇： 现实生活中油价常有变动， 爸爸妈妈不同的加油方式， 哪种方式会更省钱呢？ 现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油时油价为 元/升，第二次加油时油价为 元/升，
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格 (用含 的代数式表示)．
（2） 爸爸和妈妈的两种加油方式中， 谁的加油方式更省钱？ 用所学数学知识说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得，
妈妈两次加油的总量是 (升)，妈妈两次加油的平均价格是 (元/升)，即妈妈两次加油的总量是 升， 妈妈两次加油的平均价格是 元/升．
（2）解：设油箱的容积是 升，
则爸爸两次加油的平均价格是 (元/升)， ．
当 时， 爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱；
当 时，妈妈的加油方式更省钱．
22． 阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道， 分数可分为 “真分数”和“假分数”． 而假分数都可化为带分数， 如： ． 我们定义：在分式中， 对于只含有一个字母的分式， 当分子的次数大于或等于分母的次数时， 我们称之为 “假分式”； 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为 “真分式”．
如： 这样的分式就是假分式； 再如： 这样的分式就是真分式． 类似地， 假分式也可以化为带分式 (即整式与真分式的和的形式)．
如： ；
再如： ．
解决下列问题：
（1） 分式 是 分式(填“真”或“假”)．
（2）假分式 可化为带分式 的形式．
（3） 如果分式 的值为整数，求 的整数值．
【答案】（1）真
（2）
（3）解：，
所以当 或 -3 或 1 或 -1 时， 分式的值为整数，解得 或 或 或 ．
【解析】（1）根据真分式的定义可知：是真分式.
（2）===1-.
（3）==-=2-.
∵ 的值为整数，
∴当 +1=±1或±3时，分式的值为整数．
∴x=0或-2或2或-4.
23．商店常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格： 设甲种糖的价格为 元/千克， 乙种糖的价格为 元 千克 ， 则 千克甲种糖和 千克乙种糖混合而成的什锦糖的价格为 元/千克．
（1） 当 时，求 20 千克甲种糖和 30 千克乙种糖混合而成的什锦糖的价格．
（2）在（1）的基础上，要把什锦糖每千克降低 2 元，则需减少乙种糖多少千克？
（3） 现有 两种混合方案， 方案是由 千克甲种糖和 千克乙种糖混合而成， 方案是由 元甲种糖和 元乙种糖混合而成， 你认为哪一种方案的价格低？ 请说明理由．
【答案】（1）解：当 时，
．
答： 当 时， 用 20 千克甲种糖和 30 千克乙种糖泥合而成的什锦糖的价格为 28 元/千克．
（2）解：设需减少乙种糖 千克，依题意，得
，
解得 ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：需减少乙种糖 25 千克．
（3）解： 方案的价格低，理由如下：
方案的价格为 方案的价格为 ．
方案的价格低．
24．定义： 若分式 与分式 的差等于它们的积， 即 ， 则称分式 是分式 的“互联分式”． 如 与 ， 因为 ， ， 所以 是 的“互联分式”．
（1）判断分式 与分式 是否为 “互联分式”， 请说明理由．
（2） 小红在求分式 的“互联分式”时， 用了以下方法：
设 的 “互联分式” 为 ， 则 ， 即 ， 故 ． 请你仿照小红的方法求分式 的“互联分式”．
（3） 解决问题： 仔细观察第 (1)， (2) 小题的规律， 请直接写出实数 的值， 使 是 的“互联分式”．
【答案】（1）解：，
即
∴.
故分式 与分式 为 “互联分式”.
（2）解：设的“互联分式” 为N，
则，
∴
解得：.
（3）解：，.
【解析】（3）∵是 的“互联分式”
由（1）（2）小题的规律可得：，
整理得：
解得：
∴，.
