第四章专项训练：因式分解的应用（含答案）

因式分解的应用（1）
夯实基础，稳扎稳打
1．当a，b互为相反数时，求代数式a2＋ab+1的值.
2．若ab=﹣1，a﹣2b=2，求代数式a2b﹣2ab2的值.
3．已知ab＝1，a﹣2b＝﹣2，求代数式a3b﹣4a2b2+4ab3的值.
4.对于算式25，下列说法错误的是
A.能被2024整除 B. 能被2025整除 C. 能被2026整除 D. 能被2027整除
5．若a2+a﹣1＝0，求代数式a2021+a2020﹣a2019+2的值.
连续递推，豁然开朗
6.计算：__ ．
7．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　）
A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
8．已知a＋b＝2，ab＝1，求代数式a3b－2a2b2＋ab3的值．
9.计算： ×××…×；
10.正方形甲的周长比正方形乙的周长多96cm，它们的面积相差960cm2，求正方形甲的边长和正方形乙的边长.
思维拓展，更上一层
11．已知x≠y，且满足两个等式x2﹣2y＝20212，y2﹣2x＝20212，求x2+2xy+y2的值.
12.对于一个正整数n，如果能找到正整数a、b，使得n=a+b+ab，则称n为一个“好数”，例如3=1+1+1×1，3就是一个“好数”，那么，在1～20这20个正整数中，求好数个数。
参考答案
夯实基础，稳扎稳打
1.解：因为a，b互为相反数，所以 (a+b)=0，故 a2＋ab=1=a(a+b)+1=1
2. 解：∵ab=﹣1，a﹣2b= -2，
∴a2b﹣2ab2=ab(a-2b)=-1×(-2)=2.
3．解：∵ab＝1，a﹣2b＝﹣2，∴a3b﹣4a2b2+4ab3＝ab（a2﹣4ab+4b2）
＝ab（a﹣2b）2＝1×（﹣2）2＝4．．
4.解：
24 ，能被2025、2026、2024整除，不能被2027整除．故选：D．
5.解：∵a2+a﹣1＝0，
∴a2021+a2020﹣a2019+2＝a2019（a2+a﹣1）+2＝2+a2019×0＝2+0＝2．
连续递推，豁然开朗
6.解：
=2
7．解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）×65×63，选B
8．解：a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2＝ab[(a＋b)2－4ab]．
因为a＋b＝1，ab＝1，所以原式＝1×(1-4)＝-3
9.解：原式＝××××××…××
＝××××××…××＝×=.
10．解：设正方形甲的边长为x，乙的边长为y（x＞y）
则由①式得x﹣y＝24，③
由②式得x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝960，即24（x+y）＝960，∴x+y＝40，④
由③④解得x＝32，y＝8．故答案为32，8．
思维拓展，更上一层
11．解：，①﹣②得x2﹣y2+2x﹣2y＝0，（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝0，
（x﹣y）（x+y+2）＝0，∵x≠y，∴x+y+2＝0，即x+y＝﹣2，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝4．
12.解：法1：有序思考，不慌不忙
1）a=1,b=1、2、3…9，得n=a+b+ab,共9个好数；
2）a=2,b=1、2、3、4、5、6得n=a+b+ab,6个好数（注意有重复数）；
3）a=3,b=1、2、3、4得n=a+b+ab,4个好数（注意有重复数）；
4）a=4,b=1、2、3得n=a+b+ab,3个好数（注意有重复数）；
5）a=5,b=1、2得n=a+b+ab,15个好数（注意有重复数）；
6）a=6,b=1、2得n=a+b+ab,2个好数（注意有重复数）；
7）a=7,b=1,得n=a+b+ab,1个好数（注意有重复数）；
8）a=8,b=1得n=a+b+ab,1个好数（注意有重复数）；
9）a=9,b=1得n=a+b+ab,1个好数（注意有重复数）；
将以上好数,重复的,只取其中一个.整理得一共有以下12个好数：
3、5、7、8、9、11、13、14、15、17、19、20
法2：n=a+b+ab，n+1=a+b+ab+1，n+1=（a+1）（b+1），只要n+1是合数，n 就是好数，a、b都是正整数，所以n3,即20以内的好数有3、5、7、8、9、11、13、14、15、17、19、20共12个
因式分解的应用（2）
夯实基础，稳扎稳打
若a＋b＝4，ab＝－5，求代数式a2b＋ab2的值.
2.已知xy＝-3，x+y＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值.
3.若a+b=6，a－b=14，求 的值.
4．已知a+b＝6，ab＝2，求多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值.
连续递推，豁然开朗
5.计算：
6.计算：
7．若实数a，b满足，求代数式的值.
8 已知a2＋b2＋c2－2(a＋b＋c)＋3＝0，试求a3＋b3＋c3－3abc的值．
思维拓展，更上一层
9．多项式a2－9bn(其中n是小于10的自然数，b≠0)可以分解因式，求n能取的值.
10.已知m2=4n+a,n2=4m+a,m≠n,求m2+2mn+n2的值.
11．若一个整数能表示成a2＋b2(a，b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：∵13＝32＋22，∴13是“完美数”；
再如：∵a2＋2ab＋2b2＝(a＋b)2＋b2(a，b是正整数)，∴a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．
(1)请你写出一个大于20小于30 的“完美数”，并判断53是否为“完美数”；
(2)试判断(x2＋9y2)(4y2＋x2)(x，y是正整数)是否为“完美数”，并说明理由．
12．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8，16均为“和谐数”），在不超过217的正整数中，求所有的“和谐数”之和.
参考答案
解：a2b＋ab2＝ab(a+b)=4×(-5)= －20
2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2，xy＝-3，x+y＝2，原式＝﹣24．
3.
4．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）
＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝6，ab＝2代入，得原式＝6．
5解：原式＝＝123 454 321．
7.解：，
把代入得，
再把代入得；故答案为：6．
8.解：a2＋b2＋c2－2(a＋b＋c)＋3＝0，所以a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋3＝0，
(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＝0，所以a＝b＝c＝1，所以a3＋b3＋c3－3abc＝0.
9．解：当n＝0时，a2－9bn＝a2－9＝(a＋3)(a－3)；
当n＝2时，a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)；当n＝4时，a2－9b4＝(a＋3b2)(a－3b2)；
当n＝6时，a2－9b6＝(a＋3b3)(a－3b3)；当n＝8时，a2－9b8＝(a＋3b4)(a－3b4).
10.解： 因为m2=4n+a,n2=4m+a,所以m2-n2=4n-4m,
即(m+n)(m-n)=-4(m-n),所以(m-n)(m+n+4)=0.因为m≠n,所以m+n+4=0,
即m+n=-4,所以m2+2mn+n2=(m+n)2=(-4)2=16.
11.解：(1)25＝42＋32，∵53＝49＋4＝72＋22，∴53是“完美数”；
(2)(x2＋9y2)(4y2＋x2)是“完美数”．理由：∵(x2＋9y2)(4y2＋x2)＝4x2y2＋36y4＋x4＋9x2y2＝13x2y2＋36y4＋x4＝(6y2＋x2)2＋(xy)2，∴(x2＋9y2)(4y2＋x2)是“完美数”．
12．解：∵552﹣532＝（55+53）（55﹣53）＝216＜217，
∴在不超过217的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
（﹣12+32）+（﹣32+52）+（﹣52+72）+……+（﹣512+532））+（﹣532+552）
＝﹣12+32﹣32+52﹣52+72+……﹣512+532﹣532+552
＝552﹣12＝（55+1）（55﹣1）＝56×54＝3024，