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浙教版2024-2025学年七年级下数学第5章分式 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列代数式中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．a-1
3．计算 ， 结果为（ ）
A． B． C． D．
4．下列解分式方程 的步骤中，错误的是（ ）
A．找最简公分母：
B．去分母：
C．计算方程的根：
D．验根 ： 当 时，方程 成立
5．已知 表示一个整式，若 是最简分式，则 可以是（ ）
A．7 B． C． D．
6．下列分式 的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 是分式方程 的根，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
8． 有一道题： “甲队修路 与乙队修路 所用天数相同， 若▄， 求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程， 被遮住的条件是（ ）
解 ： 设甲队每天修路 米，
依题意得，
A．甲队每天修的路比乙队的 2 倍多
B．甲队每天修的路比乙队的 2 倍少
C．乙队每天修的路比甲队的 2 倍多
D．乙队每天修的路比甲队的 2 倍少
9． 已知 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
10．已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．使分式有意义的的取值范围是 ．
12． 小刚同学不小心弄污了练习本的一道题， 这道题是： “化简 ．”其中“ ”处被弄污了， 但他知道这道题的化简结果是 ， 则 “■”处的式子为
13．若 ， 则 的值是
14． 若方程 的解为 ， 则方程 的解为
15．某项工程，乙队单独完成任务的时间是甲队的2.5倍，若甲工程队先做20天，则乙队只需再单独做50天就能恰好完成任务．现甲，乙工程队共同承包此工程，若甲工程队先做天后，由乙队工程队接替，乙队再做天恰好完成，其中，是正整数，则完成此工程共耗时 天．
16．若 表示一个整数，则可取的整数 有 个．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程．
（1） ． （2） ．
（3） ． （4） ．
18．已知x2-5x+1=0．
（1）求x+的值． （2）求x2+的值．
19． 某水果超市运来凤梨和西瓜两种水果， 已知凤梨重 ， 西瓜重 ，其中 ， 售完后， 这两种水果都卖了 540 元．
（1） 请用含 的代数式分别表示这两种水果的单价．
（2） 凤梨单价是西瓜单价的多少倍？
20．已知 ．
（1）计算： 和 ．
（2） 若已知 ， 求 的值．
21． 小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同， 妈妈每次加油都说 “师傅， 给我加 200 元油” (油箱未加满)， 而爸爸则说： “师傅， 帮我把油箱加满！” 小明很好奇： 现实生活中油价常有变动， 爸爸妈妈不同的加油方式， 哪种方式会更省钱呢？ 现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油时油价为 元/升，第二次加油时油价为 元/升，
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格 (用含 的代数式表示)．
（2） 爸爸和妈妈的两种加油方式中， 谁的加油方式更省钱？ 用所学数学知识说明理由．
22． 阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道， 分数可分为 “真分数”和“假分数”． 而假分数都可化为带分数， 如： ． 我们定义：在分式中， 对于只含有一个字母的分式， 当分子的次数大于或等于分母的次数时， 我们称之为 “假分式”； 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为 “真分式”．
如： 这样的分式就是假分式； 再如： 这样的分式就是真分式． 类似地， 假分式也可以化为带分式 (即整式与真分式的和的形式)．
如： ；
再如： ．
解决下列问题：
（1） 分式 是 分式(填“真”或“假”)．
（2）假分式 可化为带分式 的形式．
（3） 如果分式 的值为整数，求 的整数值．
23．商店常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格： 设甲种糖的价格为 元/千克， 乙种糖的价格为 元 千克 ， 则 千克甲种糖和 千克乙种糖混合而成的什锦糖的价格为 元/千克．
（1） 当 时，求 20 千克甲种糖和 30 千克乙种糖混合而成的什锦糖的价格．
（2）在（1）的基础上，要把什锦糖每千克降低 2 元，则需减少乙种糖多少千克？
（3） 现有 两种混合方案， 方案是由 千克甲种糖和 千克乙种糖混合而成， 方案是由 元甲种糖和 元乙种糖混合而成， 你认为哪一种方案的价格低？ 请说明理由．
24．定义： 若分式 与分式 的差等于它们的积， 即 ， 则称分式 是分式 的“互联分式”． 如 与 ， 因为 ， ， 所以 是 的“互联分式”．
（1）判断分式 与分式 是否为 “互联分式”， 请说明理由．
（2） 小红在求分式 的“互联分式”时， 用了以下方法：
设 的 “互联分式” 为 ， 则 ， 即 ， 故 ． 请你仿照小红的方法求分式 的“互联分式”．
（3） 解决问题： 仔细观察第 (1)， (2) 小题的规律， 请直接写出实数 的值， 使 是 的“互联分式”．
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